小升初数学《立体图形的表面积体积》知识要点梳理+考点精讲分析(含答案)
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1、立体图形的表面积立体图形的表面积 知识要点梳理知识要点梳理 一、立体图形的切割一、立体图形的切割 1 1立体图形每切割一次,增加两个面的面积。 2 2立体图形每拼一次,减少两个面的面积。 二、表面积二、表面积 表面积表面积:物体表面面积的总和叫做物体的表面积。 表面积通常用 S 表示,常用面积单位 有平方千米、 公顷、平方米、平方分米、平方厘米。 1 1长方体、正方体的表面积为 6 个面的面积和。 2 2圆柱的表面积侧面积2 个底面面积。 3 3圆锥的表面积侧面积底面积 三、立体图形的表面积计算公式 名称 图形 字母意义 表面积公式 长 方 体 a:长 b:宽 h:高 S:表面积 S=2)(b
2、hahab 正 方 体 a:棱长 S= 2 6a 圆 柱 体 r:底面半径 h:高 侧 S:侧面积 底 S: 底面积 C:底面周长 rhdhChS2 侧 S= 底侧 SS2 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 长方体与正方体的表面积长方体与正方体的表面积 【例例 1 1】 一个长 40 厘米, 截面是正方形的长方体, 如果长增加 5 厘米, 表面积就增加 80 平方厘米, 原来长方体的表面积是多少? 【精析精析】 根据题意可知,一个长方体如果长增加 5 厘米,增加的 80 平方厘米是 4 个同样的长方形 的面积和。 【答案答案】8045=4(厘米)044442672(
3、平方厘米) 答:原来长方体的表面积是 672 平方厘米。 【归纳总结归纳总结】 根据长方体增加的面积,计算出长方体的宽和高,然后根据长方体的表面积计算公 式解答即可。 【例【例 2 2】 学校新建一个游泳池,长 50 米,宽 20 米,深 2 米。这个游泳池占地面积有多大?如果游 泳池的四壁和底面都要贴上瓷砖,一共需要贴多少平方米的瓷砖? 【精析精析】 此题主要考查长方体底面积及表面积的计算方法在实际生活中的应用。解答时要清楚长 方体游泳池的占地面积是指长方体的底面积。 贴瓷砖的面积, 就等于游泳池的表面积减去上面的面积。 【答案】【答案】 占地面积:50201000(平方米) 贴瓷砖的面积:
4、 (502202)250201280(平方米) 答:这个游泳池占地面积有 1000 平方米,共需要贴 1280 平方米的瓷砖。 【归纳总结【归纳总结】 这类题目解答时一般遵循下列步骤:识别形体;搞清问题(求表面积还是求体 积、容积、求表面积涉及几个面) ;回忆公式;正确列式;计算解答。 考点考点 2 2 圆柱的表面积圆柱的表面积 【例例 3 3】 一个无盖圆柱形铁皮油桶,底面直径是 4 分米,高是 6 分米。给这个油桶里外刷上油漆, 刷油漆的面积是多少平方分米? 【精析【精析】 油桶无盖,刷油漆的是侧面和一个底面,而且要注意的是油漆的里外都要刷,即求两个 侧面积和两个底面积。 【答案【答案】
5、油桶的侧面积:3.144675.36(平方分米) 圆 锥 体 r;底面半径 h:高 l:为母线长 S= 2 2rrl 一个底面积:3.14(42) 212.56(平方分米) 刷油漆的面积: (75.3612.56)2175.84(平方分米) 答:刷油漆的面积是 17584 平方分米。 【例例 4 4】 求下图的表面积(单位:厘米) 。 【精析】【精析】 此图由两个圆柱体组合而成,表面积由两个侧面、大圆柱体下底面、上底圆环面和小圆 柱体的上底面 5 部分组成。不难发现,大圆柱体上底面圆环面与小圆柱体上底面正好补为大圆柱的上 底面。 【答案】【答案】 大圆柱体的表面积:3.14(82) 223.1
6、485226.08(平方厘米) 小圆柱体的侧面积:3.146356.52(平 方厘米) 柱体的表面积:226.0856.52282.6(平方厘米) 答:表面积是 2826 平方厘米。 【归纳总结【归纳总结】 组合圆柱体的表面积可看成由圆柱体的表面积加上小圆柱体的侧面积构成的。 考点考点 3 3 圆锥的表面积圆锥的表面积 【例【例 5 5】 已知圆锥的母线长为 5,底面半径为 2cm,则该圆锥的表面积为( ) 。 A21 B15 C10 D24 【精析】 本题考查了圆锥的计算,解题的关键是知道圆锥表面积的解题方法。圆锥的表面积圆 锥侧面积底面积2rlr220424。 【答案【答案】 D 【例】【
7、例】 (西安某工大附中入学)(西安某工大附中入学)从不同方向看一个几何体所得到的图形如图所示,请根据图中所 给数据(单位:厘米) ,计算这个几何体的表面积。 (取 314) 【精析精析】 首先根据从上面看到的图判断该几何体是柱体,从前面看到的图和从左面看到的图是相 同的矩形,可得出这个几何体是圆柱体,且底面直径为 6 厘米,高为 10 厘米。最后可根据圆柱的表面 积公式解答。 【答案【答案】 3.14(62) 223.14610244.92(平方厘米) 答:这个几何体的表面积是 244.92 平方厘米。 【归纳总结【归纳总结】 本题是根据分别从前面、左面、上面看到的图确定几何体的形状,主要考查
8、学生的 空间想象能力和对立体图形的熟悉程度。主视图和俯视图长度相等,主视图和左视图高度相等,俯视 图和左视图宽度相等 毕业升学训练毕业升学训练 一、填空题一、填空题 1 1一个长方体的长、宽、高分别是 10 厘米、6 厘米、4 厘米,把它放在桌面上占的最小面积是( ) 平方厘米。 2 2做 10 节长 1 米、底面半径为 6 厘米的圆柱形烟囱管。至少需要铁皮( )平方米。 3 3一根长 4 米,横截面半径为 2 分米的圆柱形木料截成同样长的 4 段,表面积比原来增加( )平 方分米。 4 4一个底面直径是 10 厘米、高是 20 厘米的圆柱体,如果把它沿直径垂直于底面切成两半,表面积增 加了(
9、 )平方厘米。 5一个圆柱的侧面积是 942 平方分米,高是 6 分米,它的表面积是( )平方分米。 6 6用一张长 15 厘米,宽 12 厘米的长方形围成一个圆柱,这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 二、选择题二、选择题 1 1一个长方体的棱长总和是 48 厘米,宽是 2 厘米,长是宽的 2 倍,它的表面积是( )平方厘米。 A48 B96 C88 2 2棱长为 6 厘米的正方体的表面积是棱长为 3 厘米的正方体的表面积的( )倍。 A4 B6 C18 3正方体的棱长扩大 3 倍,它的表面积就扩大( )倍。 A3 B6 C9 4 4包装盒的长是 32 厘米,宽是 2 厘米,高是 1 厘米。圆
10、柱形零件的底面直径是 2 厘米,高是 1 厘米。 这个包装盒内最多能放( )个零件。 A32 B25 C16 D8 三、解决问题三、解决问题 1 1一个无盖玻璃鱼缸的形状是长方体,长是 5 分米,宽是 4 分米,高是 3 分米,制作这个鱼缸至少需 要多大面积的玻璃? 2 2一台压路机的前轮是圆柱形,轮宽 15 米,直径 12 米,如果每分钟滚动 15 周,这台压路机一 小时压过的路面是多少平方米? 3 3一个实验室长 12 米,宽 8 米,高 4 米。要粉刷实验室的天花板和四面墙壁,除去门窗和黑板的面 积 30 平方米,平均每平方米用涂料 0.5 千克,粉刷过程中有 10的浪费,粉刷两遍,一共
11、需要涂料多 少千克?商店有两种所需要的涂料如右图,买涂料最少需要多少钱? 4 4一个正方体木块的表面积是 96 2 cm,把它锯成体积相等的 8 个正方体小方块,每个小方块的表面积 是多少? 5 5一个长方体,高截去 2 厘米,表面积减少了 48 平方厘米,剩下部分成为一个正方体,原长方体的 表面积是多少平方厘米? 6 6一个圆柱的底面周长是 1884cm,高 8cm,从顶点沿高把它切成相等的两半,表面积增加了多少平 方厘米? 7 7右图是一个边长为 4 厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中心位置 挖去一个边长 1 厘米的正方体, 做成一种玩具。 它的表面积是多少平方厘米? (图 中只
12、画出了前面、右面、上面挖去的正方体) 8一张长方形铁皮,如图剪下阴影部分制成圆桶(单位:分米) ,求这个圆桶的表面积。 (提示:圆桶 盖的周长等于长方形铁皮的长。 ) 9将高都是 1 米,底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体。这个物体的表面 积是多少?(3.14) 冲刺名校提升冲刺名校提升 一、填空题一、填空题 1 1 (临川某中入学) (临川某中入学)如图,一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的,如果 去掉一个正方体, 表面积就比原来减少 30 2 cm, 原来长方体的表面积是 ( ) 。 2 2 (西安高新某中入学 (西安高新某中入学)一个长方体,如果高
13、增加 2 厘米就成了正方体,而且表面积要增加 56 平方厘 米,原来这个长方体的体积是( )立方厘米。 3(西安某交大附中入学)(西安某交大附中入学)如图,是由一些棱长为 1 的小正方体木块叠放成的几何体,其中第一个几 何体的表面积为 6,按照图中的叠放规律,第 5 个几何体的表面积为( ) 。 4(临川某中分班)(临川某中分班)将右图正方体沿水平方向切 2 刀,得到 3 个小长方体,这 3 个小长方体的表面积 总和是( )平方厘米。 5(西安高新某中入学)(西安高新某中入学)把一个底面半径为 5 厘米、高为 10 厘米的圆柱体,切拼成一个近似的长方 体,表面积比原来增加了( )平方厘米。 6
14、 6 (西安某交大附中入学 (西安某交大附中入学)一个长方体的长、宽、高之比为 543,若长方体的棱长总和等于正方体 的棱长总和,则长方体的表面积与正方体的表面积之比为( ) 。 7 7 (宝鸡高新某中入学 (宝鸡高新某中入学)将边长为 13 厘米的正方形铁片的四个角各剪去一个边长为 3 厘米的小正方形,如图所示,剩余部分折成一个无盖的长方体盒子,该无盖长方体 盒子的表面积是( )平方厘米。 8 8 (西安某铁一中分班 (西安某铁一中分班)一个长方体正好可以切成 3 个一样的正方体,切开后每个正 方体的表面积是 18 平方厘米,那么原来这个长方体的表面积是( )平方厘米。 9 9 (西安某铁一
15、中分班 (西安某铁一中分班)如图,一个圆锥的底面周长是 25.12 厘米,高是 4 厘米。从圆 锥的顶点沿着高将它切成两半, 表面积之和比原圆锥的表面积增加了 ( ) 平方厘米。 ( 取 3.14) 10 0 (江西某师大附中入学) (江西某师大附中入学)用 16 个棱长 1 厘米的立方体拼成一个长方体,其中表面积 最大的与最小的相差( )平方厘米。 二、选择题二、选择题 1 1 (西安高新某中入学 (西安高新某中入学) 做一个长 8 分米, 宽 4 分米, 高 3 分米的无盖玻璃鱼缸, 至少需要玻璃 ( ) 平方分米。 A63 B104 C136 D192 2 2 (西安某铁一中分班) (西
16、安某铁一中分班)将一个棱长为 2 分米的正方体任意截成两个长方体,这两个长方体的表面积 是( ) 。 A16 B24 C32 D无法确定 3 3 (江西某师大附中入学 (江西某师大附中入学)一个圆柱底面直径和高都是 2 分米,这个圆柱的表面积是( )平方分米。 A6 B5 C4 D3 4 4 (成都某中入学 (成都某中入学)用三个完全一样的正方体,拼成一个长方体,长方体的表面积是 70 平方分米,原 来一个正方体的表面积是( )平方分米。 A27 B28 C29 D30 5 5 (西安某铁一中分班 (西安某铁一中分班)把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形,然后拼成一个近似的长方体,表面 积比原来
17、增加了 100 平方厘米,圆柱的高是 10 厘米,那么圆柱的侧面积是( )平方厘米。 A314 B628 C785 D1000 三、解决问题三、解决问题 1 1 (西安某知中学入学) (西安某知中学入学)一个美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时,把 14 个棱长为 1 分米的正 方体摆在课桌上, 如图所示, 然后把露出的表面涂上不同的颜色,则涂上颜色的面积为多少平方分米? 2(西安某工大附中入学)(西安某工大附中入学)如图,一个长方体,如果长增加 3 厘米,宽和高都不变,体积增加 6 立方 厘米; 如果宽增加 4 厘米, 长和高都不变, 体积增加 32 立方厘米; 如果高增加 5 厘米, 长
18、和宽都不变, 体积增加 20 立方厘米,求这个长方体的表面积。 立体图形的体积立体图形的体积 知识要点梳理知识要点梳理 一、一、体积和容积体积和容积 1体积:体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2容积容积:容器所能容纳物体的体积叫做容积。 容积单位一般用体积单位。 当容器所容纳的物体是液体时,常用升、毫升作单位。 (注:容积的计算方法跟体积的计算方法相同,但要从容器的里面量。 ) 二、二、立体图形的体积计算公式立体图形的体积计算公式 考点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 方体和正方体的体积方体和正方体的体积 【例【例 1 1】 在一个长、宽、高分别是 30 厘米、
19、25 厘米、60 厘米的长方体的箱子里,最多能装进棱长为 1 分米的立方体( )个。 A45 B30 C36 D72 【精析精析】 把这个长方体箱子的长、宽、高分别换算成分米是 3 分米、2.5 分米、6 分米,这个箱子一 层长可以装进 3 个, 宽只能装进 2 个棱长 1 分米的立方体, 高可以装进 6 个, 因此只能装进 (326) 名称 图形 字母意义 体积计算公式 长 方 体 a:长 b:宽 h:高 hSabhV 底 正 方 体 a:棱长 底 S:底面积 V;体积 aSaV 底 3 圆柱 r:底面半径 h:高 C:底面周长 hShrV 底 3 圆锥 r:底面半径 h:高 hrhSV 2
20、 3 1 3 1 底 36 个。 【答案答案】 C 【归纳总结归纳总结】 注意, 此题容易出现的错误是不考虑实际, 用这个箱子的容积除以每个立方体的体积。 考点考点 2 2 圆柱的体积圆柱的体积 【例【例 2 2】 下图是一根空心钢管,求它所用钢材的体积。 【精析精析】 此题考查空心圆柱体积的求法。根据空心圆柱的体积大圆柱的体积小圆柱的体积计算 即可。 【答案】【答案】 3.14 (1.22) 2(0.62)22.52.1195(立方米) 答:它所用钢材的体积是 21195 立方米。 【例例 3 3】 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈) ,容积是 20 升。瓶中装有一些饮料,正放时饮 料
21、高度为 20cm,倒放时空余部分高度为 5cm,问瓶中现有饮料( )升。 【精析【精析】 正放和倒放时,瓶中液体的体积不变,即空余部分体积相等。 【答案【答案】 2020(205) 16(升)答:瓶中现有饮料 16 升。 【归纳总结归纳总结】 无论是正放还是倒放瓶子的饮料和瓶子的体积不变, 所以它们的空余部分总是不变的。 考点考点 2 2 圆锥的体积圆锥的体积 【例 4】 一个圆锥形沙堆,底面积是 8 平方米,高是 15 米。用这堆沙在 5 米宽的路上铺 2 厘米厚, 能铺多少米? 【精析】【精析】 沙子都铺在路面上后的形状,是一个宽 5 米、厚 2 厘米的近似长方体。 【答案】【答案】138
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