小升初数学《综合应用教师鸽巢植树鸡兔》知识要点梳理+考点精讲分析(含答案)
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1、32.32.综合应用综合应用 知识要点梳理知识要点梳理 一、一、鸽巢原理鸽巢原理 1.定义:定义:鸽巢原理又叫抽屉原理,它是组合数学的一个 基本原理。 2.2.类型:类型: (1)吧 n+1 个元素分成 n 类,不管怎么分,则一定有一类有 2 个或 2 个以上的元素。 (2)吧 m 个元素任意放入 n(nm)各集合,则一定有一个集合至少要有 k 个元素,其中 k= n m (当 n 能 整除 m 时) ,或 k= n m +1(当 n 不能整除 m 时)这里的 n m 表示不大于 n m 的最大整数。 3.3.解题的步骤解题的步骤: 第一步:分析题意,分清什么是“东西” ,什么是“抽屉” 。
2、第二步:制造抽屉。这是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉。根据题目的条件和结论,结合有关的数学 知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路。 第三步第三步: :运用抽屉原理。运用抽屉原理。 二、二、植树问题植树问题 1.定义定义:植树问题是指在某个固定图形上,给定点之间的距离或其他条件,在这个图形上最多能分布多少个 这样的点的问题。 2.2.公式公式: : 直线植树问题:计算两端点时,树木数=路线长度树木间隔+1 计算一端点时,树木数=路线长度:树木间隔 不计算两端点时,树木数=路线长度树木间隔-1 圆周植树问题:树木数=路线长度树木间隔 三、鸡兔同笼
3、问题三、鸡兔同笼问题 方法:假设法,方程法,抬脚法,列表法。 假设法解题思路:提出假设一产生差异一分析原因一解决差异。 公式 1;(兔的脚数 x 总只数一总脚数):(兔的脚数一鸡的脚数)=鸡的只数; 总只数-鸡的只数=兔的只数 公式 2;(总脚数一鸡的脚数 x 总只数):(兔的脚数一鸡的脚数)=兔的只数; 总只数-兔的只数=鸡的只数 公式公式 3;(3;(设兔为设兔为 x x 只,鸡为(总只数只,鸡为(总只数- -x x) ) ) 4x + 2(4x + 2(总只数总只数- -想)想)= =总脚数总脚数(用这种方法,所以一定要学会解方程! ! )(用这种方法,所以一定要学会解方程! ! ) 考
4、点精讲分析考点精讲分析 典例精讲典例精讲 考点考点 1 1 鸽巢原理鸽巢原理 【例【例 1 1】 张阿姨给孩子买衣服,有红、黄、白三种颜色,但结果总是至少有两个孩子的颜色一样,她至少 有( )个孩子。 A.4 B.2 C.3 【精析精析】把颜色的种类看作“抽屉” ,把孩子的数量看作物体的个数,根据抽屉原理得出:孩子的个数至少 比颜色的种类多 1 时,才能至保证少有两个孩子的颜色一样,即 3+1=4(个)。 【答案【答案】A 【归纳总结归纳总结】元素大于抽屉数,解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数” ,把谁看作“物体个数” 。 【例【例 2 2】把 56 个苹果装在 9 个袋子里,有一个袋子
5、至少装( )个苹果。 A.5 B.6 C.7 【精析【精析】把 56 个苹果装在 9 个袋子里,将这 9 个袋子当做 9 个抽屉,56 9 =6 个2 个,即平均每个袋 子里装 6 个后,还余下 2 个.根据抽屉原理可知,总有一个袋子至少要装 6+1=7 个,据此即可判断.解:56 9=6(个).2(个),6+1 =7(个)。 【答案答案】 C 【归纳总结归纳总结】在此类抽屉问题中,至少数=物体数除以抽屉数的商+1(有余的情况下)。 【例例 3 3】 考点 2 植树问题 园林工人沿公路一侧植树,每隔 6 米种一棵,一共种了 36 棵,从第 1 棵到最后一棵的距离有多远? 【精析精析】根据题干,
6、此题属于两端都要栽的情况:间隔数=植树棵数一 1,由此可以求出从第 1 棵到最后一棵 之间有 36 一 1 = 35 个间隔,再乘以 6 即可解决问题。 【答案【答案】(36 一 1) x6=35 x6=210(米) 答:从第一棵到最后一棵的距离是 210 米。 【归纳总结归纳总结】两端都要栽时,间隔数=植树棵数-1,由此即可解答。 【例例 4 4】一个正方形花坛的周长是 120 米,在它四周每隔 3 米放一个花盆,每个角上都有一盆花,每边放多 少盆花? 【精析精析】用正方形的周长除以 4,求出每条边的长度,再根据两端都要栽的计算方法:棵数=间隔数+1,进行 解答。 【答案答案】120 4 3
7、 +1 =10 +1 =11(棵) 答:每边放 11 盆花。 【归纳总结归纳总结】本题关键是求出每条边的长度,再根据棵数=间隔数+1 的计算方法进行计算。 考点 3 鸡兔同笼 【例例 5 5】 松鼠妈妈采松子,晴天每天可采 20 个,雨天每天只能采 12 个,它一连几天采了 112 个松子,平 均每天采 14 个,这几天当中有几天是雨天? 【精析【精析】一连几天采了 112 个,平均每天采 14 个,可以求出采松子的总天数,再用假设法就可以求出雨天 的天数。 【答案【答案】 采松子的天数:112 14 =8(天)假设 8 天全为晴天, 则可采 20 x8=160(个)雨天的天数:(160 一
8、442) (20 一 12) = 6(天) 答:这几天雨天有 6 天。 【归纳总结【归纳总结】把两种不同的量假设成同一量,算出总量,和实际总量相比较得出差异。 名题精析名题精析 【例例】(江西某师大附中入学)房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 个,如果椅子腿数和凳子腿数加 起来共 60 条,那么有( )把椅子。 【精析精析】这是一道典型的简单的鸡兔同笼问题,可用假设法。假设 16 个都是凳子,得出腿的总数,并求出 总差。 【答案答案】假设 16 个全是椅子,则 16 x4=64(条) (64 一 60)(4 一 3) =4(把) 16 一 4=12(把) 【归纳总结归纳总结】此
9、题属于鸡兔同笼问题,解这类题的关键是用假设法进行分析,进而得出结论;也可以用方程 进行解答。 毕业生学训练毕业生学训练 一、填空题一、填空题 1. 30 只鸽子飞进 7 个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进( )只鸽子。 2.在一个正方形花坛的四周种树,四个顶点各种一棵,每边种 5 棵,共种( )棵。 3.笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有 16 个头,从下面数,有 52 个脚,那么鸡有( )只,兔有 ( ) 只。 4. 13 只鸡放进 4 个鸡笼里,至少有( )只鸡要放进同一个鸡笼里。 5.在 100 米的人行道两边栽树,每隔 4 米栽一棵(两端都要栽)需要栽( )棵树 6.在一条马路一边从头至尾植
10、树 36 棵,每相邻两棵树之间隔 8 米,这条马路有( )。 7 一个鱼塘的周长是 1500 米,沿鱼塘周围每隔 6 米栽一棵杨树,需要种( )棵杨树。 8.全班 46 人去划船,一共租了 9 条船,每条大船坐 6 人,每条小船坐 4 人,他们租用了( )条大船。 二、选择题二、选择题 1 一副扑克牌加上大、小王共有 54 张,至少抽取( )张牌就一定能保证有两张同色。 A.5 B.6 C.7 D.13 2.小明要到一栋楼的第巧层上去,他从第一层走到第五层用了 100 秒,如果用同样的速度走到 15 层,还要 ( )秒。 A.200 8.250 0.300 D.350 3.数学竞赛共 10 题
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