六年级下数学《第六讲 正比例和反比例》精品讲义（含答案）

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1、1 第六讲 正比例和反比例 课程目标课程目标 1、使学生理解正、反比例的意义。 2、认识正比例关系与反比例关系的联系和区别，能够正确判断成正、反比例关 系。 3、了解了表示正比例的图像特征，并能根据图像解决有关的简单问题。 4、培养学生用事物相互联系和发展变化的观点来分析问题。 课程重点课程重点 理解正反比例的意义。 课程难点课程难点 能够正确判断成正、反比例关系。 教学方法建议教学方法建议 （讲解，比较，练习。 ） 一、知识梳理 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，并且这两种量中相对应的两个数 的比值(也就是商)一定。 像这样的两种量我们就把它们叫做成正比例的量， 它们的关系

2、叫做 正比例关系。 2、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数 的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 二、方法归纳 1、如果我们用字母X，y表示两种相关联的量用字母K表示它们的比值，正比例关系用字母 表示出来： y x K(一定) 2、如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的积(一定)，成反比例的字母公 式：xy=k(一定)。 3、正反比例的区别和联系： 相同点是:都有两种相关联的量，都有一个定量。 2 不同点是:成正比例的量， 两种相关联的量同扩同缩， 而且相对应的两个数的商(比值)一定； 成反比例的量，

3、两种相关联的量一扩一缩，相对应的两个数的积是一定的。 4、正比例： 两种相关联的量。 一种量增加，另一种量也相应增加；一种量减少，另一种量也相应减少。 两种量的比值一定。 关系式： 5、反比例： 两种相关联的量； 一种量增加，另一种量反而减少；一种量减少，另一种量反而增加； 两种量的乘积一定。 关系式： 三、课堂精讲 （一）正比例的意义（一）正比例的意义 例例1 1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表： 时间（时） 1 2 3 4 5 6 7 8 路程（千米） 60 120 180 240 300 360 420 480 填空： 1、表中有 和 两种量，当时间是1小时，路程是 当时间是2小时

4、，路程是 ，这说明时间这种量变化了，路程这种量 也 。 2、观察表格：我们从左往右观察，时间扩大2倍，对应的路程也 倍，时间扩大3 倍，对应的路程也 倍从右往左观察，时间缩小8倍，对应的路程也 ；时间 缩小7倍，对应的路程也 通过观察，我们发现路程是随着 的变化 而变化的。时间扩大路程也扩大，时间缩小路程也 。它们扩大、缩小的规律 是 。 3、比值60，实际上是火车的 ：将这些式子所表示的意义写成一个关系式： 。 时间 路程 速度速度( (定定) ) 3 4、小结：通过刚才的观察和分析我们知道路程和时间是两种 的量。(两种 相关联的量。)路程和时间这两种量的变化规律是 。 (路程和时间的比的比

5、值(速度)总是一定的。) 【规律方法规律方法】理解成正比例的意义。判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是 相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件， 再看它们的比值是否一定。 不要省去任何一步。 如果用字母和分别表示两种相关联的量， 用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： x y = K（一定） 。 【变式训练【变式训练 1 1】 【难度分级】【难度分级】 A A 1、下面各题中哪两种量成正比例?为什么? 笔记本单价一定，数量和总价。 汽车行驶速度一定，行驶的路程和时间。 工作效率一定，工作时间和工作总量。 一袋大米的重量一定吃了的

6、和剩下的。 2、说出每小时加工零件数、加工时间和加工零件总数三者间的数量关系。在什么条件下， 其中两种量成正比例? （二）反比例的意义（二）反比例的意义 例例 2 2 用 600 页纸装订同样的练习本，每本的页数和装订的本数有什么关系呢？请先填表 后，再回答下列问题。 4 每本的页数每本的页数 1515 2020 2525 3030 4040 装订的本数装订的本数 4040 观察上表，回答下面的问题：表中有表中有 和 两种量。 装订的本数是随着每本页数的变化而变化的。每本的页数扩大，装订的本数 ； 每本的页数缩小，装订的本数 。 当每本的页数 ，装订的本数反而缩小；当每本的页数 ，装订的本数

7、反而扩大。它们变化的规律是：一扩 或一缩 ，变化的倍数相同。 1540= ；2030= ；2524= ；每本的页数和装订的本数 的 总是一定。每本的页数装订的本数= 。所以说每本的页数和 装订的本数是成 的关系。 【规律方法规律方法】理解成反比例的意义。 【变式训练【变式训练 2 2】 【难度分级】【难度分级】 A A 1 填一填，说一说。 （1） 木瓜的总个数一定，每箱个数与所装的箱数情况如下表。 每箱个数 4 8 10 20 箱数 50 25 把表格填写完整。 说一说每箱个数和箱数的变化情况。 这里 一定，也就是每箱个数和箱数的 一定。所以每箱个数和箱数 成 比例。 （2） 看一本书，每天

8、看的页数和所看天数的情况如下表。 每天看的页数 4 8 10 16 20 所看天数 80 40 32 把表格填写完整。 5 这里 一定。 每天看的页数与所看天数成 比例关系。 （三）正比例和反比例（三）正比例和反比例 例例 3 3 A、B 、C 三种量的关系是： AB C 1）如果 A 一定，那么 B 和 C 成（ ）比例； 2）如果 B 一定，那么 A 和 C 成（ ）比例； 3）如果 C 一定，那么 A 和 B 成（ ）比例 例例 4 4 下面常用的一些相关联的量成什么比例。 (1)速度时间路程。 速度一定，( )和( )成( )比例。 时间一定，( )和( )成( )比例。 路程一定，(

9、 )和( )成( )比例。 (2)单价数量总价。 单价一定，( )和( )成( )比例。 数量一定，( )和( )成( )比例。 总价一定，( )和( )成( )比例。 【规律方法规律方法】区别正比例和反比例的意义。 例例 5 5 填空：填空： (1)每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成( )比例。 (2)要修的路程一定，每天修的路程与天数成( )比例。 (3)肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成( )比例。 (4)钱的总数一定，铅笔数量和单价成( )比例。 (5)制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成( )比例。 【规律方法规律方法】巩固具体问题中的成正比例和成反比例

10、关系。 【变式训练【变式训练 3 3】 【难度分级】【难度分级】 A A （一）填空 1、比的前项一定，比的后项和比值成（ ）比例。 6 2、平行四边形的面积一定，它的底和高成（ ）比例。 3、烧煤的天数一定，每天的烧煤量和煤的总量成（ ）比例。 4、长方形的周长一定，它的长和宽（ ）比例。 (二)选择题。 1、实际距离一定，图上距离和比例尺( )。 A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例 2、下列各题中，两种量成反比例关系是（ ） 。 A、工作效率一定，工作时间和工作总量 B、一段路程一定，已走路程和剩下的路程 C、长方形周长一定，它的长和宽 D、三角形的面积一定，这三角形的底和高 3、表

11、示 a 和 b 这两种量成反比例的关系式是（ ） A、a+b=8 B、a-b=8 C、ab=8 D、ab=8 4、被减数一定，减数与差（ ） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 5、花生的出油率一定，花生的重量和油的重量（ ） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 （四）正比例的图像（四）正比例的图像 例例 6 6 （1）如果x和y成正比例，并且y x20。请完成下表。 y 20 80 130 1 000 850 x 1.5 8 0.4 10 （2）在下图中，描出上题中y与相对应的x的点(注意找几个关键点)，然后连成线。 【规律方法规律方法】根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依

12、次连成直线。x 和 y 相对应的 数的比值都是 20，即 20 一定，x 和 y 成正比例，图像是一条直线。 7 【变式训练【变式训练 4 4】 【难度分级】【难度分级】 A A 李平和同学星期六骑车去郊游，下图表示她骑车的路程和时间的关系。 (1)李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？ (2)利用图估计， 李平 20 分钟大约行了多少千米？行 20 千米大约用了多少分钟？(答案保留 整数) （五）正反比例的应用（五）正反比例的应用 例例 7 7 一房间铺地面积和用砖数如下表，根据要求填空 铺地面积（平方米） 1 2 3 4 5 用砖块数 25 50 75 100 125 （1）表中（

13、）和（ ）是相关联的量， （ ）随着（ ）的变化而变化 （2）表中第三组这两种量相对应的两个数的比是（ ） ，比值是（ ） ；第五组这两 种量相对应的两个数的比是（ ） ，比值是（ ） （3）上面所求出的比值所表示的的意义是（ ） ，铺地面积和砖的块数的（ ）是 一定的，所以铺地面积和砖的块数（ ） 8 例例 8 8 3 个人练习打同一份稿件，每人打字所用时间如下表，请填表并回答问题。 玲玲 军军 奇奇 打字所用的时间（分） 10 12 20 速度（字/分） 84 70 42 （1）不同的人在打同一份稿件的过程中，哪个量没变？ （2）打字的速度和所用的时间有什么关系？ （3）张老师打这份稿件用

14、了 7 分钟，你知道她平均每分钟打多少个字吗？ 【规律方法规律方法】利用正反比例的意义解决实际问题。 四、讲练结合题 1、填一填，说一说。 （1）每箱木瓜的个数一定，运来木瓜的箱数和木瓜总个数如下表。 箱数/箱 4 8 16 32 总个数/个 32 64 把表格填写完整，说一说你是怎么做的。 说一说箱数和总个数的变化情况。 这里 是一定的，也就是总个数和箱数的 一定。所以总个数和箱数成 比例。 （2）征订小学生导刊 ，征订的份数与应付的钱数如下表。 征订份数/份 50 40 30 20 10 应付的钱数/元 1500 1200 9 请你把表格补充完整。 征订的份数与应付的钱数成 比例。说明理由

15、。 2、判断下面的两种量成不成比例？成正比例画“”，成反比例画“”，不成比例画 “”。 (1)每小时织布米数一定，织布的总时间和总米数。( ) (2)一个人的年龄和他的体重。( ) (3)生产总量一定，每天的生产量和生产天数。( ) (4)正方形的边长和面积。( ) (5)分母一定，分子和分数值。( ) 3、填空： (1)物品的总价一定，它的单价和数量成( )比例。 (2)每公顷的施肥量一定，施肥的公顷数和施肥总量成( )比例。 (3)要走的路程一定，已行路程与未行的路程( )比例。 (4)比的后项一定，前项和比值成( )比例。 (5)甲数是乙数的 80%，甲数和乙数成( )比例。 (6)圆的

16、半径和它的周长成( )比例。 圆的直径和它的面积( )比例 （7）每公顷产量已定，总产量与公顷数成（ ）比例。 （8）积一定,两个因数( )比例 （9）工作效率一定,工作总量和工作时间( )比例 （10） 商一定,被除数与除数( )比例 （11） 圆锥的高一定,它的体积与底面积( )比例 （12）正方形的边长和面积( )比例 4、填一填。 (1)已知 x和y成正比例关系，请完成下列表格。 x 60 8 y 6 4 2.4 (2)已知x和y成反比例关系，请完成下表。 x 0.07 1.4 0.2 y 14 10 10 5、如果 a bc1(b0，c0)，那么，当 a一定时，b和c成( )比例；当

17、b一定时，a 和c成( )比例；当c一定时，a和b成( )比例。 6、判断(对的打“”，错的打“”) (1)生产效率一定，生产的总量和生产的时间成反比例。( ) (2)出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。( ) (3)汽车速度一定，行驶的路程和所用时间成反比例。( ) (4)三角形的高一定，它的面积和底不成比例。( ) (5)被减数一定，减数和差成反比例。( ) 7、在一间布店的柜台上，有一张写着某种花布的米数和总价，如下表： 数量（米） 1 2 3 4 5 6 7 总价（元） 95 19 285 38 475 57 665 （1）表中有（ ）和（ ）两种量。 （2）在组里说说总价是怎

18、样随着数量的变化而变化的？ （3）任意写出三个相对应的总价和数量的比，并算出它们的比值。 （4）比值实际上表示（ ），请用式子表示它们的关系。关系式： 下结论：花布的（ ）一定， （ ）和（ ）成（ ）比例。 8、如果 75 yx ，那么 x 和 y 成（ ）比例 ，如果x 5 7 y ,那么 a与b成( )比例。 五课后自测练习 （一一）判断题：判断题： 1、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。( ) 2、 两根同样长的钢筋,其中一根锯成3段用了12分钟,另一根要锯成6段,需要24分钟 （ ） 3、比例的两个内项互为倒数，那么它的两个外项也互为倒数。 ( ) 4、在一幅地图上，图上距离

19、和实际距离成正比例。 （ ） 5、比的前项和后项都扩大 2 倍 得到一个新的比，这两个比能组成比例。 （ ） 6、 X 和 Y 表示两种相关联的量，同时 5X7Y=0，X 和 Y 不成比例。 （ ） 11 7、如果 3a=5b，那么 a：b=5：3。 ( ) 8、分数值一定，它的分子和分母成正比例。 （ ） 9、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ） 10、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ） 11、正方形的边长和周长成正比例。（ ） 12、正方形的边长和面积成正比例。（ ） 13、a 是 b 的 5/7，数 a 和数 b 成正比例。（ ） 14、 在比例里， 如

20、果两个内项的乘积是 1， 那么， 组成比例外项的两个数一定互为倒数。（ ） 15、如果 4a=3b,那么 ab=34 。（ ） 16、圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。（ ） 17、 8 A =B，那么 A 和 B 成反比例。 （ ） 18、如果 x 与 y 成反比例，那么 3 x 与 y 也成反比例。 （ ） （二二）选择题：选择题： 1、已知 A、B、C 三种量的关系是 AB=C，如果 A 一定，那么 B 和 C 成（ ）比例关系， 如果 C 一定，A 和 B 成（ ）比例关系。 2、若 8x=10y，那么 x 是 y 的（ ） ，x、y 成（ ）比例关系。 3、长度一定的铁丝，平均分成

21、若干段，每段的长度和截的段数成（ ）比例 4、如果 y=5x，那么 x 和 y 成（ ）比例。如果 7x=8y，那么 xy=（ ）( ) 5、如果 a b = 2 1 ，那么 a 和 b 成（ ）比例关系。 6、直圆柱的高一定,它的底面半径和体积( )比例 7、如果 Y= X 4 ，X 和 Y 成（ ）比例，Y= 4 X ，X 和 Y 成（ ）比例。 8、如果 65，那么：_： _， ：5_：_。 （三三）选择题：选择题： 12 1、一条路的长度一定，已经修好的部分和剩下的部分( ）。 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 2、数学学习报的单价一定，订阅份数与总价（ ） A、成正比例 B、

22、成反比例 C、不成比例 4、表示 x 和 y 成正比例的关系式是( )。 A、x+y=k (一定) B、xy= k C、 x y = k (一定) D、xy=k (一定) 5、在下面各比中，能与 3 1 ： 4 1 组成比例的比是( )。 A、4：3 B、3：4 C、 4 1 ：3 D、 4 1 ： 3 1 6、一项工程，甲队单独做要 10 天，乙队要 8 天，甲乙两队工效比是 ( )。 A、10：8 B、5：4 C、4：5 7、下面两种数量中不成比例的是( )。 A、正方形的周长和边长 B、某同学从家到学校的步行速度和所用时间 C、圆周率和周长 D、圆的直径和周长 8、圆的半径与面积（ ）

23、。 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 9、做一个零件的时间一定，做的零件个数与总时间。 （ ） A、成正比例关系 B、成反比例关系 C、不成比例 10、小明拿一些钱买铅笔，单价和购买的数量 （ ） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 11、路程一定，车轮的直径与车轮转的圈数。 （ ） A、成正比例关系 B、成反比例关系 C、不成比例 12、小林做 10 道数学题，已做的题和没有做的题 （ ） A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 13、在比例里，两个外项的积一定，两个内项成（ ） 。 A、正比例 B、反比例 C、不成比例 D、无法判断 14、互为倒数的两个数，它们一定成（ ）

24、 。 A、正比例 B、反比例 C、不成比例 D、无法判断 13 15、小王的身高与体重成（ ） 。 A、正比例 B、反比例 C、不成比例 D、无法判断 16全班人数一定,出勤人数和出勤率( )。 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 （四） 、看图解决问题。 1、 同一时间，同一地点测得树高和影长如下图： （1）看图填写下表： 树高/m 影长/m （2）树高和影长成比例吗？成什么比例？为什么？ （3）根据图象，估计 8 米高的树，这时的影长是多少米？ （五）我能解决下列问题。 1、妈妈去买苹果，苹果的总价和购买的数量如下： 数量（千克） 2 4 5 8 10 12 总价（元） 8 16 2

25、4 32 40 48 （1） 妈妈买苹果的总价和所买数量成正比例吗？为什么？ （2）根据表中数据，在下图中描出总价和所买数量所对应的点，再把它们用线连起来。 总价（元） 1 2 3 4 5 6 7 8 树高树高/m 影长影长/m 5.6 4.8 4.0 3.2 2.4 1.6 0.8 4 5 13 2 14 （3）看上图判断，妈妈买 5 千克苹果需要多少元？60 元可以买多少千克苹果？ 第六讲 正比例和反比例 （二）（二） 4、 y / x = k (一定) 5、 y = k (一定) / x （三）（三） 1、 时间 路程 60 千米 120 千米 变化 2、 扩大 2 扩大 3 缩小 8

26、缩小 7 时间 缩小 路程随着时间的扩大而扩大， 也随着时间的缩小而缩小 3、 速度 x / y = k 4、 变化 时间扩大，路程扩大。时间缩小，路程缩小。 【变式训练【变式训练 1 1】 1、 同时扩大，同时缩小。成正比例，不是。 2 4 6 8 10 12 14 16 数量/千克 56 48 40 32 24 16 8 0 15 2、 零件的总个数每小时加工零件的个数=时间； 时间一定，每小时加工零件数和零件总 数成正比例。 例例 2 2 30 24 20 15 页数 本数 缩小 扩大 扩大 缩小 一缩 一扩 600 600 乘积 600 反比例 【变式训练【变式训练 2 2】 1、 （

27、1）20 10 木瓜的总数 积 反 （2）书的页数 反 （二） 例 3 （1） 正 （2） 正 （3） 正 例 4 （1）路程 时间 正 路程 速度 正 时间 速度 反 （2）（2）数量 总价 正 单价 总价 正 数量 单价 反 例 5 （1）正 （2）反 （3）反 （4）反 （5）正 【变式训练【变式训练 3 3】 （一） 1、 反 2、 反 3、 正 4、 反 （二） 1-5 BDCCA （三） 例 6（1） 1 30 4 160 6.5 8 200 500 4.25 【变式训练【变式训练 4 4】 （1） 成。 8 ：30 = 16 : 60 = 24 ： 90 = 4 / 15 （2）

28、8 / 30 20 5（千米） 20 8 / 30 = 75 （分钟） （四） 例 7 （1） 铺地面积 用砖块数 用砖块数 铺地面积 （2） 75 ：3 25 125 : 5 25 16 （3） 每平方米用砖的块数 比值 成正比例 例 8 （1）总字数 （3） 打字用的时间打字的速度=总字数 乘积一定，成反比例。 四、讲练结合题 、 （1） 128 256 每箱木瓜的个数 比例 正 （2） 900 600 300 正 2、 （1-5） 3、 （1-6） 反 正 不成 正 正 正 不成 （7-12） 正 反 正 正 正 不成 4、 (1) 90 8/15 36 75 5 (2) 40 2 0.

29、28 2.8 1 5、 反 正 正 6、 7、 (1) 总价 数量 （2）总价随着数量的扩大而扩大 （3）9.5 ：1= 9.5 38 ： 4 = 9.5 66.5 : 7 =9.5 （4） 单价 单价 总价 数量 正 8、 正 反 五课后自测练习 (一) 1-5 6-10 11-15 16-18 (二) 1、 反 正 2、 5/ 4 正 3、 反 4、 正 8 7 5、 正 6、 不成 7、 正 反 8、 5 6 b 6 (三) 1-5 CACAC 6-10 CCCAB 11-16 BCBBCA (四) 1、 （1） 1.6 2.4 3.2 4 4.8 （2） 成。 正比例。 树高扩大， 影长扩大。 （3） 7.2 米 (五) （1）反。数量扩大，总价扩大。 （2）描点 （2 , 8） （4,16） （6,24） （三）20 元 604=15kg