六年级下数学《第十讲 数和数的运算二》精品讲义(含答案)
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1、1 第十讲 数和数的运算(二) 课程目标课程目标 1、掌握四则运算混合运算的运算顺序。 2、掌握基本运算律,灵活运用运算律进行简便运算。 3、掌握质数合数的概念,掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用。 课程重点课程重点 观察算式特点,灵活运用运算律。 课程难点课程难点 最大公因数、最小公倍数的实际应用; 教学方法建议教学方法建议 1.让学生理解简便运算的基础上,简便运算与加减乘除混合运算的区别与联系。 2.通过练习归纳出常见的方法。 一、知识梳理 (一(一)数的整除)数的整除 1. 1. 数的整除数的整除 整数 a 除以整数 b(b 0) ,除得的商是( )而没有( )数,我们就说 a 能被
2、 b 整除,或者说 b 能整除 a 。 如果数 a 能被数 b(b 0)整除,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数(或 a 的因数) 。 倍数和约数是相互依存的。 例如:357=5, 因为 35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍数,7 是 35 的约数。 【练习】【练习】判断:1.因为 427=6,所以 42 能整除 7。 ( ) 2、一个数的倍数一定比这个数的约数大。 ( ) 3、因为 61.25,所以 6 能被 1.2 整除。 ( ) 4.因为 160.820,所以 16 能被 0.8 整除。 ( ) 2. 一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是 1,最大的约数是它
3、本身。 例如:10 的约数有 1、2、5、10,其中最小的约数是( ) ,最大的约数是( ) 。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。 3 的倍数有:3、6、9、12其中最小的倍数是( ) , ( )最大的倍数。 3. 3. 被被 2.3.52.3.5 整除的数的特征:整除的数的特征: 2 个位上是 0、2、4、6、8 的数,都能被 2 整除,例如:202、480、304,都能被 2 整除。 。 个位上是 0 或 5 的数,都能被 5 整除,例如:5、30、405 都能被 5 整除。 。 一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除,例如:12、108、204
4、都能 被 3 整除。 一个数各位数上的和能被 9 整除,这个数就能被 9 整除。 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除,但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。 【练习】下面各数能同时被 2、3、5 整除的数是( ) (年省实) A . 215 B .30 C . 75 D . 94 4.4.偶数和奇数:偶数和奇数: 能被 2 整除的数叫做( ) 。 不能被 2 整除的数叫做( ) 。 0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。 5.5.质数和合数:质数和合数: 一个数,如果只有 1 和它本身两个约数,这样的数叫做( ) (或素数) 。 100 以内的质数有:2、3、5
5、、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数,如果除了 1 和它本身还有别的约数,这样的数叫做( ) , 例如 4、6、8、9、12 都是合数。 1 不是质数也不是合数,自然数除了 1 外,不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个 数的不同分类,可分为质数、合数和 1。 【练习】【练习】在所有的质数中,偶数的个数有( )。 (年联考) A、一个也没有 B、有一个 C、有两个 D、有无数个 6.6.质因数和分解质因数:质因数和分解质因数: 每个合数都可以写成几个( )相乘的形式。其中每个质数都是这
6、个合数的( ) 数,叫做这个合数的质因数。 例如 15=35,3 和 5 叫做 15 的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 例如把 28 分解质因数 3 . .最大公约数:最大公约数: 几个数公有的约数, 叫做这几个数的公约数。 其中最大的一个, 叫做这几个数的最大公约数。 例如 12 的约数有 1、2、3、4、6、12;18 的约数有 1、2、3、6、9、18。其中,1、2、 3、6 是 12 和 1 8 的公约数,6 是它们的最大公约数。 . .互质数:互质数: 公约数只有公约数只有 1 1 的两个数,叫做(的两个数,叫做( ) 。) 。 成互质关系的两个数,
7、有下列几种情况: ()1 和任何自然数互质。 如:和,和等; ()相邻的两个自然数互质。如:和 ,和等 ()两个不同的质数互质。 如;和, ( )和( ) ()当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。 如: ( )和( ) ()两个合数的公约数只有 1 时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说 这几个数两两互质。 如; ( )和( ) , ( )和( ) 如果较小数是较大数的约数,那么较( )数就是这两个数的最大公约数。 如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是( ) 。 【练习】【练习】判断:任意两个相邻的自然数(0 除外)都是互质数; ( ) (年联考 卷) . .最小
8、公倍数:最小公倍数: 几个数公有的倍数, 叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个, 叫做这几个数的最小公倍数, 如 2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18是 2、3 的公倍数,6 是它们的 最小公倍数。 。 如果较大数是较小数的倍数,那么较( )数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是( )的,而几个数的公倍数的个数是( )的。 10.10.数的整除数的整除 4 1. 把一个合数分解质因数,通常用( )法。先用能整除这个合数的质数去除,
9、一直 除到商是( )数为止,再把除数和商写成连乘的形式。 如:126 2. 求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商 只有公约数 1 为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一 直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的 最小公倍数。 1111. .奇偶性:奇偶性: 偶数偶数偶数 奇数奇数偶数 奇数偶数奇数 偶数个偶数相加是偶数,奇数个奇数相加是奇数。 偶数偶数偶数 奇数奇数奇数 奇数偶数偶数 相邻两个自然数之和
10、为( ) ,相邻自然数之积为( ) 。 如果乘式中有一个数为偶数,那么乘积一定是( )数。 (二)数的运算(二)数的运算 1 1、四则运算的意义、四则运算的意义 数的分类 运算名称 整数 小数 分数 加法 把两个数合并成一个数的运算。 减法 已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。 乘法 求几个相同加数 的和的简便运 算。 小数乘整数与整数乘法意 义相同。 分数乘整数与整数乘法意 义相同。 一个数乘小数,就是求这 个数的十分之几,百分之 几是多少。 一个数乘分数,就是求这 个数的几分之几是多少。 除法 已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 5 2 2、四则运算的法则
11、、四则运算的法则 3 3、四则运算各部分的关系:、四则运算各部分的关系: 加数+加数=和 被减数减数=差 一个加数=和另一个加数 减法 被减数=减数+差 减数=被减数差 因数因数=积 被除数除数=商 一个因数=积另一个因数 除法 被除数=商除数 除数=被除数商 4 4、运算定律和运算性质、运算定律和运算性质 整数 小数 分数 加 减 相同数位对齐, 从低位算起 加法: 满十就向前一位进一 减法:不够减就从前一位 退,退一当十 小数点对齐,从低位算 起,按整数加减法进行 计算,结果中的小数点 和加减的数的小数点对 齐。 1、同分母分数相加减,分母不变,分子 相加减。 2、异分母分数相加减,先通分
12、,然后再 按同分母分数相加减的方法计算。 3、结果能约分的要约分。 乘 法 1、从个位乘起,依次用第 二个因数每一位上的数去 乘第一个因数。 2、用第二个因数哪一位上 的数去乘, 得数的末位就和 第二个因数的哪一位对齐。 3、再把几次乘得的数加起 来。 1、按整数乘法法则算出 积。 2、看因数中一共有几位 小数,就从积的右边起 数出几位点上小数点。 1、 分数乘分数, 用分子相乘的积作分子, 分母相乘的积作分母。 2、 有整数的把整数看作分母是 1 的假分 数。 3、有带分数的,通常先把带分数化成假 分数。 除 法 除数是整数: 从被除数的高 位除起, 除数是几位就先看 被除数的前几位, 如果
13、不够 除, 就要多看一位, 除到哪 一位就要把商写在哪一位 的上面。 商的小数点和被除 数的小数点对齐。 除数是小数:先移动除 数的小数点,使它变成 整数,除数的小数点向 右移动几位,被除数的 小数点也向右移动相同 的位数(位数不够的补 0) ,然后按照除数是整 数的除法进行计算。 甲数除以乙数(0 除外) ,等于甲数乘以 乙数的倒数。 加法 乘法 6 加法交换律 : a+b=b+a 加法结合律 : (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 : ab=ba 乘法结合律 : (ab)c=a(bc) 乘法分配律 : (a+b)c=ac+bc 减法的运算性质: a-b-c=a-(b+c) 除法的运
14、算性质: a(bc)=abc 5 5、四则运算的顺序:、四则运算的顺序: 在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两 级运算,要先算第二级运算,再算第一级运算。 有括号的算式里,要先算括号里的,再算括号外的。 二、方法归纳 1. 一个数被整除的判断方法: 被 2 整除:个位是 0、2、4、6、8 的,则这个数能被 2 整除。 被 3(或 9)整除:数字之和能被 3 或 9 整除,则这个数能被 3 或 9 整除。 被 4(或 25)整除:末两位能被 4 或 25 整除,则这个数能被 4 或 25 整除。 被 5 整除:若一个整数的末位是 0 或 5,则这个数能被
15、 5 整除。 2. 判断互质数的技巧: 和其它的自然数。例:1 和 99、1 和 46 两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。例:3 和 4、9 和 10 两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。例:7 和 9、13 和 15 两个质数是互质数。例:5 和 7、11 和 17 3. 判断最大公因数的技巧: 如果两个数是互质数关系,那么最大公因数是 1。例:7 和 11 如果两个数是倍数关系,那么最大公因数是较小数。例:7 和 21 4. 判断最小公倍数的技巧: 如果两个数是互质数关系,那么最小公倍数是它们的乘积。例:5 和 7 如果两个数是倍数关系,那么最小公倍数是较大数。例:7 和 14 7 三
16、、课堂精讲 (一)最大公因数和最小公倍数(一)最大公因数和最小公倍数 例例(1)甲数=2357,乙数=2311,甲乙两数的最大公约数是( ) ,最小公 倍数是( ) 。 (2)把自然数 a 与 b 分解质因数,得到 a=257m,b=35m ,如果 a 与 b 的最小公 倍数是 2730,那么 m = ( ) 。 【规律方法规律方法】 掌握两数的最大公因数和最小公倍数的求法。 两数的最大公因数是这两数中的 相同质因数的积,最小公倍数是两数中相同的质因数和不同质因数的乘积。 【变式训练【变式训练 1 1】 、a=235,b=237,a 和 b 的最大公约数是( ),最小公倍数是( )。 (200
17、8 年联考) 2、 A=237, B=257, A 和 B 的最大公约数是( ), 最小公倍数是 ( ) 。 (2009 年联考) 、如果 A=60,B=42,那么 A、B 的最大公因数是( ) ,最小公倍数是( ) ; (2010 年联考卷) 、A=23a B= 2a7,已知 A、B 的最大公约数是 6,则 a=( ); A、B 的最小公 倍数是( ) 。 5、 (2012 年大联盟)a=23m,b=35m(m0 且是自然数) ,如果 a 和 b 的最大公约数 是 21,则 m 是( ) ,此时 a 和 b 的最小公倍数是( ) 。 6、如果 a=4b,a、b 都是大于 0 的自然数,那么
18、a、b 的最小公倍数是( ),最大公因数 是( )。 7、已知(A,40)=8,A,40=80,那么 A=( ) 。 (二二)数的整除数的整除 例例(1)有 9、7、2、1、0 五个数字,用其中的四个数字,组成能同时被 2、3、5 整除的 最小的四位数是( ) 。 (2)一个三位数既能被 2 整除,又能被 3 整除,而且个位、十位上相同,这个三位数最大 是( ) 。 (3)在 6、3、5、0、8、7 这六个数中选中五个数组成一个能同时被 2、3、5 整除的最小五 位数( )。 (年联考) 8 【规律方法规律方法】掌握同时被 2,3,5 整除的数的特征。 【变式训练【变式训练 2 2】 、 四个
19、数字 0、2、5、8 组成的四位数中,能同时被 3 和 5 整除的最大的数是( ) , 最小的数是( ) 。 、一个能被 2 和 3 整除的四位数,它的千位上的数是奇数又是合数,它的百位上的数不是 质数也不是合数,它十位上的数是最小的质数,个位上的数是( ) 。 3、一个三位数,百位上既不是质数也不是合数,十位上是最大的奇数,这个数又是 2 和 3 的倍数,这个三位数是( )或( ) 。 4、一个能被 2 和 3 整除的四位数,它的千位上的数是奇数又是合数,它的百位上的数不是 质数也不是合数,它十位上的数是最小的质数,个位上的数是( ) 。 例例()a 与 b 是互质数,它们的最小公倍数是最大
20、公约数的 m 倍,则 m 是( ).(2008 年联考) ab a b 1 ()如果自然数 A 除以自然数 B 商是 17,那么 A 与 B 的最大公约数是( ) ,最小公 倍数是( ) 。 【规律方法规律方法】 【变式训练【变式训练 3 3】 1、自然数 a 是自然数 b 的 3 倍,那么 a 与 b 的最小公倍数是( ) A、ab B、3C、a D、b 2、自然数 m 和 n,n= m+1,m 和 n 的最大公约数是( ) ,最小公倍数是( ) 。 、m、n 是非零自然数,mn=11,那么 m 和 n 的最大公因数是( ) 。 A、1 B、mn C、m D、n 、 a 与 b 是相邻的两个
21、非零自然数, 它们的最大公约数是 ( ) , 最小公倍数是 ( ) 。 (三三)数的整除的实际应用数的整除的实际应用 例例把 46 块水果糖和 38 块巧克力分别平均分给一个组的同学, 结果水果糖剩 1 块, 巧克力 剩 3 块。你知道这个组最多有几位同学吗? 46-1=45(块) , 38-3=35(块) , 45=335, 9 35=57, 所以 45 和 35 的最大公因数是 5,即最多有 5 名同学; 答:这个组最多有 5 名同学 故答案为:5 【规律方法规律方法】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积,对于两个数来说:两个 数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数根据题意
22、可知:如果糖有 46-1=45 块, 巧克力有 38-3=35 块,正好平均分完,求这个组最多有几名同学,即求 45 和 35 的最大公因 数, 把45和35进行分解质因数, 这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数; 由此解答即可 【变式训练【变式训练 4 4】 、被 2、3、5 除,结果都余 1 的最小整数是( ) ,最小三位整数是( ) 。 、一筐苹果 4 个 4 个拿,6 个 6 个拿,或者 8 个 8 个拿都正好拿完,这筐苹果最少有( ) 个。 、一个数被 6、7、8 除都余 1,这个数最小是( ) 。 、一个数除以.都余,这个数最小是( ) 、一个数个位和十位上的数字都是
23、合数,而且是互质数,这个数最小是( 、一个数除以余,除以余,除以余,这个数最小是( ) 【思路点拨】如果把这个数加上,它除以、都恰好能整除,它一定是、 的最小公倍数。随意解答时,可以先求出、的最小公倍数,然后减去. 7、 (2012 年大联盟)一个两位数除以 5 余 3,除以 7 余 5,这个两位数最大是( ) (A)72 (B)37 (C)68 (D)33 8、五 1 班同学上体育课,排成 3 行少 1 人,排成 4 行多 3 人,排成 5 行少 1 人,排成 6 行 多 5 人。问上体育课的同学最少多少名? 例例一个大厅里共有 200 盏彩灯。 每两盏灯与一个拉线开关相连 (同时亮或同时熄
24、)。 现在, 所有开关按序号 1100 安装在同一个控制箱内,所有的灯都处于“熄”的状态。李明先将 10 序号是 3 的倍数的开关拉一遍,接着刘强又将序号是 5 的倍数的开关拉了一遍。这时,大厅 里共有 ( )盏灯亮着。 (年联考卷) 由分析可知:有 82 盏灯亮着 故选:C 【规律方法规律方法】本题主要考查数的整除特征考点解答此题应结合题意,根据数的整除特征, 依次进行分析,进而得出结论李明将序号是 3 的倍数的开关拉一遍后,有 33 个开关开着 (1003 取整得 33) , 接着刘强又将序号是 5 的倍数的开关拉一遍后, 有 1005=20 个开关 动过,其中有 6 个是由开变关, (1
25、00(35)取整得 6) ,实质上是有 20-6=14 个开关被 打开了,两轮以后,一共有 33-6+14=41 个开关开着,有 412=82 盏灯亮着 【变式训练【变式训练 5 5】 (2011 年大联盟考卷题 10)下图是 A/B/C 三个互相咬合的齿轮,若 A 齿轮转 3 圈,B 齿轮 转 7 圈, C 齿轮转 2 圈, 那么这三个齿轮最少是 A 齿轮 ( ) 齿, B 轮 ( ) 齿, C 轮 ( ) 齿。 例例学生 133 人,编成几个小组,每个小组的人数相等,每个小组最多能有多少人?一共可 以编成多少个这样的小组? 【规律方法规律方法】首先把 133 分解质因数:133197,所以
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