专练20 函数中的四边形存在性问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)
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1、专练 20 函数中的四边形存在性问题 1.如图,抛物线 与直线 AB 交于点 A(1,0),B(4, )点 D 是抛物线 A , B 两点 间部分上的一个动点(不与点 A , B 重合),直线 CD 与 y 轴平行,交直线 AB 于点 C , 连接 AD , BD (1)求抛物线的解析式; (2)设点 D 的横坐标为 m , ADB 的面积为 S , 求 S 关于 m 的函数关系式,并求出当 S 取最大值时 的点 C 的坐标; (3)当点 D 为抛物线的顶点时,若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 AB 上的动点,判断有几个位置能使 以点 P , Q , C , D 为顶点的四边形为平行
2、四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标 【答案】 (1)解: 抛物线 与直线 AB 交于点 A(1,0),B(4, ) , 解得, , 抛物线的解析式是 y x2+2x+ ; (2)解: 如图,过点 B 作 BFDE 于点 F 点 A(1,0),B(4, ), 易求直线 AB 的解析式为:y x+ 又点 D 的横坐标为 m, 点 C 的坐标是(m, m+ ),点 D 的纵坐标是( m2+2m+ ) AEm+1,BF4m,CD m2+ m+2, S CD(AE+BF) ( m2+ m+2) (m+1+4m) (m )2+ (1m4) 当 m 时,S 取最大值 ,此时 C( , ); (3)解: 假
3、设存在这样的点 P、Q 使以点 P,Q,C,D 为顶点的四边形为平行四边形 点 D 是抛物线的顶点, D(2, ),C(2, ) 如图 2,当 PQDC,PQDC 时 设 P(x, x2+2x+ ),则 Q(x, x+ ), x2+2x+ x 3, 解得,x1 或 x2(舍去), Q(1,1); 如图 3,当 CDPQ,且 CDPQ 时 设 P(x, x2+2x+ ),则 Q(x, x+ ), x+ + x22x 3, 解得,x5 或 x2, Q(5,3)、Q(2, ); 如图 4,当 PCDQ,且 PCDQ 时 过点 P 作 PECD 于点 E,过点 Q 作 QFCD 于点 F则 PEQF,
4、DEFC 设 P(x, x2+2x+ ),则 E(2, x2+2x+ ), Q(4x, x),F(2, x), 由 DECF 得, ( x2+2x+ ) x , 解得,x1 或 x2(舍去), Q(3,2) 综上所述,符合条件的点 Q 的坐标有:(1,1)、(5,3)、(2, )、(3,2) 2.如图,平行四边形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上,点 B、C 在 x 轴上;OA、OB 长是关于 x 的一元二次方程 x27x+120 的两个根,且 OAOB , BC6; (1)写出点 D 的坐标_; (2)若点 E 为 x 轴上一点,且 S AOE , 求点 E 的坐标; 判断 AOE 与 A
5、OD 是否相似并说明理由; (3)若点 M 是坐标系内一点,在直线 AB 上是否存在点 F , 使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形? 若存在,请直接写出 F 点的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)(6,4) (2)解:设点 E(x,0), , 点 E 坐标 或 AOE 与 AOD 相似, 理由如下:在 AOE 与 DAO 中, , , 且DAOAOE90 , AOEDAO; (3)解:存在, OA4,OB3,BC6, ,OBOC3,且 OABO, ABAC5,且 AOBO, AO 平分BAC, AC、AF 是邻边,点 F 在射线 AB 上时,AFAC5, 所以点 F 与 B
6、重合, 即 F(3,0), AC、AF 是邻边,点 F 在射线 BA 上时,M 应在直线 AD 上,且 FC 垂直平分 AM, 点 F(3,8) AC是对角线时,做AC垂直平分线L,AC解析式为 ,直线L过( ,2),且k值为 (平 面内互相垂直的两条直线 k 值乘积为1), L 解析式为 y x+ ,联立直线 L 与直线 AB 求交点, F( , ), AF 是对角线时,过 C 做 AB 垂线,垂足为 N, 根据等积法求 ,勾股定理得出, ,做 A 关于 N 的对称点即为 F, ,过 F 做 y 轴垂线,垂足为 G, , F( , ) 综上所述:F1(3,0);F2(3,8); ; 【解析】
7、解:(1)OA、OB 长是关于 x 的一元二次方程 x27x+120 的两个根, OA4,OB3, 点 B(3,0),点 A(0,4),且 ADBC , ADBC6, 点 D(6,4) 故答案为:(6,4); 3.如图,抛物线C1的图象与x轴交A(3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),点D为抛物线的顶点 (1)求抛物线 C1的解析式和 D 点坐标; (2)将抛物线 C1关于点 B 对称后的抛物线记为 C2 , 点 E 为抛物线 C2的顶点,求抛物线 C2的解析式和 E 点坐标; (3)是否在抛物线 C2上存在一点 P,在 x 轴上存在一点 Q,使得以 D,E,P,Q 为顶点的四
8、边形是平行四边 形,若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由 【答案】 (1)抛物线 C1 的图象与 x 轴交 A(3,0),B(1,0)两点 可设抛物线 C1 的解析式为 y=a(x3)(x1) 将点 C 的坐标代入,得 3=a(03)(01) 解得:a=-1 抛物线 C1 的解析式为 y=-(x3)(x1)=-x2-2x+3=-(x1)2+4 抛物线 C1 的顶点 D 的坐标为(-1,4) (2)将抛物线 C1 关于点 B 对称后的抛物线记为 C2 , 点 E 为抛物线 C2 的顶点,设 C2 与 x 轴的另一交点 为 K,如下图所示 抛物线 C2 的二次项系数为 1 点 D(-1,4)
9、,B(1,0) 抛物线 C2 的顶点 E 的坐标为(3,-4) 抛物线 C2 的解析式为 y=(x3)24 (3)存在, 由对称性可知:BK=AB=1(-3)=4 点 K 的坐标为(5,0) 当 DE 为平行四边形的边时, DPEQ,DP=EQ,即 EQ 可看作 DP 平移得到 点 D(-1,4)到点 E(3,-4)的平移方式为:先向右平移 4 个单位,再向下平移 8 个单位 点 P 到点 Q 的平移方式为:先向右平移 4 个单位,再向下平移 8 个单位 点 Q 在 x 轴上 点 P 的纵坐标为 8 将 y=8 代入 C2 的解析式中,解得:x=3 此时点 P 的坐标为(3 ,8)或(3 ,8
10、); 当 DE 为平行四边形的对角线时, 由 DE 的中点为点 B, PQ 的中点也为点 B, 由点 Q 在 x 轴上,点 B 也在 x 轴上 点 P 也在 x 轴上,即此时点 P 与点 K 重合 此时点 P 的坐标为(5,0); 综上:点 P 的坐标为(3 ,8)或(3 ,8)或(5,0) 4.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC 的边 BC 在 x 轴上,ABC90 ,以 A 为顶点的抛物线 yx2 bxc 经过点 C(3,0),交 y 轴于点 E(0,3),动点 P 在对称轴上. (1)求抛物线解析式; (2)若点 P 从 A 点出发,沿 AB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点
11、 B 停止,设运动时间为 t 秒,过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D,过点 D 平行于 y 轴的直线 l 交抛物线于点 Q,连接 AQ,CQ,当 t 为何值时, ACQ 的面积最大?最大值是多少? (3)若点 M 是平面内的任意一点,在 x 轴上方是否存在点 P,使得以点 P,M,E,C 为顶点的四边形是菱形, 若存在,请直接写出符合条件的 M 点坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)解:将点 C,E 的坐标代入二次函数表达式得: 解得 故抛物线的表达式为:yx22x3 (2)解:yx22x3 A(1,4), 设直线 AC 的解析式为 ,将点 A,C 的坐标代入,得: ,解得
12、直线 AC 的表达式为:y2x6 点 P(1,4t), 点 D , 设点 Q ,则 S ACQ DQ BC 0,故 S ACQ 有最大值,当 t2 时,其最大值为 1 当 t2 时,S ACQ 有最大值,其最大值为 1 (3)解:设点 P(1,m),(m0)点 M(x,y), 当 EC 是菱形一条边时, 当点 M 在 x 轴下方时, 点 E 向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 C,则点 P 平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到 M, 则 13x,m3y x=4,y=m-3 MPEP 1(m3)2(41)2(m3m)2 解得: y= 点 M(4, ); 当点 M 在 x 轴上方
13、时,同理可得:点 M(2,3 ); 当 EC 是菱形一对角线时, 则 EC 中点即为 PM 中点, 则 x13,ym3 PEPC,即 1(m3)24(m2)2 , 解得:m1, x2,y3m312, 点 M(2,2) 综上,点 M(4, )或(2,3 )或 M(2,2) 5.如图,抛物线 y=x2+bx+c经过 A(1,0),B(3,0)两点,且与 y轴交于点C,点D 是抛物线的顶点,抛 物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E,连接 BD. (1)求经过 A,B,C 三点的抛物线的函数表达式; (2)点 Q 在该抛物线的对称轴上,若 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形,求点 Q 的坐标;
14、 (3)若 P 为 BD 的中点,过点 P 作 PFx 轴于点 F,G 为抛物线上一动点,M 为 x 轴上一动点,N 为直线 PF 上一动点,当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时,请求出点 M 的坐标. 【答案】 (1)解:抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1,0),B(3,0)两点, ,解得 , ; (2)解:由(1)知 B(3,0), , 连接 BC, BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形, 则 或 , Q 在对称轴上,设 , 则 , , , 当 时,由勾股定理得: , 即 , 解得 , ; 当 时,由勾股定理得: , 即 , 解得 , ; 综上所述, 或 ; (3)解:
15、设点 ,则 , 以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形, FM=MG,即 , 当 ,解得 ; 当 ,解得 ; , , , . 6.综合与探究 如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴 y轴的正半轴上,线段OA的长是不等式 的最大整数解,线段 OB 的长是一元二次方程 的一个根,将 沿 BE 折叠,使 AB 边落在 OB 边所在的 y 轴上,点 A 与点 D 重合 (1)求 OA、OB 的长; (2)求直线 BE 的解析式; (3)在平面内是否存在点 M,使 B、O、E、M 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点 M 的 坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)解:5x-4
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