专练18 函数中的相似问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)
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1、专练 18 函数中的相似问题 1.如图,抛物线 交x轴于A , B两点,交y轴于点C , 直线BC的表达式为y=-x+3 (1)求抛物线的表达式; (2)动点D在直线BC上方的二次函数图象上,连接DC , DB , 设 BCD的面积为S , 求S的最大 值; (3)当点 D 为抛物线的顶点时,在坐标轴上是否存在一点 Q , 使得以 A , C , Q 为顶点的三角形与 BCD 相似?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)解:把 代入 , 得: , 把 代入 , 得: , , , 将 , 代入 , 得: 解得 , 抛物线的表达式为 ; (2)解:设 ,则 , , ,
2、 当 时,S 有最大值,最大值为 (3)解: , 又 , , , , , 如图所示:连接 AC , , , , 又 , 当 Q 的坐标为 时, 过点 C 作 ,交 x 轴与点 Q 为直角三角形, , 又 , , 即 , 解得: 过点 A 作 ,交 y 轴与点 Q 为直角三角形, , 又 , ,即 , 解得: , 综上所述:当 Q 的坐标为 或 或 时,以 A,C,Q 为顶点的三角形与 相似 2.如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是平行四边形,AD6,若 OA、OB 的长是关于 x 的一元二 次方程 的两个根,且 OAOB. (1)求 OA、OB 的长; (2)若点 E 为 x 轴上的
3、点,且 S AOE ,求经过 D、E 两点的直线解析式,并判断 AOE 与 AOD 是否 相似; (3)若点 M 在平面直角坐标系内,则在直线 AB 上是否存在点 F,使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形? 若存在,直接写出 F 点的坐标,若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)解:解一元二次方程 得 , OAOB OA4,OB3; (2)解:设 E(x,0),由题意得 解得 E( ,0)或( ,0), 四边形 ABCD 是平行四边形, 点 D 的坐标是(6,4) 设经过 D、E 两点的直线的解析式为 若图象过点( ,0),(6,4) 则 ,解得 此时函数解析式为 若图象过点( ,0),
4、(6,4) 则 ,解得 此时函数解析式为 在 AOE 与 DAO 中, , 又AOE=OAD=90 AOEDAO; (3)解:OB=OC=3, AO 平分BAC, AC、AF 是邻边,点 F 在射线 AB 上时,AF=AC=5, 所以点 F 与 B 重合, 即 F(-3,0); AC、AF 是邻边,点 F 在射线 BA 上时,M 应在直线 AD 上,且 FC 垂直平分 AM, 点 F(3,8); AC 是对角线时,作 AC 垂直平分线 L, AC 解析式为 , 则直线 L 过( ,2),且 k 值为 (平面内互相垂直的两条直线 k 值乘积为-1), L 解析式为 ,联立直线 L 与直线 AB
5、求交点, F( , ); AF 是对角线时,过 C 做 AB 垂线,垂足为 N,根据等积法求出 ,勾股定理得 做 A 关于 N 的对称点即为 F, , 过 F 做 y 轴垂线,垂足为 G, F( , ); 综上所述,满足条件的点有四个:(-3,0),(3,8),( , ),( , ) 3.如图,过点 的直线 与 轴交于点 过点 的另一直线 与 轴交于点 ,点 是射线 上的一个动点,过 作 轴于点 ,设 (1)求直线 的函数解析式 (2)当点 在线段 上运动时,设 面积为 ,求 与 之间的函数关系式(要求写出 自变量 的取值范围) (3)当点 在射线 上运动时,是否存在这样的 值,使以 , ,
6、的顶点的三角形与 相似?若存在,直接写出所有满足条件的 值所对应的 点坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)解: , , 设 ,将 , 代入上式得: 解得 , , 函数解析式为 (2)解:由 , , 轴, , , , , , , , , 由 与 轴交于点 ,得 当 在 、 之间时(如图 1) , 当 在 、 之间时(如图 2), (3)解:存在 的值,使以 、 、 为顶点的三角形与 相似 当 在 、 之间时, , , 当 时, 即 解得: ,则 当 时, 即 解得: , 则 当 在 、 之间时,则 同理可得: , 或者 , 当 在 的右侧时, ,则 , 4.如图,平面直角坐标系中,直线
7、分别与 x 轴,y 轴交于 B、A 两点 (1)求 A、B 两点的坐标 (2)直线 与 交于点 C,与 x 轴交于点 D,与 y轴交于点 F, 且 , 求 的解析式 (3)解答下列问题 如图,在(2)的条件下,点 H 在 上,连接 , ,将线段 绕点C逆时针旋转至 ,连接 ,当 时,求 的长 直线 与 y 轴交于点 P,G 为直线 上一动点,当以 G、P、A 为顶点的三角形与 相似时, 直接写出 G 点的坐标 【答案】 (1)解:令 ,得 , ; 令 ,得 , (2)解:如图,作 于 E 点, 则 , 在 与 中, , , , , , 设 , , , , , 把点 C 的坐标代入 得: ,解得
8、 , , , 设 的解析式为 , ,解得 , 的解析式为 (3)解: , , , , 即 , 由(2)得: , , 由(1)得: , , , , 作 轴交于点 N, 轴交于点 y,作 轴交 HD 于点 E,交 x 轴于点 J,交 KL于点 Q, , , , 设 ,则 , , , , , , , , , BD=22, N 是 BD 的中点, , , ,且 , , , 在 与 中, , , KQ=CJ=8,CQ=BJ=16, KL=11,FL=12, 由得 K(11,8), 设 的解析式为: , , 解得: , , 令 , , , 由得, 为等腰三角形, , 与 相似,则 也为等腰三角形, , 当
9、 时, 过 G1 点作 轴于 S 点, 设 , , , 或 (舍去), ; 当 时, A、P 的中点坐标为 , 令 y= ,则 , 解得:x= , ; 当 时, 点在 轴右侧, , , , 即此时不存在一点 G 使以 为顶点的三角形与 相似 综上, , 5.如图,抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A,B 两点,且 OA2OB,与 y 轴交于点 C,连接 BC,抛物线对 称轴为直线 x ,D 为第一象限内抛物线上一动点,过点 D 作 DEOA 于点 E,与 AC 交于点 F,设点 D 的横坐标为 m (1)求抛物线的表达式; (2)当线段 DF 的长度最大时,求 D 点的坐标; (3)
10、抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与 相似?若存在,求出m的值;若 不存在,请说明理由 【答案】 (1)解:设 OBt,则 OA2t,则点 A、B 的坐标分别为(2t,0)、(t,0), 则 x (2tt),解得:t1, 故点 A、B 的坐标分别为(2,0)、(1,0), 则抛物线的表达式为:ya(x2)(x+1)ax2+bx+2, 解得:a1, 故抛物线的表达式为:yx2+x+2; (2)解:对于 yx2+x+2,令 x0,则 y2,故点 C(0,2), 由点 A、C 的坐标得,直线 AC 的表达式为:yx+2, 设点 D 的横坐标为 m,则点 D(m,m2+m+2),则
11、点 F(m,m+2), 则 DFm2+m+2(m+2)m2+2m, 10,故 DF 有最大值,此时 m1,点 D(1,2); (3)解:存在,理由: 点 D(m,m2+m+2)(m0),则 ODm,DEm2+m+2, 以点 O,D,E 为顶点的三角形与 BOC 相似, 则 或 ,即 2 或 ,即 2 或 , 解得:m1 或2(舍去)或 或 (舍去), 故 m1 或 6.如图,在平面直角坐标系xOy中,批物线yx24xa(a0)与y轴交于点A,与x轴交于E、F两点(点 E 在点 F 的右侧),顶点为 M.直线 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点,与直线 AM 交于点 D. (1)求抛物线的
12、对称轴; (2)在 y 轴右侧的抛物线上存在点 P,使得以 P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形,求 a 的值; (3)如图,过抛物线顶点 M 作 MNx 轴于 N,连接 ME,点 Q 为抛物线上任意一点,过点 Q 作 QGx 轴 于G,连接QE.当a5时,是否存在点Q,使得以Q、E、G为顶点的三角形与 MNE相似(不含全等)? 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)解:yx24xa(x2)2a4, 抛物线的对称轴为直线 x2; (2)解:由 y(x2)2a4 得:A(0,a),M(2,a4), 由 y xa 得 C(0,a), 设直线 AM 的解析式为 y
13、kxa, 将 M(2,a4)代人 ykxa 中,得 2kaa4, 解得 k2, 直线 AM 的解析式为 y2xa, 联立方程组得 ,解得 , D( a, a), a0, 点 D 在第二象限, 又点 A 与点 C 关于原点对称, AC 是以 P、A、C、D 为顶点的平行四边形的对角线,则点 P 与点 D 关于原点对称, 即 P( a, a), 将点 P( a, a)代入抛物线 yx24xa,解得 a 或 a0(舍去), a ; (3)解:存在, 理由如下:当 a5 时,yx24x5(x2)29,此时 M(2,9), 令 y0,即(x2)290,解得 x11,x25, 点 F(1,0)E(5,0)
14、, ENFN3 MN9, 设点 Q(m,m24m5),则 G(m,0), EG|m5|QG|m24m5|, 又 QEG 与 MNE 都是直角三角形,且MNEQGE90 , 如图所示,需分两种情况进行讨论: i)当 时,即 , 解得 m2 或 m4 或 m5(舍去); 当 m2 时点 Q 与点 M 重合,不符合题意,舍去, 当 m4 时,此时 Q 坐标为点 Q1(4,27); ii)当 时,即 , 解得 m - 或 m 或 m5(舍去), 当 m - 时,Q 坐标为点 Q2( - , - ), 当 m ,Q 坐标为点 Q3( , ), 综上所述,点 Q 的坐标为(4,27)或( , )或( ,
15、). 7.如图,在平面直角坐标系中,矩形 的边 与 x 轴、y 轴的交点分别为 , 抛物线 过 B , C 两点,动点 M 从点 D 开始以每秒 5 个单位长度的速度沿 的方向运动到达 C 点后停止运动动点 N 从点 O 以每秒 4 个单位长度的速度沿 方向 运动,到达C点后,立即返回,向 方向运动,到达O点后,又立即返回,依此在线段 上反复运动, 当点 M 停止运动时,点 N 也停止运动,设运动时间为 (1)求抛物线的解析式; (2)求点 D 的坐标; (3)当点 M , N 同时开始运动时,若以点 M , D , C 为顶点的三角形与以点 B , O , N 为顶 点的三角形相似,求 t
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