专练16 函数中线段的定值与最值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)
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1、专练 16 函数中线段的定值与最值问题 1.如图 1,抛物线 y=mx23mx+n(m0)与 x 轴交于点(1,0)与 y 轴交于点 B(0,3),在线段 OA 上有一动点 E(不与 O、A 重合),过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N , 交抛物线于点 P (1)分别求出抛物线和直线 AB 的函数表达式; (2)连接 PA、PB,求 PAB 面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标 (3)如图 2, 点 E(2, 0), 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转的到 OE, 旋转角为 (0 90 ), 连接 EA、 EB , 求 EA+ EB 的最小值 【答案】 (1)解:抛物线 (m0
2、)与 x 轴交于点(-1,0)与 y 轴交于点 B(0,3), 则有 , 解得: , 抛物线的解析式为: , 令 ,得到 , 解得: 或 , A(4,0),B(0,3), 设直线 AB 解析式为 ,则 , 解得 , 直线 AB 解析式为 ; (2)解:如图, 设点 P 的坐标为( , ), PEOA 交直线 AB 于点 N,交 x 轴于 E, 点 N 的坐标为( , ), , , , 当 时, 有最大值,最大值为 6, 此时点 P 的坐标为( , ); (3)解:如图中,在 轴上 取一点 M使得 OM= ,连接 AM,在 AM上取一点 E使得 OE=OE OE=2,OMOB= , OE2=OM
3、OB, , BOE=MOE, MOEEOB, , ME= BE, EA+ EB=AE+EM=AM,此时 EA+ EB 最小(两点间线段最短,A、M、E共线时), 最小值=AM= 2.在平面直角坐标系中,O 为原点,点 A(8,0),点 B(0,6),把 ABO 绕点 B 逆时针旋转得 ABO,点 A、O 旋转后的对应点为 A、O,记旋转角为 (1)如图 1,若 =90 ,则 AB=_,并求 AA的长_; (2)如图 2,若 =120 ,求点 O的坐标; (3)在(2)的条件下,边 OA 上的一点 P 旋转后的对应点为 P,当 OP+BP取得最小值时,直接写出点 P的坐 标 【答案】 (1)10
4、; (2)作 OHy 轴于 H,如图, ABO 绕点 B 逆时针旋转 120 ,得 ABO, BO=BO=3,OBO=120, HBO=60, 在 Rt BHO中,BOH=90HBO=30, BH= BO= ,OH= BH= , OH=OB+BH=3+ = , O点的坐标为( , ) (3)ABO 绕点 B 逆时针旋转 120 ,得 ABO,点 P 的对应点为 P, BP=BP, OP+BP=OP+BP, 作 B 点关于 x 轴的对称点 C,连结 OC 交 x 轴于 P 点,如图, 则 OP+BP=OP+PC=OC,此时 OP+BP 的值最小, 点 C 与点 B 关于 x 轴对称, C(0,3
5、), 设直线 OC 的解析式为 y=kx+b, 把 O( , ),C(0,3)代入得 ,解得 , 直线 OC 的解析式为 y= 3, 当 y=0 时, 3=0,解得 x= , 则 P( ,0), OP= ,OP=OP= , 作 PDOH 于 D, BOA=BOA=90 ,BOH=30, DPO=30, OD= OP= ,PD= , DH=OHOD= , P点的坐标为( , ) 【解析】(1)如图,点 A(4,0),点 B(0,3), OA=4,OB=3, AB= =5, ABO 绕点 B 逆时针旋转 90 ,得 ABO, BA=BA,ABA=90, ABA为等腰直角三角形, AA=BA=5 3
6、.如图, 已知直线 : 与 轴, 轴的交点分别为点 , , 直线 交 于 点 备用图 (1)求点 的坐标及直线 的解析式 (2)将 沿边 翻折, 得到 , 过点 作直线 垂直 轴于点 , 是轴 上点, 是直线 上任意一点, , 两点关于 轴对称,当 最大时,求 点的坐标;并求 的最小值 (3)若 M 是直线 上一点,且 ,在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,是否存在点 ,使 得以, , , , 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在, 请求出点 的坐标, 若不存在, 请说明理由 【答案】 (1)解:由题意 ( ,0), (0, ), 直线 : , , 线 的解析式为 , 令 ,解得 , (6
7、,0). 故答案为: (6,0), (2)解: 关于 边翻折,得到 , 可得 (3, ), 当 最大时,点 在直线 上, 此时 (3, ), , 关于 轴对称, (3, ) 在 中, , , 如图,作 于 ,交 y 轴于 . 则 , 根据重线段最短可知, 的最小值为线段 的长, 在 中, , , 的最小值为 . 故答案为: (3, ), (3)解:由(2)可知: (0, ), , (3, )或(3, ), 当 (3, )时,如图, 以 , , , 四点为顶点的四边形是平行四边形, 可得满足条件的点 坐标为(6, )或(0, )或(0, ), 当 为(3, )时,同法可得满足条件的点 坐标为(6
8、, )或(0, )或(0, ) 4.在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),若点 Q 的坐标为(x,|xy|),则称点 Q 为点 P 的“关联点” (1)请直接写出点(2,2)的“关联点”的坐标; (2)如果点 P 在函数 yx1 的图象上,其“关联点”Q 与点 P 重合,求点 P 的坐标; (3)如果点 M(m,n)的“关联点”N 在函数 yx2的图象上,当 0m2 时,求线段 MN 的最大值 【答案】 (1)解:|22|0, 点(2,2)的“关联点”的坐标为(2,0) (2)解:点 P 在函数 yx1 的图象上, P(x,x1),则点 Q 的坐标为(x,1), 点 Q 与点 P
9、 重合, x11,解得:x2, 点 P 的坐标为(2,1) (3)解:点 M(m,n), 点 N(m,|mn|) 点 N 在函数 yx2 的图象上, |mn|m2 (i)当 mn 时,mnm2 , nm2+m, M(m,m2+m),N(m,m2) 0m2, MN|yMyN|m2+mm2|m|2m1| 当 0m 时,MN2m2+m2(m )2+ , 当 m 时,MN 取最大值,最大值为 当 m2 时,MN2m2m2(m )2+ , 当 m2 时,MN 取最大值,最大值为 6 (ii)当 mn 时,nmm2 , nm2+m, M(m,m2+m),N(m,m2) 0m2, MN|yMyN|m2+mm
10、2|m, 当 m2 时,MN 取最大值 2 综上所述:当 0m2 时,线段 MN 的最大值为 6 5.已知直线 l:y=2,抛物线 C:y=ax21 经过点(2,0) (1)求 a 的值; (2)如图,点 P 是抛物线 C 上任意一点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q求证:PO=PQ; (3)请你参考(2)中的结论解决下列问题: 如图,过原点作直线交抛物线 C 于 A,B 两点,过此两点作直线 l 的垂线,垂足分别为 M,N,连接 ON,OM,求证:OMON; 如图,点 D(1,1),探究在抛物线 C 上是否存在点 F,使得 FD+FO 取得最小值?若存在,求出点 F 的 坐标,若不存
11、在,请说明理由 【答案】 (1)解:抛物线 C:y=ax21 经过点(2,0) 0=4a1, a= (2)解:a= , 抛物线解析式:y= x21, 设点 P(m, m21), PO= = m2+1,PQ= m21(2)= m2+1, PO=PQ (3)解:由(2)可得 OA=AM,OB=BN BON=BNO,AOM=AMO AMMN,BNMN AMBN ABN+BAM=180 ABN+BON+BNO=180 ,AOM+AMO+BAM=180 ABN+BON+BNO+AOM+AMO+BAM=360 BON+AOM=90 MON=90 OMON 如图:过点 F 作 EF直线 l, 由(2)可得
12、OF=EF, OF+DF=EF+DF 当点 D,点 F,点 E 三点共线时,OF+DF 的值最小即此时 DE直线 l, 直线 l:y=2, OF+DF 的最小值为 DE=1+2=3 6.如图,抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点 (1)求 A 点和点 B 的坐标; (2)判断 ABC 的形状,证明你的结论; (3)点 M 是 x 轴上的一个动点,当 MD+MC 的值最小时,求点 M 的坐标 【答案】 (1)解:当 y=0 时, , x1=-1,A(-1,0) 则 B(4,0), A(1, 0 ) (2) ABC 是直角三角形 证明:B(4,0),A(-1,0) OA=1
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