专练08 四边形中线段的数量与位置关系-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)
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1、专练 08 四边形中线段的数量与位置关系 1.在平行四边形 中, 是 上一点, ,过点 作直线 ,在 上取一点 , 使得 ,连接 (1)如图 1,当 与 相交时,当 时, 请直接写出 度数为_; (2)求证: ; (3)如图 2,当 与 相交时,且 ,请你写出线段 , , 之间的数量关系, 并证明你的结论 【答案】 (1) (2)在 上取 ,使 ,连接 、 , 、 是等边三角形 , , , (3)连接 AG,将 绕 顺时针旋转 90 至 处 , 在四边形 中, ,即 , , 三点共线 ,即 是等腰直角三角形 【解析】(1)平行四边形 中 , , 故答案为: 2.如图, 以 ABC的各边为边长,
2、 在边BC的同侧分别作正方形ABDI , 正方形BCFE , 正方形ACHG , 连接 AD , DE , EG (1)求证: BDEBAC; (2)求证:四边形 ADEG 是平行四边形; (3)若四边形 ADEG 是正方形,请直接写出 AC 与 AB 的数量关系(不用写证明过程) 【答案】 (1)证明:四边形 ABDI、四边形 BCFE 是正方形 BDBA,BE=BC,DBAEBC90 DBE+EBA=90 ,ABC+EBA=90 DBEABC BDEBAC (2)证明:BDEBAC DEACAG BACBDE AD 是正方形 ABDI 的对角线, BDABAD45 EDABDEBDABDE
3、45 DAG360 GACBACBAD 360 90 BAC45 225 BAC EDA+DAGBDE45 +225 BAC180 DEAG,DE=AG 四边形 ADEG 是平行四边形 (3)AC AB 3.如图 (1)方法呈现 如图, ABC 中,AD 为中线,已知 AB=3,AC=5,求中线 AD 长的取值范围. 解决此问题可以用如下方法: 延长 AD 至点 E, 使 DE=AD, 连结 CE, 则易证 DECDAB, 得到 ECAB3, 则可得 ,从而可得中线 AD 长的取值范围是 _ . (2)探究应用 如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,点 E 是 BC 的中点,若 AE 是BA
4、D 的平分线,试判断 AB,AD, DC 之间的等量关系,并写出完整的证明过程. (3)如图, 在四边形 ABCD 中, ABCD, AF 与 DC 的延长线交于点 F, 点 E 是 BC 的中点, 若 AE 是BAF 的平分线,试探究 AB,AF,CF 之间的等量关系,并证明你的结论 【答案】 (1)1AD4 (2)解:延长 AE,DC 交于点 F, ABCD, BAFF, 在 ABE 和 FCE 中 CE=BE,BAFF,AEB=FEC, ABEFEC(AAS), CF=AB AE 是BAD 的平分线, BAFFAD, FADF, ADDF, DC+CF=DF, DC+AB=AD. (3)
5、解:延长 AE,DF 交于点 G, 同(2)可得:AF=FG, ABEGEC,AB=CG,AF+CF=AB 【解析】(1)解:(1)由题意知 AC-CEAEAC+CE,即 5-4AE5+3, 1AD4, 故答案为:1AD4; 4.已知在 中, , ,直线 经过点 ,过点 、 分别向直线 作 垂线,垂足分别为 、 , 交 于点 (1)如图,若 ,求证: (2)如图 2,若 ,则 、 、 之间的数量关系是_ (3)在(2)的条件下,如图 3,连接 ,过点 作 ,交 延长线于点 ,若 , ,求 的长 【答案】 (1)证明:如图,过点 作 ,交 的延长线于点 , , , , , 四边形 是矩形, ,
6、, , ,即 , , , , 在 和 中, , , , , 即 ; (2) (3)解:如图,过 作 ,交 的延长线于点 , 由(2)可知, , , , , , 在 中,由勾股定理得: , ,解得 或 (不符题意,舍去), , , , , , , , ,即 , 解得 , , , , ,即 , 解得 , , 故 的长为 6 【解析】(2)如图,过 作 ,交 的延长于点 , , , , , 四边形 是矩形, , , , , ,即 , 在 和 中, , , , , , , 故答案为: ; 5.已知, 正方形 中, , 绕点 顺时针旋转, 它的两边分别交 , (或 它们的延长线)于点 , , 于点 (1
7、)如图,当 绕点 旋转到 时,请你直接写出 与 的数量关系:_; (2)如图,当 绕点 旋转到 时, 中发现的 与 的数量关系还成立吗? 如果不成立请写出理由,如果成立请证明; (3)如图,已知 , 于点 ,且 , ,求 的长(可利用 (2)得到的结论) 【答案】 (1)AH=AB (2)解:(1)中的数量关系仍成立理由如下: 如图,延长 至 ,使 是正方形 , 在 和 中 , 在 和 中 , , 是 和 对应边上的高 (3)解:如图分别沿 , 翻折 和 ,得到 和 , , , 分别延长 和 交于点 ,得正方形 由(2)可知, 设 ,则 , 在 中,由勾股定理,得 解得 , (不符合题意,舍去
8、) 【解析】解:(1) 理由如下: 四边形 是正方形, , , 在 与 中, , 在 与 中 故答案为: 6.某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: 操作发现: (1)如图 1,分别以 AB 和 AC 为边向 ABC 外侧作等边 ABD 和等边 ACE,连接 BECD,请你完成作图 并证明 BE=CD.(要求:尺规作图,不写作法但保留作图痕迹) (2)类比探究: 如图 2,分别以 AB 和 AC 为边向 ABC 外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,连接 CEBG,则线段 CE BG 有什么关系?说明理由. (3)灵活运用: 如图 3,在四边形 ABCD 中,
9、AC、BD 是对角线,AB=BC,ABC=60 ,ADC=30 ,AD=3,BD=5,求 CD 的长. 【答案】 (1)作图,如图所示: ABD 和 ACE 都为等边三角形, AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60 , BAD+BAC=CAE+CAB,即DAC=EAB, 在 ACD 和 AEB 中, , ACDAEB(SAS), BE=CD (2)CE=BG,理由为: 证明:四边形 ABDE 与四边形 ACFG 都为正方形, AE=AB,AC=AG,EAB=CAG=90 , EAB+BAC=CAG+CAB,即EAC=BAG, 在 ACE 和 ABG 中, , ACEABG(SAS), C
10、E=BG (3)AB=BC,ABC=60 , ABC 是等边三角形, AB=AC,ACB=60 , 在 CD 外侧作等边 CDE,则ADE=90 ,DE=DC,DCE=60 , ACB=DCE=60 , ACE=BCD, 在 ACE 和 BCD 中, , ACEBCD(SAS) AE=BD, 在 Rt ADE 中,DE2=AE2-AD2=BD2-AD2= , DE=4, CD=4 7.如图,正方形 ABCD,点 P 在射线 CB 上运动(不包含点 B、C),连接 DP,交 AB 于点 M,作 BEDP 于 点 E,连接 AE,作FAD=EAB,FA 交 DP 于点 F. (1)如图 a,当点
11、P 在 CB 的延长线上时, 求证:DF=BE; 请判断 DE、BE、AE 之间的数量关系并证明; (2)如图 b,当点 P 在线段 BC 上时,DE、BE、AE 之间有怎样的数量关系?请直接写出答案,不必证明; (3)如果将已知中的正方形 ABCD 换成矩形 ABCD,且 AD:AB= :1,其他条件不变,当点 P 在射线 CB 上时,DE、BE、AE 之间又有怎样的数量关系?请直接写出答案,不必证明. 【答案】 (1)证明:正方形 ABCD 中,AD=AB,ADM+AMD=90 BEDP, EBM+BME=90 , AMD=BME, EBM=ADM, 在 ABE 和 ADF 中, , AB
12、EADF, DF=BE; DE=BE+ AE, 理由:由(1)有 ABEADF, AE=AF,BAE=DAF, BAE+FAM=DAF+FAM, EAF=BAD=90 , EF= AE, DE=DF+EF, DE=BE+ AE; (2)解:DE= AEBE; (3)DE=2AE+ BE 或 DE=2AE BE. 【解析】(2)证明:正方形 ABCD 中,AD=AB,BAD=BAE+DAE=90 , FAD=EAB, EAF=BAD=90 , AFE+AEF=90 BEDP, BEA+AEF=90 , BEA=AFE, FAD=EAB,AD=AB ABEADF, AE=AF,BE=DF EAF=
13、90 EF= AE, EF=DF+DE= AE, DE= AEDF= AEBE; (3)证明:如图 1 所示时, 正方形 ABCD 中,ADM+AMD=90 BEDP, EBM+BME=90 , AMD=BME, EBM=ADM, FAD=EAB ABEADF, , AD:AB= :1, , AF= AE,DF= BE FAD=EAB EAF=EAB+BAF=FAD+BAF=BAD=90 , EF= =2AE=DEDF=DE BE, 即:DE=2AE+ BE; 如图 2 所示, DAF=BAE, EAF=BAD=90 , DAF=BAE, BAEDAF, , AD:AB= :1, , AF=
14、AE,DF= BE, EAF=90 , 根据勾股定理得,EF= =2AE=DE+DF=DE+ BE, DE=2AE BE. 8.在一-次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起,使点 A 与点 F 重 合,点 C 与点 D 重合(如图 1),其中ACB=DFE=90 ,BC=EF=3cm,AC=DF=4 cm,并进行如下研究活 动。 活动一:将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移,连结 AE,BD(如图 2),当点 F 与点 C 重合时停止平移。 活动二:在图 3 中,取 AD 的中点 O,再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 a 度(0a9
15、0),连结 OB,OE(如 图 4)。 (1)图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗?请说明理由。 (2)当纸片 DEF 平移到某一位置时,小兵发现四边形 ABDE 为矩形(如图 3)。求 AF 的长。 (3)当 EF 平分AEO 时,探究 OF 与 BD 的数量关系,并说明理由。 【答案】 (1)解:四边形 ABDE 是平行四边形 如图 ABCDEF, AB=DE,BAC=EDF, ABDE, 四边形 ABDE 是平行四边形 (2)解: 如图 1,连接 BE 交 AD 于点 O, 四边形 ABDE 为矩形, OA=OD=OB=OE, 设 AF=x(cm),则 OA=OE= (x+4),
16、 OF=0A-AF=2- x, 在 Rt OFE 中,OF2+EF2=OE2 , (2- x) 2+32= (x+4) 2 , 解得:x= AF= cm (3)解:BD= 2OF, 证明:如图 2, 延长 OF 交 AE 于点 H, 四边形 ABDE 为矩形, OAB=OBA=ODE=OED,OA=OB=OE=OD, OBD=ODB,OAE=OEA, ABD+BDE+DEA+EAB= 360 , ABD+2BAE=180 , AEBD, OHE=ODB, EF 平分OEH, OEF=HEF, EFO=EFH=90 ,EF=EF, EFOEFH(ASA), EO= EH,FO=FH, EHO=E
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