专题15 解直角三角形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(解析版)
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1、专题15.解直角三角形一、单选题1(2021浙江温州市中考真题)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形若,则的值为( )ABCD【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解【详解】在中, 在中,故选:A【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么2(2021浙江金华市中考真题)如图是一架人字梯,已知米,AC与地面BC的夹角为,则两梯脚之间的距离BC为( )A米B米C米D米【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到,根据余弦的定义即可,得到答案【详解】过点A作,如
2、图所示:,故选:A【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,明确等腰三角形的性质是解题的关键3(2021湖北随州市中考真题)如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为时,梯子顶端靠在墙面上的点处,底端落在水平地面的点处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为,已知,则梯子顶端上升了( )A1米B1.5米C2米D2.5米【答案】C【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsin与AD=ABsin,两线段作差即可【详解】解:如图所示标记字母,根据题意得AB=CE=10米,sin,在RtECD中,sin,CD=,在RtABD中,sin,AC=CD-AD=8
3、-6=2故选择C【点睛】本题考查三角函数的定义,解直角三角形,掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键4(2021湖南株洲市中考真题)某限高曲臂道路闸口如图所示,垂直地面于点,与水平线的夹角为,若米,米,车辆的高度为(单位:米),不考虑闸口与车辆的宽度当时,小于3.3米的车辆均可以通过该闸口;当时,等于2.9米的车辆不可以通过该闸口;当时,等于3.1米的车辆不可以通过该闸口则上述说法正确的个数为( )A0个B1个C2个D3个【答案】C【分析】三点共线,直接计算可得;做出辅助线,构造直角三角形,利用特殊角的三角函数,求出;方法同【详解】如图过E点作交的延长线于点M, 则当时,三点
4、共线, 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口,故正确当时,等于2.9米的车辆不可以通过该闸口,故正确当时, 等于3.1米的车辆可以通过该闸口,故错误综上所述:说法正确的为:,共2个故选:C【点睛】本题考查了三角函数的应用,二次根式的估值,正确的作图,计算和对比选项是解题关键5(2021湖南衡阳市中考真题)如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯的倾斜角为,大厅两层之间的距离为6米,则自动扶梯的长约为()( )A7.5米B8米C9米D10米【答案】D【分析】结合题意,根据三角函数的性质计算,即可得到答案【详解】根据题意,得:米米故选:D【点睛】本题考查了三角函数的知识;解题的关键是熟练掌握三角
5、函数的性质,从而完成求解6(2021天津中考真题)的值等于( )ABC1D2【答案】A【分析】根据30的正切值直接求解即可【详解】解:由题意可知,故选:A【点睛】本题考查30的三角函数,属于基础题,熟记其正切值即可7(2021重庆中考真题)如图,在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡,斜坡CD的坡度(或坡比)为,坡顶D到BC的垂直距离米(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50,则建筑物AB的高度约为(参考数据:;)A69.2米B73.1米C80.0米D85.7米【答案】D【分析】作DFAB于F点,得到四边形DEBF为矩形,首先根据坡度的定义以
6、及DE的长度,求出CE,BE的长度,从而得到DF=BE,再在RtADF中利用三角函数求解即可得出结论【详解】如图所示,作DFAB于F点,则四边形DEBF为矩形,,斜坡CD的坡度(或坡比)为,在RtCED中,在RtADF中,ADF=50,将代入解得:,AB=AF+BF=35.7+50=85.7米,故选:D【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用,理解坡度的定义,准确构造直角三角形,熟练运用锐角三角函数是解题关键8(2021云南中考真题)在中,若,则的长是( )ABC60D80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值,求出BC,然后利用勾股定理即可求解【详解】解:ABC=90,sin
7、A=,AC=100,BC=10035=60,AB=80,故选D【点睛】本题主要考查的是解直角三角形,掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键9(2021山东泰安市中考真题)如图,为了测量某建筑物的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60,建筑物底端B的俯角为45,点A、B、C、D、E在同一平面内,斜坡的坡度根据小颖的测量数据,计算出建筑物的高度约为( )(参考数据:)A136.6米B86.7米C186.7米D86.6米【答案】A【分析】作DFAB于F点,
8、EGBC于G点,根据坡度求出DF=50,AF=120,从而分别在BEG和CEG中求解即可【详解】如图,作DFAB于F点,EGBC于G点,则四边形DFBG为矩形,DF=BG,斜坡的坡度,AD=130,DF=50,AF=120,BG=DF=50,由题意,CEG=60,BEG=45,BEG为等腰直角三角形,BG=EG=50,在RtCEG中,CG=EG=50,米,故选:A【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用,正确理解坡度的定义,准确构建合适的直角三角形是解题关键10(2021重庆中考真题)如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60,测得点
9、C距离通信基站MA的水平距离CB为30m;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m,测得山坡DF的坡度i=1:1.25若,点C,B,E,F在同一水平线上,则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为( )(参考数据:)A9.0mB12.8mC13.1mD22.7m【答案】C【分析】分别解直角三角形和,求出NE和MB的长度,作差即可【详解】解:,DF的坡度i=1:1.25,解得,顶端M与顶端N的高度差为,故选:C【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用,掌握解直角三角形是解题的关键11(2021四川泸州市中考真题)在锐角ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,有以下结论:
10、(其中R为ABC的外接圆半径)成立在ABC中,若A=75,B=45,c=4,则ABC的外接圆面积为( )ABCD【答案】A【分析】方法一:先求出C,根据题目所给的定理, , 利用圆的面积公式S圆=方法二:设ABC的外心为O,连结OA,OB,过O作ODAB于D,由三角形内角和可求C=60,由圆周角定理可求AOB=2C=120,由等腰三角形性质,OAB=OBA=,由垂径定理可求AD=BD=,利用三角函数可求OA=,利用圆的面积公式S圆=【详解】解:方法一:A=75,B=45,C=180-A-B=180-75-45=60,有题意可知,S圆=方法二:设ABC的外心为O,连结OA,OB,过O作ODAB于
11、D,A=75,B=45,C=180-A-B=180-75-45=60,AOB=2C=260=120,OA=OB,OAB=OBA=,ODAB,AB为弦,AD=BD=,AD=OAcos30,OA=,S圆=故答案为A【点睛】本题考查三角形的外接圆,三角形内角和,圆周角定理,等腰三角形性质,垂径定理,锐角三角函数,圆的面积公式,掌握三角形的外接圆,三角形内角和,圆周角定理,等腰三角形性质,垂径定理,锐角三角函数,圆的面积公式是解题关键12(2020柳州市柳林中学中考真题)如图,在RtABC中,C=90,AB=4,AC=3,则cosB=()ABCD【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出BC的长,再利用锐
12、角三角函数关系得出答案【详解】在RtABC中,C=90,AB=4,AC=3,故选:C【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义,正确掌握边角关系是解题关键13(2020山东济南市中考真题)如图,ABC、FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的央角PBE43,视线PE与地面BE的夹角PEB20,点A,F为视线与车窗底端的交点,AFBE,ACBE,FDBE若A点到B点的距离AB1.6m,则盲区中DE的长度是( )(参考数据:sin430.7,tan430.9,sin200.3,tan200.4)A2.6mB2.8mC3.4mD4.5m【答案】B【分析】首先证明四边形ACDF是
13、矩形,利用PBE的正弦值可求出AC的长,即可得DF的长,利用PEB的正切值即可得答案【详解】FDAB,ACEB,DFAC,AFEB,四边形ACDF是平行四边形,ACD90,四边形ACDF是矩形,DFAC,在RtACB中,ACB90,ABE=43,ACABsin431.60.71.12(m),DFAC1.12(m),在RtDEF中,FDE90,PEB=20,tanPEB0.4,DE2.8(m),故选:B【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质,熟练掌握各三角函数的定义是解题关键14(2020贵州黔南布依族苗族自治州中考真题)如图,数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度,在点D
14、处测得旗杆顶端A的仰角为55,测角仪的高度为1米,其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米,设旗杆的高度为x米,则下列关系式正确的是( )ABCD【答案】B【分析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可【详解】解:在中,故选:B【点睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用注意数形结合思想的应用15(2020辽宁大连市中考真题)如图,小明在一条东西走向公路的O处,测得图书馆A在他的北偏东方向,且与他相距,则图书馆A到公路的距离为( )ABCD【答案】A【分析】据题意可得OAB为直角三角形,AOB=30,OA=200m,根据三角函数定义即可求得AB的长【详解】解:由已知得,AOB=9060=3
15、0,OA=200m则AB=OA=100m故选:A【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键16(2020内蒙古赤峰市中考真题)如图,经过平面直角坐标系的原点O,交x轴于点B(-4,0),交y轴于点C(0,3),点D为第二象限内圆上一点.则CDO的正弦值是( )A B C D【答案】A【分析】连接BC,且BOC=90,用勾股定理求出BC的长度,CDO与OBC均为所对圆周角,所以sinCDO=sinOBC,即CDO的正弦值可求【详解】解:如下图所示,连接BC,A过原点O,且BOC=90,OB=4,OC=3,根据勾股定理可得:,又同弧所对圆周角相等,CD
16、O与OBC均为所对圆周角,CDO=OBC,故sinCDO=sinOBC=,故选:A【点睛】本题考察了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值,解题的关键在于找出CDO与OBC均为所对圆周角,求出OBC的正弦值即可得到答案17(2020江苏镇江市中考真题)如图,AB5,射线AMBN,点C在射线BN上,将ABC沿AC所在直线翻折,点B的对应点D落在射线BN上,点P,Q分别在射线AM、BN上,PQAB设APx,QDy若y关于x的函数图象(如图)经过点E(9,2),则cosB的值等于()ABCD【答案】D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形,可得APBQx,由图象可得当x9时,y2,此时点
17、Q在点D下方,且BQx9时,y2,如图所示,可求BD7,由折叠的性质可求BC的长,由锐角三角函数可求解【详解】解:AMBN,PQAB,四边形ABQP是平行四边形,APBQx,由图可得当x9时,y2,此时点Q在点D下方,且BQx9时,y2,如图所示,BDBQQDxy7,将ABC沿AC所在直线翻折,点B的对应点D落在射线BN上,BCCDBD,ACBD,cosB,故选:D【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,折叠的性质,锐角三角函数等知识理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键18(2020吉林长春市中考真题)比萨斜塔是意大利的著名建筑,其示意图如图所示设塔顶中心点为点,塔身中心线与垂直中心线的
18、夹角为,过点向垂直中心线引垂线,垂足为点通过测量可得、的长度,利用测量所得的数据计算的三角函数值,进而可求的大小下列关系式正确的是( )ABCD【答案】A【分析】确定所在的直角三角形,找出直角,然后根据三角函数的定义求解;【详解】由题可知,ABD是直角三角形,,选项B、C、D都是错误的,故答案选A【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解,准确理解是解题的关键19(2020山东威海市中考真题)如图,矩形的四个顶点分别在直线,上若直线且间距相等,则的值为( )ABCD【答案】A【分析】根据题意,可以得到BG的长,再根据ABG90,AB4,可以得到BAG的正切值,再根据平行线的性质,可
19、以得到BAG,从而可以得到tan的值【详解】解:作CFl4于点F,交l3于点E,设CB交l3于点G,由已知可得GEBF,CEEF,CEGCFB,BC3,GB,l3l4,GAB,四边形ABCD是矩形,AB4,ABG90,tanBAG=,tan的值为,故选:A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,平行线的性质,矩形的性质,解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答20(2020广东深圳市中考真题)如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70方向,则河宽(PT的长)可以表示为( ) A2
20、00tan70米B米C200sin70米D 米【答案】B【分析】在直角三角形PQT中,利用PQ的长,以及PQT的度数,进而得到PTQ的度数,根据三角函数即可求得PT的长【详解】解:在RtPQT中,QPT=90,PQT=90-70=20,PTQ=70,即河宽米,故选:B【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键21(2020湖南娄底市中考真题)如图,撬钉子的工具是一个杠杆,动力臂,阻力臂,如果动力F的用力方向始终保持竖直向下,当阻力不变时,则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )A越来越小B不变C越来越大D无法确定【答案】A【分析】根据杠杆原理及的值随
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