初二数学秋季讲义 第3讲 全等三角形的经典模型一（教师版）

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1、D C BA 4545 C B A A B C O M N 第第 3 讲讲 全等三角形的经典模型一全等三角形的经典模型一 等腰直角三角形数学模型思路： 利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545，）.如图 1； 常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图 2； 补全为正方形.如图 3，4. 图 1 图 2 图 3 图 4 【例1】 已知：如图所示，RtABC 中，AB=AC，90BAC，O 为 BC 的中点， 写出点 O 到ABC 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系（不要 求证明） 如果点 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持 思路导航思路导航 典题精练典题精

2、练 题型一：题型一：等腰直角三角形模型等腰直角三角形模型 A B C O M N F E D C B A AN=CM.试判断OMN 的形状，并证明你的结论. 如果点 M、N 分别在线段 CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持 AN=CM，试判 断中结论是否依然成立，如果是请给出证明 【解析】 OA=OB=OC 连接 OA, OA=OC 45 BAOC AN=CM ANOCMO ON=OM NOAMOC 90 NOABONMOCBON 90NOM OMN 是等腰直角三角形 ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：BAC=90 ，AB=AC，O 为 BC 中点 BAO=OAC=ABC=ACB=4

3、5 ， AO=BO=OC， 在 ANO 和 CMO 中， ANCM BAOC AOCO ANOCMO（SAS） ON=OM，AON=COM， 又COMAOM=90 ， OMN 为等腰直角三角形 【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如 图所示放置，, ,E A C三点在一条直线上，连接BD，取BD的 中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状， 并说明理由 【解析】EMC是等腰直角三角形 证明：连接AM由题意，得 ,90 ,90 .DEACDAEBACDAB DAB为等腰直角三角形. DMMB， ,45MAMBDMMDAMAB 105MDEMAC， EDMCAM ,EM

4、MCDMEAMC 又90EMCEMAAMCEMADME CMEM， EMC是等腰直角三角形 M E D C B A A B C O M N M E D C B A N M 1 2 A B C D E F 3 M 1 2 A BC D E F 3 P CB A P CB AD 【例3】 已知：如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是AC的中 点，AFBD于E，交BC于F，连接DF 求证：ADBCDF 【解析】 证法一：如图，过点A作ANBC于N，交BD于M ABAC，90BAC， 345DAM 45C，3C AFBD，190BAE 90BAC，290BAE 12 在ABM和CAF中， 12 3

5、 ABAC C ABMCAFAMCF 在ADM和CDF中， ADCD DAMC AMCF ADMCDF ADBCDF 证法二：如图，作CMAC交AF的延长线于M AFBD，3290 ， 90BAC， 1290 ， 13 在ACM和BAD中， 13 90 ACAB ACMBAD ACMBAD MADB，ADCM ADDC，CMCD 在CMF和CDF中， 45 CFCF MCFDCF CMCD CMFCDFMCDF ADBCDF 【例4】 如图，等腰直角ABC中，90ACBCACB，P为ABC内部一点，满足 求证：15BCP PBPCAPAC， 【解析】 补全正方形ACBD，连接 DP， 易证AD

6、P是等边三角形，60DAP，45BAD， 15BAP，30PAC，75ACP， 15BCP 【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题， 若遇到不易解决或解法比较复杂时， 可将等腰直角 三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果， 从而顺利地求解。例 4 为求角度的应用，其他应用探究如下： 【探究一】证角等 【备选 1】如图，RtABC 中，BAC=90 ，AB=AC，M 为 AC 中点，连结 BM，作 ADBM 交 BC 于点 D，连结 DM，求证:AMB=CMD 【解析】 作等腰 Rt ABC 关于 BC

7、 对称的等腰 Rt BFC，延长 AD 交 CF 于点 N， ANBM，由正方形的性质，可得 AN=BM， 易证 Rt ABM Rt CAN，AMB=CND，CN=AM， M 为 AC 中点，CM=CN， 1=2，可证得 CMDCND， CND=CMD， AMB=CMD 【探究二】判定三角形形状 【备选 2】如图，RtABC 中，BAC= 90 ，AB=AC，AD=CE，ANBD 于点 M，延长 BD 交 NE 的延长线于点 F，试判定DEF 的形状 【解析】 作等腰 Rt ABC 关于 BC 对称的等腰 Rt BHC， 2 1 N F A BC D M EE M D CB A A B C D

8、 E F N M K H M N F E D C B A 可知四边形 ABHC 为正方形，延长 AN 交 HC 于点 K， AKBD，可知 AK=BD，易证:Rt ABDRt CAK， ADB=CKN，CK=AD， AD=EC，CK=CE， 易证 CKNCEN，CKN=CEN， 易证EDF=DEF，DEF 为等腰三角形 【探究三】利用等积变形求面积 【备选 3】 如图， RtABC 中， A=90 ， AB=AC， D 为 BC 上一点， DEAC， DFAB， 且 BE=4， CF=3，求 S矩形DFAE 【解析】 作等腰 Rt ABC 关于 BC 的对称的等腰 Rt GCB， 可知四边形

9、ABGC 为正方形，分别延长 FD、ED 交 BG、CG 于点 N、M， 可知 DN=EB=4，DM=FC=3， 由正方形对称性质， 可知 S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM DN=34=12 【探究四】求线段长 【备选 4】如图，ABC 中，ADBC 于点 D，BAC=45 ，BD=3，CD=2，求 AD 的长 【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已 知条件不是等腰直角三角形，但BAC=45 ，若分别以 AB、AC 为对称轴作 Rt ADB 的对称直角三角形和 Rt ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为 90 的图形，满足等腰直

10、角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形 【解析】 以AB为轴作Rt ADB的对称的Rt AEB， 再以AC为轴作Rt ADC的对称的Rt AFC 可知 BE=BD=3，FC=CD=2， 延长 EB、FC 交点 G，BAC=45 ， 由对称性，可得EAF=90 ，且 AE=AD=AF， 易证四边形 AFGE 为正方形，且边长等于 AD， 设 AD=x，则 BG=x3，CG=x2， G M N F E D C B AF E D C B A G F E D CB A D CB A E D C B A 21 在 Rt BCG 中，由勾股定理，得 22 2 235xx， 解得 x=6，即 AD=

11、6 【探究五】求最小值 【备选 5】如图，RtABC 中，ACB=90 ，AC=BC=4，M 为 AC 的中点，P 为斜边 AB 上的动 点，求 PM+PC 的最小值 【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作 Rt ACB 关于 AB 对称的 Rt ADB，可知 四边形 ACBD 为正方形，连接 CD，可知点 C 关于 AB 的对称点 D，连接 MD 交 AB 于 点 P，连接 CP，则 PM+PC 的值为最小，最小值为:PM+PC=DM= 22 422 5 常见三垂直模型 【引例】 已知 ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，求证：ACCE； 若将CDE 沿 CB 方向平移得到

12、等不同情形， 1 ABC D， 其余条件不变，试判断 ACC1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 M P D BC A M P BC A 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 题型题型二二：三垂直模型三垂直模型 2 1 G FE O y x 3 D C B A O y x D C B A C1 A BC E DD E (C)B A C1C1 A BC E DC1 A B C E D 明；若不成立，请说明理由. 【解析】 ABBD，EDBD 90 BD 在ABC与CDE中 ABCD BD BCDE ABCCDE（SAS） 1 E 290 E 90ACE,即 ACCE 图四种情形中，结论永远成立，

13、证明方法与完全类似，只要证明 1 ABCC DE 1 ACBC ED 11 90C EDDC E 1 90DC EACB ACC1E 【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0 10，84，点C在第一象限求正方 形边长及顶点C的坐标 （计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边 的平方.） 【解析】 过点 C 作 CGx 轴于 G，过 B 作 BEy 轴于 E，并反向延长交 CG 于 F 典题精练典题精练 点A、B的坐标分别为0 10，84， BE=8， AE=6，AB=10 四边形 ABCD 是正方形，AB=BC 1390 239 0 12 90AEBBFC AEBBFC

14、CF=BE=8，BF=AE=6 CG=12 EF=14 C(14，12)，正方形的边长为 10 【点评】 此题中三垂直模型： 【例6】 如图所示， 在直角梯形ABCD中，90ABC，ADBC， ABBC，E是AB的中点，CEBD 求证：BEAD； 求证：AC是线段ED的垂直平分线； DBC是等腰三角形吗？请说明理由 【解析】90ABC，BDEC， 9090ECBDBCABDDBC，ECBABD ， 90ABCDAB ，ABBC， BADCBE，ADBE E是AB中点，EBEA 由得：ADBE，AEAD ADBC，45CADACB ， 45BAC，BACDAC 由等腰三角形的性质，得：EMMDA

15、MDE， 即AC是线段ED的垂直平分线 DBC是等腰三角形，CDBD 由得：CDCE，由得：CEBD CDBD，DBC是等腰三角形 A BC D E M A B C D E F E D C B A 【例7】 如图 1，ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 BD=CE，连接 AE、 CD 相交于点 P请你补全图形，并直接写出APD 的度数= ； 如图 2， RtABC 中， B=90 ， M、 N 分别是 AB、 BC 上的点， 且 AM=BC、 BM=CN， 连接 AN、CM 相交于点 P请你猜想APM= ，并写出你的推理过程 （2013 平谷一模） 【解析】 图略，6

16、0 45 证明：作 AEAB 且AECNBM. 可证EAMMBC MEMC，.AMEBCM 90 ,CMBMCB 90 .CMBAME 90 .EMC EMC是等腰直角三角形,45 .MCE 又 AEC CAN（SAS） .ECANAC ECAN. 45 .APMECM 训练1. 已知：如图，中，AC=BC， 90ACB ，D是AC上一点，AEBD 的延长线 于 E，并且 1 2 AEBD，求证：BD 平分ABC . ABC 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) E A B C M N P 图2 图1 P N M C B A C BA G O F E D C B A G H F E D

17、 CB A 【解析】 延长 AE 交 BC 的延长线于 F BEAF ，90ACB FACDBC 在 AFC 和 BDC 中， FACDBC ACBC ACFBCD AFC BDC（ASA） AF=BD 又 1 2 AEBD 1 2 AEAFEF BE 是 AF 的中垂线BA=BF BD 平分ABC 训练2. 已知，在正方形 ABCD 中，E 在 BD 上，DGCE 于 G，DG 交 AC 于 F.求证：OE=OF 【解析】 ABCD 是正方形 OD=OC 90DOC DGCE 90DGC DOCDGC OFDGFC ODFECO 在 DOF 和 COE 中， DOFCOE ODOC ODFO

18、CE DOFCOE（ASA） OE=OF 训练3. 已知： 如图，中，D是BC的中点，AFBE于G 求 证：DHDF 【解析】 ，是BC的中点 AD=BD=CD， ADBC 90ADB AFBE 90AGH DBEDAF 在 BDH 和 ADF 中， DBHDAF BDAD ADBADF ABCABAC90BAC ABAC90BACD E D C BA AB C D E F E F D CB A BDHADF（ASA） DH=DF 训练4. 如图， 已知矩形 ABCD 中， E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EFEC， 且 EF=EC， DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为

19、 32cm，求 AE 的长 【解析】 在 Rt AEF 和 Rt DEC 中， EFCE， FEC=90 ， AEF+DEC=90 ，而ECD+DEC=90 ， AEF=ECD 又FAE=EDC=90 EF=EC Rt AEFRt DCE AE=CD AD=AE+4 矩形 ABCD 的周长为 32 cm， 2（AE+AE+4）=32 解得 AE=6 cm 题型一题型一 等腰直角三角形模型等腰直角三角形模型 巩固练习巩固练习 【练习1】 如图，ACB、ECD 均为等腰直角三角形，则图中与 BDC 全等的三角形为_. 【解析】 AEC 【练习2】 如图，已知RtABC中90ACB，ACBC，D是B

20、C的中点，CEAD，垂足 为EBFAC，交CE的延长线于点F求证：2ACBF 【解析】 90ACB，BFAC， 90ACDCBF ， 90ADCCAD CEAD， 90FCBADC， CADFCB 又ACCB， ADCCFB DCFB D是BC的中点， 2BCBF， 复习巩固复习巩固 图2 图1 G G A B C D E F F E D C B A 即2ACBF 题型题型二二 三垂直模型三垂直模型 巩固练习巩固练习 【练习3】 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形（ADAB） ，点 E 在 BC 上，且 AE =AD，DF AE，垂足为 F请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的

21、结论并给予证明 【解析】 经探求，结论是：DF = AB 证明如下： 四边形 ABCD 是矩形， B = 90 ， ADBC， DAF = AEB DFAE， AFD = 90， AE = AD ， ABEDFA AB = DF 【练习4】 如图，ABC中，ACBC，90BCA，D是AB上任意一点， AECD交CD延长线于E，BFCD于F求证：EFBFAE 【解析】 根据条件，ACE、CBF都与BCF互余， ACECBF 在ACE和CBF中， ACCB，90AECCFB ， ACECBF 则CEBF，AECF， EFCECFBFAE 【练习5】 四边形 ABCD 是正方形 如图 1，点 G 是

22、 BC 边上任意一点(不与 B、C 两点重合)，连接 AG，作 BFAG 于点 F，DEAG 于点 E求证：ABF DAE； 在中，线段 EF 与 AF、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不 需要证明)； 如图 2，点 G 是 CD 边上任意一点(不与 C、D 两点重合)，连接 AG，作 BFAG 于 点 F，DEAG 于点 E那么图中全等三角形是 ，线段 EF 与 AF、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明) 【解析】 在正方形 ABCD 中，AB=AD，90BAD 90BAFDAE F E D C B A F A D C E B EC D B A F 90BAFABF

23、ABFDAE 在 ABF 和 DAE中 , , , ABFDAE AFBDEA ABDA ABFDAE（AAS） EFAFBF ABFDAE EFBFAF 测试1. 问题：已知ABC中，2BACACB ，点D是ABC内的一点，且ADCD， BDBA探究DBC与ABC度数的比值 请你完成下列探究过程：请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明 当90BAC时，依问题中的条件补全右图 观察图形，AB与AC的数量关系为_； 当推出15DAC时，可进一步推出DBC的度数为_； 可得到DBC与ABC度数的比值为_ （2010 北京中考） 【解析】 相等；15 ；1:

24、3 测试2. 已知：如图，在ABC 中，90ACBCDAB，于点 D，点 E 在 AC 上，CE=BC， 过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F. 求证：AB=FC. 【解析】 FEAC于点E，90ACB， 90FECACB 90FECF 又CDAB于点D， 90AECF AF 在ABC和FCE中， 课后测课后测 图1 D C B A C B A P Q M C B A , , , AF ACBFEC BCCE ABCFCE ABFC 测试3. 如图， RtABC 中，C=90,10cmAC ，5cmBC ，一条 线段 PQ=AB，P，Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的 射线 AM 上运动. 当ABC 和APQ 全等时,点 Q 到点 A 的距离 为_ . 【解析】 5cm 或 10cm.