初二数学秋季讲义 第8讲 分式恒等变形（教师版）

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1、第第 8 讲讲 分式恒等变形分式恒等变形 对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要 注意是否有简便方法. 【引例】 计算 22 33 xyxy xy xxyxx 【解析】 原式 22 33 xyxy xy xxyxx 222 33 xyxy xy xxyxxyx 2 x xy 2x xy 【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的 时候需要思考一下简单方法. 【例1】 计算： 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 典题精练典题精练 题型一：分式的混合运算与化简求值题型一：分式的混合运算与化简求值 23 22 ()

2、 xyx xy xyxy 22 12 239 aa aaaa 【解析】 2 () () x xy yxy ； 原式 331 232 aaa a aaa 13 22 a aa 13 22 a aa 22 22 aa aa 【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值 【变式一】已知 234 xyz ，求 2 2 xyz xyz 的值 【解析】 设 234 xyz k， 则 x=2k，y=3k，z=4k 原式 223444 223455 kkkk kkkk 【备注】已知连比，常设比值 k 为参数，这种解题方法叫见比设参法 【变式二】已知 22 60aabb，求 ab ab

3、 的值 【解析】 由 22 60aabb，有320abab， 30ab或20ab， 解得3ab 或2ab 当3ab 时，原式 3 2 3 bb bb ； 当2ab时，原式 21 23 bb bb 【探究二】将所求式变形代入求值 【变式三】已知0abc，求 111111 ()()()cba abcabc 的值 【解析】 原式 111111111 ()1()1()1cba abccabbca 111 ()()3cba abc 0abc， 原式3 【变式四】已知0abc ，且0abc，求代数式 222 abc bccaab 的值 【解析】 原式 3 33 333 bcbcabc abcabc 332

4、233 33 3 3 bcb cbcbc abc bc bc abc 【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值 【变式五】已知 2 210aa ，求分式 22 214 () 2442 aaa aaaaa 的值 【解析】 原式 2 212 (2)(2)4 aaa a aaa 2 (2)(2)(1)2 (2)4 aaa aa a aa 2 42 (2)4 aa a aa 2 11 (2)2a aaa 2 210aa ， 2 21aa， 原式1 【备注】本例是将条件式化为“ 2 21aa”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整 体代入 【变式六】若4360 xyz，2700 xyzxyz

5、，求 222 222 52 2310 xyz xyz 的值 【解析】 由于0 xyz ，4( )3( )60 xy zz ，2( )70 xy zz ，解得 x z =3， y z =2 222 222 52 2310 xyz xyz = 2222 2222 (52) (2310) xyzz xyzz = 22 22 5( )2( )1 2( )3( )10 xy zz xy zz = 22 22 5 3221 2 33 210 = 52 4 =13 【例2】 将下列式子先化简，再求值 已知： 2 380 xx，求代数式 2 1441 212 xxx xxx 的值； 已知： 3 1 x x ，

6、求 1 24 2 xx x 的值； 已知： 2 410aa ，且 42 32 1 5 33 ama amaa ，求 m 的值； 已知 11 3 xy ，求 232 2 xxyy xxyy 的值 【解析】 原式 2 3 32xx 当 2 380 xx时， 2 38xx 原式 3 82 3 10 2 2 2 24 1 1 1 x x x xx 2 1 ()218x x ，故 8 1 1 24 2 xx x 2 410aa ， 1 4a a ， 2 2 1 14a a 又 2 42 2 32 1 114 5 3 3312 3 am amam a amaam am a 37 2 m 解法一：将分子、分

7、母同除以xy，得： 原式 1122 233 2 333 11 32511 2 2 xyyx yx xy 解法二：由 11 3 xy ，得3 yx xy ，即3yxxy，代入所求分式得： 232326333 223255 xyxyxxyyxyxyxy xxyyxyxyxyxyxy 思路导航思路导航 题型题型二二：分式的恒等变形分式的恒等变形 恒等概念是对两个代数式而言， 如果两个代数式里的字母换成任意的数值， 这两个代数式的 值都相等，就说这两个代数式恒等表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换) 以恒等变形的意义来看， 它不过是将一个

8、代数式从一种形式变为另一种形式， 但有一个条件， 要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变 【引例】 已知有理数a、b、c满足 1111 abcabc ，求证：ab ，或bc ，或ca 【解析】 1111 abcabc 1111 ababcc ababcabc abc abcc abc 若0ab 则 11 abc abc 2 acbccab 2 0abacbcc 0a bcc bc 0acbc 0ac或0bc 当0ab时，即ab 综上所述ca ，或ab ，或bc 【点评】 此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解 【例3】 若n为自然数， 且 1111 abcabc ，

9、 求证： 212121212121 1111 nnnnnn abcabc 【分析】 若 1111 abcabc ，则ab 或bc 或ca ，用以解决本题就容易多了 【解析】 证明：由 1111 abcabc 得ab 或bc 或ca ，不妨设ab ，代入左边 左边 212121 111 nnn bc b 212121 111 nnn bbc 例题精讲例题精讲 典题精练典题精练 21 1 n c ， 而右边 21212121 2121 11 nnnn nn bbc bbc 21 1 n c ， 左边右边，原式成立 【例4】 若1abc ，求证：1 111 abc ababcbcac 【解析】 证法

10、 1：1abc ， 1 c ab 代入到等式左边 左边 1 111 1 11 ab ab aba bba ababab 1 111 aab abaabaaba 1 右边 证法 2：左边 1 aababc abaabcabaabcaabcab 1 111 aab abaabaaba 1 右边 此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题. 【引例】 已知 2 a x 与 2 b x 的和等于 2 4 4 x x ，求a、b的值 【解析】 22 ()2()4 2244 abab xabx xxxx 所以 4 0 ab ab ，解得 2 2 a b 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲

11、 题型题型三三：部分分式与分离常数部分分式与分离常数 【例5】 已知 2 372 3 1111 xxAB xxxx ，其中A、B为常数，求42AB的值 【解析】 1A ，6B ，原式8 【例6】 若整数m使 6 1 m m 为正整数，则m的值为 若x取整数，则使分式 63 21 x x 的值为整数的x的值有（ ） A3 个 B4 个 C6 个 D8 个 【解析】 0m ； B， 636 3 2121 x xx ，又21 |6x，216x ，3，2，1 x的整数值 有 4 个. 【例7】 已知 abc k bcacab ，求k的值 【解析】因为 abc k bcacab 所以 ()ak bc，

12、()bk ac， ()ck ab， 由+得()()()abck bck ack ab， 即2 ()abck abc 当0abc时，21k ，所以 1 2 k 当0abc时，bca ，所以1 aa k bca ，所以k的值是 1 2 或1 典题精练典题精练 训练1. 若不论x为何值，分式 2 1 2xxc 总有意义，则c 已知分式 2 215 3 xx x 的值为零，那么x的值是 . 当x 时，分式 2 1 5 x x 的值为正数. 当x满足 时， 1 0 2 x x . 【解析】 1c ；5 ；1x ；12x ; 训练2. 23 22 () xyx xy xyxy 22 2 524 1 244

13、 aaa aaa ，其中23a 【解析】 2 2 2 x xy yxy 22 2 52244 24 aaaaa aa 22 22 2 222 aa a aaa 当23a 时，原式2323 训练3. 已知 1 3x x ，求 1 24 2 xx x 的值. 【解析】 2 2 2 24 1 1 1 x x x xx 2 1 ()2 1 12x x ，故 2 42 1 112 x xx . 训练4. 已知 2 22 211 11 xxABC xxxxx ，其中A、B、C为常数，求ABC的值 【解析】 原式右边 22 2 222 11211 111 Ax xB xCxAC xBA xBxx xxxxx

14、x ，得 2AC，1BA，11B，解得10A ，11B ，8C ，从而13ABC 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) 题型一题型一 分式的混合运算与化简求值分式的混合运算与化简求值 巩固练习巩固练习 【练习1】 计算： 2 22 2211 2326246 xxx xxxxx 【解析】 原式= 1x x 【练习2】 若4xy ，3xy ，则式子 11 11xy 的值为 . 【解析】 1 3 题型二题型二 分式的恒等变形分式的恒等变形 巩固练习巩固练习 【练习3】 已知x、y、z为三个不相等的实数，且 111 xyz yzx ，求证： 222 1x y z . . 【解析】 由 11 x

15、y yz ， 得 11yz xy zyyz ， 故 yz yz xy ， 同理可得 zx zx yz ， xy xy zx ， 故 222 1 yzzx xy x y z xyyzzx . 题型三题型三 部分分式与分离常数部分分式与分离常数 巩固练习巩固练习 【练习4】 若 2 8 224 MNx xxx 恒成立，求 M、N 的值 【解析】 2 8 224 MNx xxx ， 8 22(2)(2) MNx xxxx (2)(2)8M xN xx 则228MxMNxNx， 即228MxNxNMx 故()2()8MN xNMx， 1 4 MN NM 解得： 5 2 3 2 M N 复习巩固复习巩固

16、 【练习5】 当x为何值时，分式 2 2 365 1 1 2 xx xx 有最小值？最小值是多少？ 【解析】 2 22 2 36522 66 1 22(1)1 1 2 xx xxx xx 当1x 时，原分式有最小值 4 测试1. 计算： 2 2 266 (3) 443 xxx x xxx 先化简，再求值： 2 2 121 1 24 xx xx ，其中3x 【解析】 2 2 266 (3) 443 xxx x xxx 2 2(3)1(3)(2)2 (2)3(3)2 xxx xxxx 原式 2 12 1 222 xx xxx 2 221 2 1 xxx x x 2 1 x x 当3x 时，原式 325 3 12 测试2. 已知： 22 32abab，求 2ab ab 的值. 已知 11 3 ab ，则 3 2 aabb aabb 的值是 【解析】 变形可得：()(3 )0ab ab，所以ab 或3ab，所以 21 2 ab ab 或 5 2 . 11 3 ab ，0a ，0b ，0ab 11 3 3(3)33 0 11 2(2)32 2 aabbaabbab ba aabbaabbab ba 课后测课后测