初二数学秋季讲义 第6讲 因式分解的高端方法及恒等变形(教师版)
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1、第第 6 讲讲 因式分解的高端方法及恒等变形因式分解的高端方法及恒等变形 换元法作为一种因式分解的常用方法, 其实质是整体思想, 当看作整体的多项式比较复杂时, 应用换元法能够起到简化计算的作用 【引例】 分解因式: 2222 (48)3 (48)2xxx xxx 【解析】 令 2 48xxu, 原式 22 32()(2 )uxuxux ux 又 2 48uxx 原式 22 (48)(482 )xxx xxx 22 (58)(68)xxxx 2 (2)(4)(58)xxxx 【例1】 分解因式: 22 353xxxx ; 22 1212xxxx; 135715xxxx 思路导航思路导航 例题精
2、讲例题精讲 典题精练典题精练 题型一:题型一:换元换元法法 【解析】 解法一:令 2 4xxy,则 原式113yy 22yy 22 62xxxx 1223xxxx 解法二:令 2 3xxy ,则 原式23y y 2 23yy 13yy 22 3 13 3xxxx 22 26xxxx 1223xxxx; 令 2 1xxy ,则 原式112y y 2 12yy 34yy 22 25xxxx 2 125xxxx 备注:观察题中的形式,可以选择中间值作为整体替换的量,这样能应用平方差公式进 行计算,会节省计算量下面很多题也都可以有多种换元的办法,不一一给出了 原式173515xxxx 22 87815
3、15xxxx, 设 2 87xxy,则 原式815y y 2 81535yyyy 22 810812xxxx 2 26810 xxxx 【例2】 分解因式: 4 61 41 3119xxxxx 16 61 21 31125xxxx 【解析】 原式 224 671 12719xxxxx,设 2 671xxt , 原式 22 2422 693971txtxtxxx 原式 22 61 42 624425241622416825xxxxxxxx 设 2 24162xxt,原式 2 2 2 1025524163t ttxx 基本方法 示例剖析 拆项添项法拆项添项法:为了分组分解,常常采用拆项添项的 方法
4、,使得分成的每一组都有公因式可提或者可以 应用公式. 常用思路:常用思路:1、对于按某一字母降幂排列的三项式, 拆开中项是最常见的. 2、配方法是一种特殊的添项法,配完全 平方的时候, 往往需要添上一个适当 的项或者讲某一项适当改变, 然后在 用提取公因式或公式法解决. 例如:因式分解: 42 31xx 422 2 22 22 21 1 11 xxx xx xxxx 【引例】 分解因式: 32 332aaa 【解析】 解法一:原式 32 3311aaa 3 3 11a 2 1 1111aaa 2 21aaa 解法二:原式 322 222aaaaa 2 222aaa aa 2 21aaa 解法三
5、:原式 322 222aaaaa 22 121a aaaa 2 21aaa 解法四:原式 32 1333aaa 22 1131aaaaa 2 21aaa 【点评】分组方法不唯一,此题解法一、四是将常数2拆项后再分组;解法二、三是将二次项、 一次项都拆项后再分解 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 题型题型二二:拆、添项及配方拆、添项及配方法法 【例3】 因式分解:若1xy ,则 43222234 585xx yx yx yxyxyy的值等于( ) A 0 B 1 C 1 D 3 若点P的坐标ab,满足 2222 1016=0a babab,求点P的坐标 【解析】 43222234 585xx
6、yx yx yxyxyy 433222222334 3223 322223 22 22 2 4444 44 33 3 2 1 xx yx yx yx yxyx yxyxyy xxyx y xyxy xyxyxyyxy xx yx yxyxyyxy xxyxy xyyxyxy xxyy xy 故选 C 原式 2222 =8162=0a bababab 22 =4=0abab =4=0abab, =2=2ab,或=2=2ab , 点P的坐标为22,或22 , 【例4】 分解因式: 4224 xx yy 22 4443xxyy 432 2321xxxx 【解析】 原式 422422 2xx yyx
7、y 2 2 22 xyxy 2222 xyxyxyxy 原式 22 (441)(44)xxyy 22 (21)(2)xy (212)(212)xyxy (23)(21)xyxy 法一 432 2321xxxx 4322 2221xxxxx 2 (1)2 (1) 1x xx x 典题精练典题精练 2 (1) 1x x 22 (1)xx 法二 432432322 2321=1xxxxxxxxxxxx 2 22222 =111 =1xxxx xxxxxx 【例5】 分解因式: 3 43115xx 32 256xxx 32 374xx 432 433xxxx 【解析】 原式 3 43015xxx 2
8、21 2115 21 21 215 21 253 xxxx xxx xxx 原式 322 56xxxx 2 2 161 16 132 xxxx xxx xxx 法一:原式 322 364xxx 2 2 3222 232 1232 xxxx xxx xxx 法二:原式 322 3344xxx 2 2 31411 1 344 1232 xxxx xxx xxx 法三:原式 322 3294xxx 2 2 323232 3232 1232 xxxx xxx xxx 法一:原式 4322 ()(333)xxxxx 222 22 (1)3(1) (3)(1) xxxxx xxx 法二:原式 4232 (
9、3)(3 )(3)xxxxx 22 (3)(1)xxx 【探究对象】 对拆项、添项法的探究 【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究 1】因式分解: 223 1baxabx 【解析】 原式= 2 11axaxbx 点评:对于三项式的因式分解,如果用拆项、添项法来分解的话,拆开中项是首选的方法, 如果式子中的括号不利于我们拆添项, 或不利于分组分解, 可以通过去括号来整理式 子,整理完后在继续分解. 【探究 2】因式分解: 3232 33332aaabbb 【解析】 原式= 22 21abaabbab 点评:此题前三项比完全立方公式少了 1,四五六项比完全立方公式少 1,所以想办
10、法通过拆 项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及 其变形掌握熟练. 【探究 3】因式分解: 46 2x 【解析】 原式= 22 8484xxxx 点评:遇到类似的题目,只有两项,项数很少,不能拆开中项,可以采取“无中生有”的方 法,添上需要的式子,最后在减去相同的式子,目的还是凑成公式,完成因式分解. 例题中有类似的题目,难度相对比较大,学生不容易想到. 【备选例题】 32 6116xxx 【解析】先拆项,后分组,再提取公因式,最后再十字相乘. 原式 3222 556615161123xxxxxxxx xxxxx 点评:此题对于学生来说,分解到最后的结果为
11、2 156xxx,因为没有学十字相乘法 分解因式,所以学生分解到此阶段就分解不下去了,教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法,强调因式分解一定要分解到不能在分解为止. 【引例】 矩形的周长 28cm,两边长为cmx、cmy,且 3223 0 xx yxyy,求矩形的面积 【解析】 由题得2()28xy,则14xy 3223 0 xx yxyy 22 ()()0 x xyyxy 22 ()()0 xy xy 例题精讲例题精讲 题型题型三三:恒等变形恒等变形 ()()()0 xy xy xy 14xy 0 xy 77xy, 49Sxy 矩 【例6】 设2 =3xzy,试判断 222 944x
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