初二数学秋季讲义 第9讲 二次根式的综合化简（教师版）

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1、第第 9 讲讲 二次根式的综合化简二次根式的综合化简 二次根式的化简求值， 是中考以及各级各类竞赛中的常见题目， 其常用的方法有约分法， 裂项法， 取倒法等等 【例1】 化简下列二次根式 1. 1111 ()( 2011 1) 21324320112010 【解析】 22 11111nnnnnnnn 说明1nn 和1nn 互为倒数，故 1 1 1 nn nn 原式 213243201120102011 1 2 2 2011 12011 1201112010 2. 10141521 10141521 【解析】 101415215( 23)7( 23)23 2 65 101415215( 23)7

2、( 23)23 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型一：题型一：二次根式的化简与求值二次根式的化简与求值 3. 42 342 3 【解析】 22 42 342 332 3132 313 1312 3 【点评】 此题是复合二次根式复合二次根式的化简， 在初三的锐角三角函数中会涉及， 老师还可练习84 3， 此类题型的步骤为：将二次根式化简为2ab的形式 将 a 拆成 x+y，b 拆成 xy 的形式 2 2abxy 【例2】 1. 已知31x ，31y ，求 22 xxyy和 33 x yxy 【解析】 2 222 226xxyyyxxy； 2 33222 2222 216x yxyxy xy

3、xyyxxy 2.已知 3232 , 3232 xy ，求 yx xy 的值 【解析】 2 32 ( 32)52 6 32 y ， 2 32 ( 32)52 6 32 x 10 xy，1xy ， 222 ()2 98 xyxyxyxy yxxyxy 3.已知6,4abab且ab，求 ab ab 的值 【解析】 22 2 464420ababab ab 2 5ab 原式= 25 5 aabb ab 4.其中23x ，23y ，求 xxyxyy xyyxxy 的值 【解析】 原式 ()() 4 ()() xxyyxyxy yxyxxyxy 例 2 精讲：ba、ba或ba 、ba 的应用 共轭根式：

4、形如xab，yab的两个根式互称为共轭根式 如果x和y互为共轭根式，那么xy和xy都是有理式（其中,a b为有理数） 通常情况下，将含有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式 解决根式问题，应当视情况将分母或分子进行有理化 推广：bax、bay虽然不是共轭二次根式，但是xy同样是有理式，因此也可以用 来帮助分母或分子有理化 探究 1、分母有理化 【变式 1】计算： 1 32 2 【解析】原式 32 2 32 2 (32 2)(32 2) ； 探究 2、分子有理化 【变式 2】已知1c ，1xcc，1ycc ，21zcc，比较x，y，z的 大小 【解析】分子有理化可直接得到答案，易得

5、zyx 探究 3、利用共轭根式xy和xy来化简求值 【变式 3】已知 1 ( 75) 2 x ， 1 ( 75) 2 y ，求下列各式的值. 22 xxyy； xy yx . 【解析】 1 ( 75) 2 x ， 1 ( 75) 2 y ，7xy， 1 2 xy . 2222 11 ()3( 7)35 22 xxyyxyxy . 2 222 1 ( 7)2 ()2 2 12 1 2 xyxyxyxy yxxyxy . 探究 4、构造共轭根式进行配对 【变式 4】已知 33 154154x，则xx12 3 的值是 . 【解析】设a 3 154，b 3 154；则bax，8154154 33 ba

6、， 4444151544154154154154 33333 ab， 原式8121212312 33333 bababababaabbababa. 探究 5、共轭根式求值 【变式 5】已知 22 25152xx则 22 2515xx的值为_ 【解析】注意到 222222 25152515251510 xxxxxx， 所以， 22 25155xx 【例3】 1.已知210 x ，求 2 46xx的值 【解析】 直 接 把210 x 代 入 代 数 式 求 值 显 然 计 算 很 繁 琐 ， 可 适 当 变 形 2 2 462100 xxx 2.已知23a ，求 32 1 283aaa a 的值

7、【解析】 23a ，23a ， 2 410aa ， 2 41aa，则 32 4aaa 2 3222 111141 1 28382834 aa aaaaaaaa aaaaa 二次根式的综合应用包括比较大小，实际应用问题等等. 【例4】 比较下列各式的大小(填“”“”或“=”) 3_2 2 5 7 6 5 1 75 1 53 20022001_20012000 【解析】 （平方）两个正数，其平方大的大， 2 39， 2 2 28，则32 2 （被开方数） 5 7175 ，6 5180 ， 180175，故175180 ，即5 76 5 （分母有理化） 22 1757575 275 7575 75

8、22 1535353 253 5353 53 75，53，7553， 11 7553 法一（分子有理化） 2002200120022001 1 20022001 2002200120022001 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型题型二二：二次根式的综合应用二次根式的综合应用 2001200020012000 1 20012000 2001200020012000 2002200120012000，2002200120012000 法二 （倒数法） 1 20022001 20022001 ， 1 20012000 20012000 ， 2002200120012000 【例5】 已知a、

9、b均为有理数，并满足等式 3 4332 2 aba，求a、b的值. 【解析】由已知条件可得 3 (24)() 30 2 aba，所以 240 3 0 2 ab a ，即 3 2 a ，1b 【例6】 若0a ，0b ，0c ，求证： 222222 2abbccaabc 【解析】 待证不等式左边的根式，让人联想起直角三角形中斜边的表达式；而其右 边为abc 的2倍，又与正方形的对角线有关我们借助几何图形给 予证明 作出以abc为边长的正方形ABCD， 分别在两边上截取线段a、b、c， 如图，则 22 AEab， 22 EFbc， 22 FCca， 而2ACabc，显然，由AEEFFCAC，可得原

10、不等式成立 训练1. 已知 1 23 xy ， 1 23 yz ，求 222 xyzxyxzyz的值 【解析】 1 23 23 xy ， 1 23 23 yz ， 4xzxyyz 222 xyzxyxzyz 2221 =15 2 xyxzyz 训练2. 已知2 21x ，求 3 1115xx的值 【解析】 直接代入肯定麻烦，先对已知条件进行变形 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) FE DC BAc ba c b a 12 2x ， 2 18x， 2 21 8xx ，即 2 72xx 下面采用降幂（次） ： 32 111572111524152 724151xxxxxxxxx 训练3

11、. 已知 1 4 01aa a ，求 1 a a 及 1 a a 的值 【解析】 2 11 26aa aa ， 1 0a a 1 6a a 01a 1 0a a 又 2 11 22aa aa 1 2a a 训练4. 设三所学校A、B、C分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现是网络时代，要在 三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲： ABBC；方案乙：ADBC（D为BC中点） ；方案丙：AOBOCO（O为三角形 三条高的交点） ，请你帮助计算一下哪种方案线路最短？ 【解析】 设ABa，则 2 a BD ， 3 2 ADa，在RtBDO中，30DBO， 3 3 BO

12、a 方案甲： 22 2 2 ABBCaa ；方案乙： 32 3 22 ADBCaaa ； 方案丙： 33 3 33 32 AOBOCOaaa 所以，AOBOCOADBCABBC O DD 丙乙 甲 A BC A BC CB A 题型一题型一 二次根式的化简与求值二次根式的化简与求值 巩固练习巩固练习 【练习1】 已知52x ， 求 2 5xx的值 （四中期中） 【解析】 当52x 时， 原式 2 ( 52)( 52)5 94 5525 74 5 【练习2】 若 2 3 1 a ，求 32 1 2 2 aaa的值 【解析】 由 2 3 1 a ，得3 1a ，即13a ，两边平方，得 2 220

13、aa 原式= 2 1 2222 2 a aa 题型二题型二 二次根式的综合应用二次根式的综合应用 巩固练习巩固练习 【练习3】 已知 n 是一个正整数，135n是整数，则 n 的最小值是（ ） A3 B5 C15 D25 【解析】 C 【练习4】 某电力公司为了改善农村用电电费过高的问题， 准备在各地农村进行电网改造， 富康 乡有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联 合架设一条线路，有四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设 方案最省电线 （以下数据可供参考：21.414，31.732，52.236） 【解析】 方案 4 最省钱 【练习5】

14、若 x表示不超过x的最大整数（如 2 3,23 3 等） ，则 O (4)(3)(2)(1) H F E H 3030 3030 D CB AD C B AD C B AA B C D 复习巩固复习巩固 111 21 232 320012000 2001 _ 【解析】 2000 测试1. 已知3232ab， 求 22 a bab； 22 11 ab . （宣武期末） 【解析】 由题意得2 31abab， 原式2 3ab ab 原式 2 2 2 10 abab ab 测试2. 先化简，再求值： 2 2 23abababa，其中23a ，32b 【解析】 2 222222 23223abababaaabbaabbaab 当23a ，32b 时， 原式 =2332 =1 测试3. 试比较 51 51 与 73 73 的大小 【解析】 2 51 5162 5 4451 ， 2 73 73102 21 4473 显然， 5173 5173 课后测课后测