初二数学秋季讲义 第13讲 几何综合(教师版)
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1、第第 13 讲讲 几何综合几何综合 全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一, 是今后学习其他知识的基础。 判断三角形全 等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL(直角三角形),如果所给条件充足,则可直接根据 相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析, 先推导出所缺的条件,引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种: 1. 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换 中的“对称”; 2. 若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利 用的思维模式是全等变换
2、中的“旋转”; 3. 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对称”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理; 4. 过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”; 5. 截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条 线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于 证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型 1.最值问题:“将军饮马”模型; 2. 全等三角形经典模型:三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模
3、型等。 三、尺规作图 部分地区会考察尺规作图,难点在于构造轴对称图形解决几何问题。 【例1】 如下左图,把ABC 沿 EF 对折,叠合后的图形如图所示若A=60 , 1=95 ,则2 的度数为( ) (2013 海淀期末) A24 B25 C30 D35 思路导航思路导航 典题精练典题精练 题型一:题型一:全等三角形与轴对称全等三角形与轴对称 长为 20,宽为 a 的矩形纸片(10a20) ,如上右图那样折一下,剪下 一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作) ;再把剩下的矩形如图 那样折一下, 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形 (称为第二次操作) ; 如此反复操作下去, 若在第 n
4、次操作后, 剩下的矩形为正方形, 则操作停止 当 n=3 时,a 的值为 【解析】A=60 , AEF+AFE=180 -60 =120 , FEB+EFC=360 -120 =240 , 由折叠可得:BEF+EFC=FEB+EFC=240 , 1+2=240 -120 =120 , 1=95 , 2=120 -95 =25 , 故选:B 由题意,可知当 10a20 时, 第一次操作后剩下的矩形的长为 a,宽为 20-a, 所以第二次操作时剪下正方形的边长为 20-a,第二次操作以后剩下的矩形 的两边分别为 20-a,2a-20 此时,分两种情况: 如果 20-a2a-20, 即 a 40 3
5、 , 那么第三次操作时正方形的边长为 2a-20 则 2a-20=(20-a)-(2a-20) ,解得 a=12; 如果 20-a2a-20,即 a 40 3 ,那么第三次操作时正方形的边长为 20-a 则 20-a=(2a-20)-(20-a) ,解得 a=15 当 n=3 时,a 的值为 12 或 15 故答案为:12 或 15 【例2】 如图所示,在长方形 ABCD 称轴 l 上找点 P,使得PAB、PBC 均为等腰三角形, 则满足条件的点 P 有( ) A1 个 B3 个 C5 个 D6 个 2 1 C B F E C B A 第二次操作 第一次操作 l DC BA 【解析】C 已知,
6、横线和竖线相交的点叫做格点,P、A、B 为格 点上的点,A、B 的位置如图所示,若此三点能够构成等 腰三角形,P 点有 种不同的位置? 【解析】12 种,如下图所示: 【例3】 如图 1,在等边三角形 ABC 中,AB=2,点 E 是 AB 的中点,AD 是高,在 AD 上找 一点 P,使 BP+PE 的值最小; 如图 2,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,在 AC 上找一点 P,使 PB+PE 的值最小; 如图 3,O 的半径为 2,点 A、B、C 在O 上,OAOB,AOC=60 ,P 是 OB 上一动点,求 PA+PC 的最小值; 如图 4,在四边形 ABCD 的对角
7、线 AC 上找一点 P,使APB=APD保留作图痕 迹,不必写出作法 【解析】 作点 B 关于 AD 的对称点,恰好与点 C 重合,连接 CE 交 AD 于一点,则这点就是所 求的点 P,故 BP+PE 的最小值为 22 3BCBE; 连接 BD,由正方形对称性可知,B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P,则 PB+PE 的最小值是 22 5ADAE; 作 A 关于 OB 的对称点 A,连接 AC,交 OB 于 P,PA+PC 的最小值即为 AC 的长, AOC=60 ,AOC=120 ,作 ODAC 于 D,则AOD=60 ,OA=OA=2, AD=3,AC=2 3 如
8、图 4,首先过点 B 作 BBAC 于 O,且 OB=OB,连接 DB并延长交 AC 于 P,由 AC 是 BB的垂直平分线,可得APB=APD 图4图3图2图1 P D C B A O P C B A P E D C B A P E D CB A B A 【例4】 如图 1, 在ABC中,2ACBB ,BAC的平分线AO 交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线 lAO于H,分别交直线ABACBC、于点NEM、 、. 当直线l经过点C时(如图 2) ,证明:BNCD; 当M是BC的中点时,写出CE和CD之间的等量关 系,并加以证明; 请直接写出BNCECD、之间的等量关系. (海淀期末
9、考试) 【解析】 证明:连接ND. AO平分BAC, 12 . 直线lAO于H, 4590 . 67 . ANAC. NHCH. AH是线段NC的中垂线. DNDC. 89 . ANDACB . 3ANDB ,2ACBB , 3B . BNDN. BNDC. 如图,当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为2CDCE. B D A 图4图3图2图1 P D C B A OP C B A P E D C B A P E DCB A 证明:过点C作CNAO交AB于N. 由(1)可得BNCD,ANAC,ANAE. 43,NNCE . 过点C作CGAB交直线l于G. 42 ,1B . 23 . CG
10、CE. M是BC中点, BMCM. 在BNM和CGM中, 1, , , B BMCM NMBGMC BNMCGM. BNCG. BNCE. 2CDBNNNBNCE. BNCECD、之间的等量关系: 当点M在线段BC上时,CDBNCE; 当点M在BC的延长线上时,CDBNCE; 当点M在CB的延长线上时,CDCEBN. 一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余; 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积,即 ab=ch; 4. 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即 222 cba; 5. 在直角三角形中,
11、30 角所对的直角边等于斜边的一半(或含 30 的直角三角形三边之比 为 1:3:2) ; 6. 含 45 角的直角三角形三边之比为 1:1:2 二、直角三角形的判定 1. 有一个角为 90 的三角形是直角三角形; 思路导航思路导航 题型题型二二:直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形; 3. 勾股定理的逆定理:在以 a、b、c 为边的三角形中,若 222 cba,则这个三角形是 以 c 为斜边的直角三角形; 4. 一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边 的直角三角形 【例5】 在给定的图形内作一条折线 AB1C1
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