初二数学秋季讲义 第12讲 函数初步（教师版）

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1、第第 12 讲讲 函数初步函数初步 定 义 示 例 剖 析 常量 、变量 ：在一个变化过程中，我们称数值发 生变化的量为变量，数值始终保持不变的量称为 常量. 函数 ：一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就说其中x是 自变量 ，y是因变量 ，y是x的函数 如果当xa 时yb，那么b叫做当自变量的值为a时的函数 值. 表示函数关系的式子叫做函数解析式 . 圆的面积S与半径r之间存在相应的关系： 2 Sr， 是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S 是因变量，S是r的函数， 当1r 时，函数值S ； 当3r 时，函数值

2、9S ， 这里等式 2 Sr为函数解析式 总结 示 例 剖 析 函数自变量的取值范围 ，初中阶段主要包括： 整式：一般为全体实数 根式：根指数为偶数时被开方数为非负数 分式: 分母不为零 实际问题：符合实际意义 函数 2 21yx、1yx、 2 x y x 自变量取值范围分别为：全体实数、1x、2x 【例1】 判断下列所指的量之间是否是函数关系，若是，请写出函数关系式，并指出其中的自 变量. 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 题型一：题型一：常量、变量、函数常量、变量、函数 三角形的面积 S 2 cm与长为 5cm的边上的高 hcm之间. 某人坐公交车从甲站去往乙站，已知全程中各站票价均为

3、0.4 元，票价 y 元与经过 的车站数 x 之间. 下图分别给出了变量y与x之间的对应关系，y是x的函数的图象是（ ） （人大附中期中） 【解析】 是， 5 2 h S ，自变量为高 h. 是，0.4yx，自变量为车站数 x. C，对于 x 的每个值，y 都有唯一确定的值与之对应，由 x 与 y 之间的一对一的关系 即可判断.本道例题旨在加强学生对函数定义的理解. 【例2】 判断下列式子中y是否是x的函数，若是，请指出自变量x的取值范围: 35yx ； 2 1 x y x ； 2 yx ； 3yx ； 2yx ； 2 1 x y x ； 2 3 x y x ； 3 yx. 【解析】 不是，其

4、余均是.其中： x为全体实数； 1x ； 全体实数 ； 1x ； 2x且3x ； 全体实数. 【例3】 三角形的周长是cmy，三边长分别为4cm，6cm，cmx，则以x为自变量表示y的 函数关系式为_，自变量x的取值范围是 . 矩形周长为 30， 则面积y与一条边长x之间的函数关系式为_， 其中x的 取值范围是_. 一个小球由静止开始从一个斜坡向下滚动， 其速度每秒增加 2 米， 则小球的速度v随 时间t变化的函数关系式为_；第2.5秒时小球的速度为_. 某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超 过12立方米，按每立方米2元收费；若超过12立方米，则超过部分每立

5、方米按4元 收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米） （12x ）之间的关系 式为 ，若该月交水费40元，则这个月的实际用水 立方米 【解析】 10yx，210 x； 2 15yxx，015x. 2vt，5 米/秒. DC BA x y Ox y Ox y OO y x 典题精练典题精练 424yx,16. 函数的图象： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 画函数图象的步骤 ：列表描点连线（平滑的曲线） 函数解析式与其图象的关系 ： 满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上

6、； 函数图像上点的坐标满足函数解析式 【例4】 在同一平面直角坐标系中描点画出函数21yx； 2 yx的图象， 并解决以下问题： 判断下列哪些点分别在函数的图象上：2.54A ，；1 3B，；24C ，； 2.5 4D，；2.25 1.5E，；1 1F，. 观察两个函数的图象，当0 x 时，函数和函数中，y是随着x的增大而增大， 还是随着x的增大而减小？当0 x 时呢？ 【解析】 列表略，图象如下，注意强调几点：自变量在定义域内取值；连线时按照横坐标由 小到大的顺序用平滑曲线连接；由定义域判断图象是否有端点. x y O 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 题型题型二二：函数的图象函数的图象

7、点 A、B、E 均不在两个图象上，点C在上，点D在上，点F在和上； 当0 x 时，函数中，y均随着x的增大而增大，当0 x 时，函数中y随x的 增大而增大，函数中y随x的增大而减小. 【例5】 某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图） ，并 设法使瓶里的水从瓶中匀速流出那么该倒置啤酒瓶内水面高 度 h 随水流出的时间 t 变化的图象大致是（ ） （海淀期末练习） 小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到 后细端详，父子高兴把家还”.如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴 x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）

8、 A B C D 水池有 2 个进水口，1 个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图 1 所示，出水口的出水量与时间关系如图 2 所示，某天 0 点到 6 点该水池的 y=2x-1 y=x2 x y O DCBA Ot h Ot h Ot h h tO y x O x y Ox y O Ox y 典题精练典题精练 蓄水量与时间关系如图 3 所示，下列论断： 0 点到 1 点，打开 2 个进水口，关闭出水口； 1 点到 3 点，同时关闭 2 个进水口和 1 个出水口； 3 点到 4 点，关闭 2 个进水口，打开出水口； 5 点到 6 点，同时打开 2 个进水口和 1 个出水口其中可能正确的论

9、断是 （ ） （人大附统练） A B C D 某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时 间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校.小明走路的速度 V（米/分钟）是时间 t（分 钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（ ） A B C D 【解析】 啤酒瓶内水面高度 h 随水流出的时间 t 变化的规律是先慢后快的两段，因 为是匀速，所以表现在图象上为直线，故选 A； C； 由图中可以看出，一个进水管的速度为 1；一个出水管的速度为 2从 0 点到 1 点，蓄水量由 5 增加到 6，如果打开 2 个进水管关闭出水口的话，就 要增加 2，所以不对，排除 A、B

10、3 点到 4 点，蓄水量由 6 变为 5，关闭 2 个进水口，打开出水口的话就应该减少 2不对故选 D A，此题易错在将函数V当做路程 【例6】 下面的图象反映的过程是： 李明从家跑去体育场， 在那里锻炼了一阵后又走到文具店去 买笔，然后散步回家，其中x表示时间，y表示李明离家的距离. O t（分钟） V（米/分） O t（分钟） V（米/分） O t（分钟） V（米/分）V（米/分） t（分钟） O 请根据以上图象信息回答下列问题： 体育场离家多远？李明从家到体育场用了多长时间？ 体育场离文具店有多远？ 李明在文具店停留了多久？ 李明从文具店回家的平均速度是多少？ 【解析】 2.5 千米，1

11、5 分钟； 1 千米； 20 分钟； 1.595 650.05（千米/分）. 【例7】 已知两邻边不相等的长方形的周长为 24cm，设相邻两边中，较短的一边长 为 ycm，较长的一边长为 xcm 求 y 关于 x 的函数解析式； 求自变量 x 的取值范围； 当较短边长为 4cm 时，求较长边的长 【解析】2（x+y）=24， y=12-x； 120 12 x yxx 6x12； 当 y=4 时，y=12-x=4，解得：x=8cm 【备注】此题难度不大，但是需要老师重点讲解自变量的取值范围，这是一个易错 点，在初学函数时如果不注重对自变量取值范围的强调，对后面学习一、 二次函数及反比例函数会有不

12、利影响，容易造成学生失分。 程度好的班级，教师可带领学生探讨下面的函数动态问题。 O 2.5 1.5 9565453015 y/千米 x/分 【探究对象】探讨函数动态问题 【探究目的】函数与几何结合的动态问题，是近年来中考题型中的“新宠”，这样的题以几何为背 景，赋运动、函数于一体，集开放、探索于一身，考察学生观察图形及举一反三运 用知识点的能力 【探究 1】 如图， AB 是半圆 O 的直径， 点 P 从点 O 出发， 沿OAABBO 的路径运动一周设 OP 为 s，运动时间为 t，则下列图形能大 致地刻画 s 与 t 之间关系的是（ C ） 分析：此题比较好理解，可以看出 OP 的长随 P

13、 点从 O 到 A 逐渐变大，而 P 点弧 AB 上运动时 OP 为半径保持不变，P 点从 B 到 O 过程中 OP 逐渐减少直至为 0重点是老 师可以引导学生关注临界点，过临界点后发生变化，为以后更复杂的题提供做题思路 【探究 2】边长为 1 和 2 的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右 匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t，大正方形内除去小正方形部分的面积为 s（阴 影部分） ，则 s 与 t 的大致图象为（ A ） 分析：此题与上题为同类型题目，有了上题的铺垫，老师可以发现部分学生已经学会运 用临界点（或临界状态）做题，此题正方形左右两条边作为临界边，小正方形完

14、全进入 大正方形内部时会运动一段时间，而这段时间阴影部分的面积是保持不变的，故选 A 【探究 3】 有一根直尺的短边长为 2cm， 长边长为 10cm， 还有一块锐角为 45 的直角三角形纸板， 它的斜边长为 12cm，如图(1)，将直尺的短边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边 AB 重 BO A P DCBA s Ot s Ot s Ott s O O s ttO s tO s tO s A BCD 合， 且点D与点A重合 将直尺沿AB方向平移， 如图(2)， 设平移的长为xcm(0 x 10)， 直尺与三角形纸板重叠部分(图中阴影部分)的面积为 Scm2 （1）当0 x 时，S= ；当10

15、 x 时，S= ； （2）当04x时，求 S 与 x 的函数关系式； （3）当410 x时，求 S 与 x 的函数关系式 【解析】 （1）当 x=0 时，阴影部分是等腰直角三角形，阴影部分的面积为 S=2cm2； 当 x=10 时，直尺运动到最右边，阴影部分的面积为 S=2cm2 当直尺继续移动时， 首先先引导学生， 重叠部分阴影部分面积还是不是一直保持为是一 个等腰直角三角形，通过画图发现，阴影部分的图形是在不断变化的，其形状变化为： 三角形梯形五边形梯形三角形，画出各图形如下： （2）当04x，如图 1，DG=AD=x，AE=EF= x+2，S=2x+2（cm2） （3）当410 x时，应

16、分两种情况分类讨论： 当46x时，如图 2，DG=AD=x，EF=BE=12x2=10 x， 2 1 01 4 A B CA D GB E F S =SSSx +x 当610 x时，如图 3，BD=DG=12x，EF=BE=10 x，S=222x 训练1. 已知函数5yx的图象上有两点：P ab，Q cd，求式子a cdb cd的值 【解析】 将PQ，两点的坐标代入解析式中，得 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) B C E (D)A D F G x A E C B 图3 图2图1 A G C F ED BA BDE FG C B C E A G F D 5ba，5dc 原式 552

17、5cdabccaa 训练2. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一 觉， 当它醒来时， 发现乌龟快到终点了， 于是急忙追赶， 但为时已晚， 乌龟先到了终点 用 1 S、 2 S分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间， 则下列图象中与故事相吻合的是 （ ） 【解析】 D. 训练3. 如图，点P按ABCM的顺序在边长为 1 的正方形边上运动，M是CD边上的中 点，设点P经过的路程x为自变量，APM的面积为y，则函数y的大致图像是（ ） 【解析】 D. 训练4. 如图反映的过程是：小华从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家. 观察图象回答一下问题： 小华家离

18、菜地多远？小华从家到菜地用了多长时间？ 小华给菜地浇水用了多长时间？ 菜地离玉米地多远？小华从菜地到玉米地用了多长时间？ 小华给玉米地锄草用了多长时间？ 玉米地离小华家多远？小华从玉米地回家的平均速度是多少？ OO BA t s S1 S2 S2 S1 s t O O D C t s t s S1 S2 S1 S2 P M DC B A D C BA x y O1 2 2.5 x y O1 2 2.5 x y O1 2 2.5 1 2 1 2 2.521O y x x/分 y/千米 15 25375580 1.1 2 O 【解析】 1.1km,15 分； 10 分； 0.9 千米，12 分；

19、18 分； 2 千米，0.08 千米/分. 知识模块一 常量、变量、函数 课后演练 【演练1】 在函数 1 3 y x 中，自变量x的取值范围是（ ） A3x B. 0 x C.3x D.3x 在函数37yxx中，自变量x的取值范围是_. 下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ） A B C D 【解析】 A 37x C.y应有唯一值与x对应. 【演练2】 等腰三角形顶角y与底角x之间的函数关系式是 ， 自变量x的取值 范围是 . 汽车油箱中原有油 100 升，汽车每行驶 50 千米耗油 10 升，油箱剩余油量y（升） 与汽车行驶路程x（千米）之间的关系为_，自变量x的取值范围是 _，当

20、函数值50y 时，自变量_x. 在同一平面内，1 条直线可以把平面分成 2 个部分，2 条直线最多可以把平面分成 4 个部分，则 3 条直线最多可以把平面分成 个部分 若n条直线最多可 以把平面分成P个部分，则P与n之间的关系式为_. 【解析】 1802yx，090 x. 1 100 5 yx，0500 x ，250. 7； 1 1 2 n n P ，本题旨在提示学生，很多规律性结果都是其中项数的函数. 知识模块二 函数的图象 课后演练 复习巩固复习巩固 【演练3】 一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地已知轮船在静水中的速度为 15 km/h， 水流速度为 5 km/h轮船先从甲地顺水航行到乙

21、地，在乙地停留一段时间后，又 从乙地逆水航行返回到甲地设轮船从甲地出发后所用时间为 t（h） ，航行的路程 为 s（km） ，则 s 与 t 的函数图象大致是（ ） 甲、乙两人准备在一段长为 1200m 的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分 别为 4m/s 和 6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面 100m 处，若同时起跑，则两 人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y(m)与时间t (s)的函数图象是（ ） 【解析】 C； C. 【演练4】 一辆汽车和一辆摩托车分别从 A,B 两地去同一城市,它们离 A 地的路程随时间变化的 图象如图所示.则下列结论错误 的是( )

22、A.摩托车比汽车晚到 1 h B. A,B 两地的路程为 20 km C.摩托车的速度为 45 km/h D.汽车的速度为 60 km/h 【解析】 C. t/st/st/s DC BA 5050 275 100 200275200 100O y/m 100 300 O y/m 100 300 O y/m 100 300300 100 y/m t/s O 摩托车 汽车 180 20 43 0 y(km) x(h) t s O A t s O B t s O C t s O D 【演练5】 如图所示，该曲线是某一函数的完整图象，请根据图象求： 自变量x的取值范围是_ 函数y的对应值范围是_ 当0

23、 x 时，函数y的值是_ 当2y 时，x的值是_ 当x _时，y的值最大当x _时，y的值最小 当x的值_时，y随x的增大而增大. （人大附中测试题） 【解析】 45x ； 25y ； 2 ； 2； 1.5，2； 21.5x . 测试1. 购买一些铅笔，单价为 0.2 元/支，总价 y 元随铅笔支数 x 变化，指出其中的常量、变量与 自变量，写出函数解析式并画出图象. （清华附期中试题） 【解析】 变量为xy，自变量为 x，常量为 0.2，函数解析式为0.2yx.图象略. 测试2. 正方形边长为 3，若边长增加 x，则面积增加 y，求 y 随 x 变化的函数解析式，并求当 1 234x ， ，

24、 ，时函数的值. 【解析】 2 39yx化简得 2 6yxx 当1 234x ， ， ，时函数值分别为：7 162740， ，. 说明：因有学生尚未学习乘法公式，解析式不化简也可以. 测试3. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内， 现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示） ，则小水杯内水面的 高度cmh与注水时间mint的函数图象大致为（ ） 3 2 O y x 5 2 -22-4 -2 5 1 课后测课后测 A. B. C. D. 【解析】 B. h(cm) O t(min) h(cm) O t(min) h(cm) O t(min) h(cm) Ot(min)