初二数学秋季讲义 第2讲 倍长中线与截长补短（教师版）

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1、第2讲 倍长中线与截长补短题型一：倍长中线思路导航定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角其中，延长使得，则例题精讲【例1】 已知中，平分，且，求证：【解析】 延长到，使，连接则，平分，【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；已知中线+高证等腰三角形，如拓展2【拓展1】已知ABC中，AD平分BAC，且ADBC，求证：AB=AC 【解析】AD平分BAC，BAD=CADADBC，ADB=ADC=90AB

2、D ACD (SAS)AB=AC【拓展2】已知ABC中，ADBC，且，求证：AB=AC【解析】ADBC，且AD所在直线是线段BC的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故AB=AC典题精练【例2】 如图，已知中，是边上的中线，延长到，使给出下列结论：AD=2AC；CD=2CE；ACE=BCD；CB平分DCE，则以上结论正确的是 【解析】 正确，AD=2AC、正确延长到，使，连接是的中线，在和中，在和中，FCB=DCB即CD=2CE，CB平分DCE错误FCB=DCB，而CE是AB边上中线而不是ACB的角平分线故ACE和BCD不一定相等如图，在ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出

3、下列结论：BD=DE=EC；AB+AE2AD；AD+AC2AE；AB+ACAD+AE，则以上结论正确的是 【解析】 点D、E为边BC的三等分点，BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明ABDMED，进而可得AB+AE2AD，再证明ADENCE，进而可得AD+AC2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC2AD+2AE，即AB+ACAD+AE均正确【例3】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：【解析】 延长到，使，连接，又，【例4】 在正方形ABCD中，PQBD于P，M为QD的中点，试探究MP与MC的关系【解析】 延

4、长PM至点N，使PM=MN，连结CP、CN、DN易证PMQNMD，PB=PQ=DN，PQD=NDMPQDN，又BPQ=BDN= 90PBQ=BDC=NDC=45再证BPC DNC (SAS)易证PCN为等腰直角三角形，又PM=MN，PMMC,且PM=CM题型二：截长补短思路导航定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段上截取补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长，使得例题精讲【例5】 在中，的平分线交于，求的大小（希望杯培训题） 【解析】 在上截取，连接，典题精练【例6】 如图，在中，的平分线交于点求证： 【解析】方法一：（截长）在上截取，连接在和中，又

5、， 方法二：（补短）延长到点使得，连接在和中，又，方法三：（补短）延长到点使得，连接则有，又， ， AB+BD=AC 若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”. 建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在中，求证：【解析】 方法一：在上取一点，使，如图1，在和中，又， 方法二：延长到点，使，如图2，在和中，【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法：延长

6、短边。通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。【变式一】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45，求证：EF=DE+BF【解析】 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90，AD=AB又DG=BFADG ABF（SAS）GAD=FAB，AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAF+FAB=DAF+GAD=GAFGAE=GAFEAF=9045=45GAE=FAE=45又AG=AF，AE=AEEAG EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE【变式二】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上

7、，EAF=45，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？【解析】 数量关系为：EF=BFDE理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90，AD=AB又DE=BGADE ABG（SAS）EAD=GAB，AE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAEGAF=GAEEAF=9045=45GAF=EAF=45又AG=AE，AF=AFEAF GAF（SAS）EF=GF=BFBG=BFDE【变式三】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系

8、？【解析】 数量关系为：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90，AD=AB又DG=BFADG ABF（SAS）GAD=FAB，AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=BAF+GAB=GAFGAE=GAFEAF=9045=45GAE=FAE=45又AG=AF，AE=AEEAG EAF（SAS）EF=EG=EDGD=DEBF【变式四】正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60，DB=DC，BDC=120，请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？【解析】 数量关系为：EF=BE+FC，理

9、由如下延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG由ABC是正三角形得：ABC=ACB=60又DB=DC，BDC=120，DBC=DCB=30DBE=ABC+DBC=60+30=90，ACD=ACB+DCB=60+30=90GCD=180ACD=90DBE=DCG=90又DB=DC，BE=CG，DBE DCG（SAS）EDB=GDC， DE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDGGDF=EDGEDF=12060=60GDF=EDF=60又DG=DE，DF=DFGDF EDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC【变式五】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EA

10、D=15，FAB=30，AD=，求AEF的面积【解析】 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG，过E作EHAG前面如变式一所证，ADG ABF，EAG EAFGAD=FAB=30，SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30，AD=AGD=60，AG=2设EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=60，HAE=45HG=，AH=xAG=2=HG+AH=，EH=x=3SEAG=SEAF =EHAG=【例8】 已知：正方形中，MAN=45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N 如图1，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN当MAN绕点A旋转到时

11、，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明 （2012密云一模）【解析】 图1中的结论仍然成立，即 证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE 易证 （SAS） AE=AN；EAB=NAD又AM为公共边， ME=MN即 猜想：线段BM、DN和MN之间的等量关系为： 证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E 易证 （SAS） AM=AE；MAB=EAD易证 （SAS） ， 思维拓展训练(选讲)训练1. 已知为的中线，、的平分线分别

12、交于、交于求证： 【解析】 延长到，使，连接、易证，又、的平分线分别交于、交于，利用证明，在中，训练2. 如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分，求证：【解析】 解一：（截长)作于点分别证明，解二：（补短）延长交于点先证明， 训练3. 如图，中，平分交于点求证：【解析】 方法一：在上截取点使，连结 平分，在与中， ， 又，方法二：如图，延长到，使，连结，且，又训练4. 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE【解析】 延长DE至F，使得EF=BC，连接AC、AF.ABC+AED=180，AEF+AED=180 ABC=AEFAB=

13、AE，BC=EF，ABCAEF EF=BC，AC=AFBC+DE=CD，CD=DE+EF=DFADCADF，ADC=ADF即AD平分CDE.复习巩固题型一 倍长中线 课后演练【演练1】 在中，则边上的中线的长的取值范围是什么？【解析】中线倍长，【演练2】 在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足若，则线段的长度为_ 【解析】如图，延长至点，使得，联结、由，有，,又，题型二 截长补短 课后演练【演练3】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?(提示：过点作交于点)【解析】 猜测.过点作交于点，又，而，【演练4】 如图所示，已知中，

14、平分，求证：【解析】 解法一：如图，过作于，又，为等腰直角三角形有，故解法二：如图，延长到，使，又，公共，有故【演练5】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.【解析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF AFD=AMB，DAF=BAMAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.课后测测试1. 如图所示，已知中，平分，、分别在、上，求证：【解析】 延长到，使，连结，利用证明，又，平分，测试2. 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 【解析】 ，理由是：在上截取，连结，利用证得，利用证得，