冲刺2022年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练(宁波中考压轴8道变式32道)解析版
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1、浙江省宁波市卷(压轴8道+变式训练32道)说明:本专辑精选了2021年浙江省宁波市卷失分较多和难度较大的题目8道,分别是第10题平行四边形的计算问题、第15题反比例函数的图象与性质、第16题四边形与相似、三角函数相结合问题、第19题二次函数的性质综合问题、第21题锐角三角函数的应用、第22题方程与函数的应用问题、第23题几何综合探究问题、第24题圆的综合压轴问题,每道题精讲精析,配有变式练习各4道,浙江省宁波市变式训练题共32道,试题解析共75页.【压轴一】平行四边形的计算问题【真题再现】(2021浙江宁波市中考第10题)如图是一个由5张纸片拼成的,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直
2、角三角形纸片的面积都为,另两张直角三角形纸片的面积都为,中间一张矩形纸片的面积为,与相交于点O当的面积相等时,下列结论一定成立的是( )ABCD【思路点拨】根据AED和BCG是等腰直角三角形,四边形ABCD是平行四边形,四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a, HE=GF,GH=EF,点O是矩形HEFG的中心,设AE=DE=BG=CG=a, HE=GF= b ,GH=EF= c,过点O作OPEF于点P,OQGF于点Q,可得出OP,OQ分别是FHE和EGF的中位线,从而可表示OP,OQ的长,再分别计算出,进行判断即可【详析详解】解:由题意得,AED和BCG是等腰直角三角形, 四边形
3、ABCD是平行四边形,AD=BC,CD=AB,ADC=ABC,BAD=DCBHDC=FBA,DCH=BAF,AEDCGB,CDHABFAE=DE=BG=CG四边形HEFG是矩形GH=EF,HE=GF设AE=DE=BG=CG=a, HE=GF= b ,GH=EF= c过点O作OPEF于点P,OQGF于点Q,OP/HE,OQ/EF点O是矩形HEFG的对角线交点,即HF和EG的中点,OP,OQ分别是FHE和EGF的中位线, ,即 而, 所以,故选项A符合题意, ,故选项B不符合题意,而于都不一定成立,故都不符合题意,故选:A【方法小结】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识,解题的关键是求
4、出S1,S2,S3之间的关系【变式训练】【变式1.1】(2021春镇海区期中)如图,在平行四边形ABCD中,ABBC,点F是BC上一点,AE平分FAD,且点E是CD的中点,有如下结论:AEEF,AFCF+CD,AFCF+AD,ABBF,其中正确的是()ABCD【分析】首先延长AD,交FE的延长线于点M,易证得DEMCEF,即可得EMEF,又由AE平分FAD,即可判定AEM是等腰三角形,由三线合一的知识,可得AEEF【详解】解:延长AD,交FE的延长线于点M,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,MEFC,E是CD的中点,DECE,在DEM和CEF中,M=EFCDEM=CEFDE=CE,DEMC
5、EF(AAS),EMEF,过点E作ETAM于T,ERAF于RAE平分FAD,ETER,在RtETM和RtERF中,EM=EFET=ER,RtETMRtERF(HL),MAFM,AMAF,EFEM,AEEF,故正确,由AFAD+DMCF+AD,故正确,错误AF不一定是BAD的角平分线,AB不一定等于BF,故错误故选:A【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用【变式1.2】(2021春鄞州区期中)如图,在ABCD中,过点A分别作AEBC于点E,AFCD于点F,分别作点C关于AB,AD的对称点G
6、,H,连接CG,CH,AG,AH,GH如果AB30,EAF30,ABCD的面积为2703,那么下列说法不正确的是()ACE=3CFBGAH60CGHAF+CFDGCH的面积是ABCD的面积的一半【分析】由平行四边形的面积公式可求AF93,由直角三角形的性质可求CE,CF的长,可判断A选项;由轴对称的性质和周角的性质可求GAH60,可判断B选项;可证AGH是等边三角形,由三角形的三边关系可得AF+CFGH,可判断C选项;计算出GHC的面积可判断选项D,即可求解【详解】解:AEBC,AFCD,BAE90B,DAF90D,ABCD的面积为2703,ABAF30AF2703,AF93,四边形ABCD是
7、平行四边形,BD,ADBC,B+BAD180,B+90B+90D+30180,BD30,AE=12AB15,BE=3AE153,AD2AF183,DF=3AF27,ECBCBE33,CFDCDF30273,CE=3CF,故选项A不符合题意;如图,连接AC,点C关于AB,AD的对称点分别是点G,H,ACAGAH,BACBAG,DACDAH,GAH360BACGABDACDAH3602BAD60,故选项B不符合题意,GAH60,AGAHAC,AGH是等边三角形,GHAC,在AFC中,AF+CFAC,AF+CFGH,故选项C符合题意,AE15,CE33,AC=AE2+EC2=225+27=67,GH
8、C的面积=34(67)2+933+33151353=12SABCD,故选项D不符合题意,故选:C【点睛】本题是四边形综合题,考查了平行四边形的性质,轴对称的性质,等边三角形的判定和性质,三角形的三边关系等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键【变式1.3】(2021宁波模拟)如图,四边形ABCD和DEFG均为正方形,点E在对角线AC上,点F在边BC上,连接CG和EG若知道正方形ABCD和DEFG的面积,则一定能求出()A四边形ABFE的周长B四边形ECGD的周长C四边形AEGD的周长D四边形ACGD的周长【分析】利用正方形的性质,证明ADECDG,得到AECG,表示出四边形ECGD的周长为
9、AC+2DE,进而求解【详解】解:四边形ABCD和DEFG均为正方形,ADDC,DEDG,ADCEDG90,ADCEDCEDGEDC,即ADECDG,ADECDG(ASA),AECG,四边形ECGD的周长EC+CG+GD+DEEC+AE+GD+DEAC+2DE,因为知道正方形ABCD和DEFG的面积,所以它们的边长和对角线均可确定,即AC与DE确定,一定能求出四边形ECGD的周长,故选:B【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质,关键是把要求四边形的边长转化为已知正方形的边【变式1.4】(2021海曙区模拟)如图,在矩形ABCD中,点F为边AD上一点,过F作EFAB交边BC于点E
10、,P为边AB上一点,PHDE交线段DE于H,交线段EF于Q,连接DQ当AFAB时,要求阴影部分的面积,只需知道下列某条线段的长,该线段是()AEFBDECPHDPE【分析】过点P作PMEF于点M,由“ASA”可证PMQDCE,可得PQDE,由面积关系可求解【详解】解:过点P作PMEF于点M,如图:四边形ABCD为矩形,ABDC,ADBC,C90,EFAB,EFDC,EDCDEF,PHDE,PMEF,PMQEHQ90,又PQMEQH,QPMDEFEDC,在PMQ和DCE中,MPQ=EDCPM=CDPMQ=C,PMQDCE(ASA),PQDE,阴影部分的面积SPDESQED=12DEPH-12DE
11、QH=12DE2,故选:B【点睛】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键【压轴二】反比例函数的图象与性质【真题再现】(2021浙江宁波市中考第15题)在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点,我们把点称为点A的“倒数点”如图,矩形的顶点C为,顶点E在y轴上,函数的图象与交于点A若点B是点A的“倒数点”,且点B在矩形的一边上,则的面积为_【思路点拨】根据题意,点B不可能在坐标轴上,可对点B进行讨论分析:当点B在边DE上时;当点B在边CD上时;分别求出点B的坐标,然后求出的面积即可【详析详解】解:根据题意,点称为点的“倒数点”,点B不可能在坐标
12、轴上;点A在函数的图像上,设点A为,则点B为,点C为,当点B在边DE上时;点A与点B都在边DE上,点A与点B的纵坐标相同,即,解得:,经检验,是原分式方程的解;点B为,的面积为:;当点B在边CD上时;点B与点C的横坐标相同,解得:,经检验,是原分式方程的解;点B为,的面积为:;故答案为:或【方法小结】本题考查了反比例函数的图像和性质,矩形的性质,解分式方程,坐标与图形等知识,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质,运用分类讨论的思想进行分析【变式训练】【变式2.1】(2021北仑区二模)如图,A,B,D三点在反比例函数y=63x的图象上,AD与y轴交于点C,连接BC并延长交反比例函数y=kx的图
13、象于点E,连接DE若ABC,CDE均为正三角形,且BCx轴,则k的值为()A93B93C123D123【分析】过A作AFBC于F,过点D作DGEC于点G,ABC,CDE均为正三角形,则CFFB,EGGC;BCx轴,设CFm,则CB2m,AF=3m,可得A点坐标为(m,63m),B点坐标为(2m,33m),则有63m-33m=3m,m可得,点A,B,C坐标可知;求出直线AC的解析式与反比例函数y=63x联立可得点D的坐标,由DGEC,D,G的横坐标相同,G,C纵坐标相同,于是点E坐标可得,用待定系数法,k值可求【详解】解:过A作AFBC于F,过点D作DGEC于点G,如图,ABC,CDE均为正三角
14、形,CFFB,EGGCBCx轴,设CFm,则CB2m,AF=3mA点坐标为(m,63m),B点坐标为(2m,33m)则有63m-33m=3mm0,m=3A(3,6),B(23,3)OC3,AF3C(0,3)设直线AC的解析式为:ynx+b,b=33n+b=6解得:n=3b=3y=3x+3y=3x+3y=63x解得:x=-23y=-3或x=3y=6D(23,3)DGEC,BCx轴,CG23EC43E(-43,3)k433123故选:D【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征,待定系数法,等边三角形的性质,解直角三角形利用点的坐标表示出相应线段的长度和由线段的长度得到相应点的坐标是解题
15、的关键【变式2.2】(2021宁波模拟)如图,在平面直角坐标系中有菱形OABC,点A的坐标为(5,0),对角线OB、AC相交于点D,双曲线y=kx(x0)经过AB的中点F,交BC于点E,且OBAC40,下列四个结论:双曲线的解析式为y=7x(x0);E点的坐标是(74,4);sinCAO=55;AC+OB65其中正确的结论有()A1个B2个C3个D4个【分析】过F作FGx轴于点G,过B作BMx轴于点M,根据菱形的性质和反比例函数图象上点的特征以及勾股定理逐一分析即可【详解】解:如图,过F作FGx轴于点G,过B作BMx轴于点M,A(5,0),OA5,S菱形OABCOABM=12ACOB=1240
16、20,即5BM20,BM4,在RtABM中,AB5,BM4,由勾股定理可得AM3,F为AB中点,FG是ABM的中位线,FGBM2,MG=12AM=32F( 72,2)双曲线过点F,kxy=7227,双曲线解析式为y=7x(x0),故正确;由知,BM4,故设E(x,4)将其代入双曲线y=7x(x0),得4=7x,x=74E( 74,4)易得直线OE解析式为:y=167x,故正确;过C作CHx轴于点H,可知四边形CHMB为矩形,HMBC5,AM3,OM532,OH5OM3,AH5+38且CHBM4,tanCAO=CHAH=48=12,故正确;在直角OBM中,OM2,BM4,由勾股定理得到:OB=O
17、M2+BM2=22+42=25OBAC40,AC=4025=45,AC+OB6 5,故正确综上所述,正确的结论有4个,故选:D【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征,熟练掌握运用菱形的性质和勾股定理是解题的关键【变式2.3】(2021北仑区一模)如图1,矩形的一条边长为x,周长的一半为y定义(x,y)为这个矩形的坐标如图2,在平面直角坐标系中,直线x1,y3将第一象限划分成4个区域已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域中则下面叙述中正确的是()A点A的横坐标有可能大于3B矩形1是正方形时,点A位于区域C当点A沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小D当点
18、A位于区域时,矩形1可能和矩形2全等【分析】A、根据反比例函数k一定,并根据图形得:当x1时,y3,得kxy3,因为y是矩形周长的一半,即yx,可判断点A的横坐标不可能大于3;B、根据正方形边长相等得:y2x,得点A是直线y2x与双曲线的交点,画图,如图2,交点A在区域,可作判断;C、先表示矩形面积Sx(yx)xyx2kx2,当点A沿双曲线向上移动时,x的值会越来越小,矩形1的面积会越来越大,可作判断;D、当点A位于区域,得x1,另一边为:yx2,矩形2的坐标的对应点落在区域中得:x1,y3,即另一边yx0,可作判断【详解】解:设点A(x,y),A、设反比例函数解析式为:y=kx(k0),由图
19、形可知:当x1时,y3,kxy3,yx,x3,即点A的横坐标不可能大于3,故选项A不正确;B、当矩形1为正方形时,边长为x,y2x,则点A是直线y2x与双曲线的交点,如图2,交点A在区域,故选项B不正确;C、当一边为x,则另一边为yx,Sx(yx)xyx2kx2,当点A沿双曲线向上移动时,x的值会越来越小,矩形1的面积会越来越大,故选项C不正确;D、当点A位于区域时,点A(x,y),x1,y3,即另一边为:yx2,矩形2落在区域中,x1,y3,即另一边yx0,当点A位于区域时,矩形1可能和矩形2全等;故选项正确;故选:D【点睛】本题考查了函数图象和新定义,有难度,理由x和y的意义是关键,并注意
20、数形结合的思想解决问题【变式2.4】(2021济南一模)已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=-1x的图象上,且a0b,则下列结论中,一定正确的是()Am+n0Bm+n0CmnDmn【分析】由点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=-1x的图象上,且a0b,可知点P在第二象限,点Q在第四象限,此时m0n得出答案【详解】解:点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=-1x的图象上,且a0b,点P在第二象限,点Q在第四象限,mn;故选:D【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质,在各自的象限内,函数值是如何随自变量的变化而变化的性质,根据自变量的取值范围和k的值,判断点所在的象
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