高三文科数学暑期讲义 第2讲 常用函数的图象与性质（教师版）

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1、 13 1指数与指数函数 幂的运算性质（0a b ，rsR，） ： rsr s aaa ； s rr s aa ； r rr a bab 指数函数： 定义：函数(0 x ya a，且1)a 称指数函数; 指数函数的性质： 定义域：R；值域：(0)，；过定点：(01)，；1a 时，增函数；01a时，减函数 2对数与对数函数 对数的概念 定义：如果 b aN(0a ，且1)a ，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb，其中a称 对数的底，N称真数 1）常用对数， 10 logN记作lgN；2）自然对数： e log N记作ln N，e2.71828； 基本性质： 1）真数N为正数（负数和零无

2、对数） ；2）log 10 a ；3）log1 aa ；4）对数恒等式： logaN aN 运算性质：如果0100aaMN，则 1）log ()loglog aaa MNMN；2）logloglog aaa M MN N ；3）loglog() n aa MnM nR 换底公式： log log(01) log m a m N Nmm a ， 对数函数： 定义：函数log(0 a yx a，且1)a 称对数函数， 对数函数的性质： 知识结构图 知识梳理 第 2 讲 常用函数的图象 与性质 14 定义域：(0)，；值域：R；过定点：(1 0)，；1a 时，增函数；01a时，减函数 对数函数log

3、ayx与指数函数(0 x ya a，且1)a 互为反函数 3幂函数：形如yx（R）的函数我们需要掌握 1 1231 2 ， ， ， ，时的幂函数图象； 幂函数的性质：所有的幂函数在(0)，都有定义，且都过点(1 1)，； 如果0，则幂函数过原点，且在0)，上单调递增； 如果0，则幂函数在(0)，上单调递减 一次、二次、对勾、分式、幂、指数、对数函数是高中常见的一些函数（三角函数单独复 习） 这一讲主要复习这些函数的性质与图象，另外涉及到幂与对数的运算性质 讲函数必然会涉及到函数的性质，讲函数的性质也离不开具体函数考虑到学生对函数知 识的遗忘，我们先复习常用函数从下一讲来具体复习函数的性质本讲可

4、以先不涉及函 数的性质的具体判断方法 尖子班学案尖子班学案 1 【铺1】 计算 3948 log 2log 2log 3log 3的值 【解析】 5 4 考点考点：指数运算与对数运算：指数运算与对数运算 【例1】 （2008 重庆文 14）若0 x ，则 131311 424222 23234xxxxx - +- 计算 2 3 lg5 lg8000lg2 11 lg600lg0.036lg0.1 22 的值 （2010 辽宁文 10）设25 ab m，且 11 2 ab ，则m （ ） A10 B10 C20 D100 【解析】 23 3 4 A 目标目标班学案班学案 1 【拓2】 （2008

5、 山东文 15） 已知 2 (3 )4 log 3233 x fx，则 8 2482ffff的值等于 【解析】 2008； 经典精讲 15 【备选】 （2007 湖南文 13）若0a ， 2 3 4 9 a ，则 2 3 log a 【解析】 3 尖子班学案尖子班学案 2 【铺1】 （2008 辽宁文 4） 已知01a，log2log3 aa x ， 1 log 5 2 a y ，log21log3 aa z ，则（ ） Axyz Bzyx Cyxz Dzxy 【解析】 C 目标目标班学案班学案 2 【铺2】 下列四个数中最大的是（ ） A 2 ln2 Bln ln2 Cln2 Dln2 【解

6、析】 D 考点考点：指、对、幂函数的性质：指、对、幂函数的性质 【例2】 若 2 |228 x Ax Z， 2 | log1BxxR，则AB R 的元素个数为（ ） A0 B1 C2 D3 （2010 成都一中） 当0,x时，幂函数 253 1 m ymmx 为减函数，则实数m的值为（ ） A2m B1m C1m 或2m D 15 2 m 若 2 2 1 log0 1 a a a ，则a的取值范围是（ ） A 1 , 2 B(1,) C 1 , 1 2 D 1 0, 2 【解析】 C A C 【点评】对于对数式logab，当,a b同在区间0,1或1, 内时，有log0 ab ；当,a b分别

7、在区间 0,1和1, 内时，有log 0 ab 考点考点：指、对、幂函数性质的应用：指、对、幂函数性质的应用 【例3】 若 1 0 2 ab，则（ ） A22 aba B22 abb C 2 log1ab D 2 log2ab （2009 辽宁文 11）下列 4 个命题 16 1 11 :0 23 xx px ， 2: 0 1px ， ， 11 23 loglogxx 31 2 1 :0log 2 x pxx ， 41 3 11 :0log 32 x pxx ， 其中的真命题是（ ） A 13 pp， B 14 pp， C 23 pp， D 24 pp， （2010 东城高三普通校联考 6）

8、若 1 , 1 2 x ， 1 22 a x ， 1 2 logbx， 2 logcx，则（ ） Aabc Bcab Cacb Dbca 【解析】 D D C 【备选】 （2007 天津理）设,a b c均为正数，且 1 2 2log a a， 1 2 1 log 2 b b ， 2 1 log 2 c c 则（ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 【解析】 A 考点：考点：一次函数与二次函数一次函数与二次函数 【例4】 函数 2 2f xaxa在区间01，上恒为正，则实数a的取值范围是_ （2008 上海文）若函数 2f xxabxa（常数abR，）是偶函数，且其值域为 , 4，则该

9、函数的解析式 f x 二次函数 2 ( )1f xxax在区间03，上有最小值2，则实数a _ 【解析】 1a ； 2 24x； 2； 目标目标班学案班学案 3 【拓2】 已知函数 2 ( )25f xxax在区间(2，上是减函数，且对任意的 12 11xxa，总有 12 ( )()4f xf x，则实数a的取值范围是_ 【解析】 23a； 【备选】 已知二次函数( )f x满足(1)(1)fxfx，且(0)0(1)1ff，若( )f x在区间mn， (mn)上的值域是mn，则m _，n _ 【解析】 0；1 【备选】 （2010 天津文 10） 17 设函数 2 ( )2()g xxxR，

10、( )4 ,( ) ( ) ( ),( ) g xxxg x f x g xxxg x ，则( )f x的值域是（ ） A 9 , 0(1 ,) 4 B0 , C 9 , 4 D 9 , 0(2 ,) 4 【解析】 D； 对勾函数：对勾函数： 形如( )(0) b f xaxab x 的函数称为对勾函数，它是奇函数； 我们只考虑00ab，与00ab，的情况， 其它情况很容易对应得到 00ab，时， 函数在区间, b a 与区间, b a 上单调递增， 在区间, 0 b a 与区间0, b a 上单调递减 y轴与yax分别是函数的渐近线， 右图是 1 yx x 的草图； 00ab，时， 函数在0

11、，与0，上单调递增， （两个增函数的和还是增函数） ， y轴与yax分别是函数的渐近线， 右图是 1 yx x 的草图 分式函数：分式函数： 形如 ( ) ( ) ( ) p x f x q x 的函数叫做分式函数，其中( )p x、( )q x是既约整式且( )q x的次数不低于 一次 一次分式函数一次分式函数 ( )p x、( )q x的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数， 即形如( ),0 axb f xc cxd ， bcad的函数 对于一次分式函数，通过分离常数法可将之化为 2 ( ) bcad a c f x d c x c ，可以看成是反比例 函数平移后得到的函数从而可以得

12、到它的性质与图象相关的知识如下面的备选 二次分式函数二次分式函数 ( )p x、( )q x至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如 2 2 ( ) axbxc f x dxexf ，,a d不全为零 二次分式函数的值域问题有 3 类： 二次 一次 、 二次 二次 、 一次 二次 ； -2 -1 2 1O y x -1 1O y x 18 以第一类为基础，上一讲求值域时我们已经看到，一般方法是利用换元法将分母化简单， 然后转化为对勾函数的值域问题； 第二类函数一般是通过分离常数法转化为第一类；特殊形式有更简单的解法，见例题 第三类是通过将分子除下来化成第一类问题，然后利用反比例

13、函数的性质求出值域 尖子尖子班学案班学案 3 【铺1】 当3, 5x时，函数 21 1 x y x 的值域为 【解析】 53 , 42 考点考点：对勾函数与分式函数：对勾函数与分式函数 【例5】 若函数( )yf x的值域是 1 3 2 ，则函数 1 ( )( ) ( ) F xf x f x 的值域是（ ） A 1 3 2 ， B 10 2 3 ， C 510 23 ， D 10 3 3 ， 已知 5 2 x，则 2 24 ( ) 45 x f x xx 有（ ） A最小值 4 5 B最大值 4 5 C最小值1 D最大值1 函数 2 2 4 ( ),1, 3 41 xx f xx xx 的值

14、域是_ 【解析】 B D 43 , 32 ； 【备选】 函数 1 ( ) 2 ax f x x 在区间( 2)，上单调递增，则a的取值范围是_ 【解析】 1 2 ，； 考点考点：二次函数与函数综合二次函数与函数综合 【例6】 已知函数 2 21f xaxx 试讨论函数 f x的单调性； 若 1 1 3 a， 且 f x在1, 3上 的 最 大 值 为 M a， 最 小 值 为 N a， 令 gaMaNa，求 g a的表达式； 在的条件下，求证： 1 2 g a 【解析】 当0a 时， 21f xx在R上单调递减； 当0a 时，函数在 1 , a 为减函数，在 1 , a 上单调递增； 19 当

15、0a 时，函数在 1 , a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减 11 1 2, 3 2 11 96, 1 2 aa a g a aa a 当 11 32 a时， 1 2g aa a ，由对勾函数的性质，可知此时 g a单调递减， 从而 11 22 g ag ； 当 1 1 2 x时， 1 96g aa a ，由对勾函数的性质，可知此时 g a单调递增， 从而 11 22 g ag ， 综上所述， 1 2 g a 【备选】 已知函数 2 ( )(0)f xxbxc b cbR， 当( )f x的定义域为0 1，时，值域也是0 1，求b c，的值 当2b 时，函数 ( ) ( ) f x g

16、 x x 对于任意的3)x，( )0g x 恒成立，试求实数c的取 值范围 【解析】 2,1bc ； 3c （2009 宣武二模文 3）“lglgxy”是“xy”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 A 注意对数函数的定义域为(0,)；而幂函数yx的定义域为0,) （2011 北京文 3）如果 11 22 loglog0 xy，那么( ) A1yx B1xy C1xy D1yx 【解析】 D （2008 北京文 2）若 3 log a ， 7 log 6b ， 2 log 0.8c ，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dbca 【解

17、析】 A 真题再现 20 【演练 1】 （2011 安徽文 5）若点,a b在lgyx图象上，1a ，则下列点也在此图象上的是（ ） A 1 , b a B10 ,1ab C 10 ,1b a D 2 , 2ab 【解析】 D 【演练 2】 （2010 马鞍山）设 1 2 3 2e,2 log1 ,2 x x f x xx ，则不等式 2f x 的解集为（ ） A 1, 210 , B 10 , C 1, 23, D1, 2 【解析】 A 【演练 3】 （2009 辽宁文 6）已知函数( )f x满足：4x，则 1 ( ) 2 x f x ；当4x 时( )(1)f xf x， 则 2 (2l

18、og 3)f（ ） A 1 24 B 1 12 C 1 8 D 3 8 【解析】 A 【演练 4】 （2009 天津文 5）设 1 3 log 2a ， 1 2 1 log 3 b ， 0.3 1 2 c ，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dbac 【解析】 B 【演练 5】求函数 2 1 ( ),(0, 3) 23 x f xx xx 的值域 【解析】 ( )f x的值域是 22 , 94 【演练 6】已知函数 2 ( )f xxbxc满足(2)(2)fxfx，则有( ) (2)(1)(4)fff (1)(2)(4)fff (4)(2)(1)fff (2)(4)(1)fff 【解析】 ； （2009 年复旦大学自主招生测试） 实战演练 大千世界 21 若1xy，01ab，则下列各式中一定成立的是_ A ab xy B ab xy C xy ab D xy ab 【解析】 D 由指数函数与幂函数的单调性知 xyy aab