高三文科数学暑期讲义 第8讲 三角函数(教师版)
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1、 64 一、弧度制与任意角的三角函数一、弧度制与任意角的三角函数 1角的概念:一条射线绕着端点旋转所成的图形按其旋转方向分为:正角,零角,负角 2任一已知角的弧度数的绝对值 l r ;180 rad, 180 1rad57.30 ; 3三角函数定义:在平面直角坐标系中,()P xy,为终边上原点外的任意一点, 22 rxy, 的正弦:sin y r ;余弦:cos x r ;正切:tan y x ; 4同角三角函数的基本关系式: 22 sincos1xx, sin tan cos x x x 5诱导公式: 角 2 k()kZ与的三角函数值的关系:奇变偶不变,符号看象限 (k的奇偶,函数名互变)
2、 二、三角函数的图象与性质二、三角函数的图象与性质 1正弦函数sinyx xR, 图象:正弦曲线(如右) ; 定义域:R;值域: 1 1 ,;周期:2; 奇偶性:奇函数; 单调增区间: 2 ,2 () 22 kkk Z;单调减区间: 3 2 ,2 () 22 kkk Z 2余弦函数cosyx xR,的图象由正弦曲线向左平移 2 个单位; 知识结构图 知识梳理 第 8 讲 三角函数 y x O 2 - -2 65 3正弦型函数sin()yAx,可由正弦函数经过平移与伸缩变换得到,可以研究它的性质; 4正切函数 tan() 2 yxxkkZ,; 三、三角恒等变换三、三角恒等变换 1两角和与差的三角
3、函数 正弦公式:S:sinsincoscossin , S:sinsincoscossin ; 余弦公式: + C:coscoscossinsin , C:coscoscossinsin ; 正切公式: tantan T:tan 1tantan , tantan T:tan 1tantan 2二倍角公式 sin22sincos; 2222 cos2cossin2cos1 12sin ; 2 2tan tan2 1tan 3辅助角公式 22 sincossinaxbxabx,其中tan b a 尖子班学案尖子班学案 1 【铺【铺1】 (2008 宣武二模文 2)已知sincos1,则角所在象限是
4、( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 B 考点考点:任意角的三角函数、同角三角函数关系、诱导公式:任意角的三角函数、同角三角函数关系、诱导公式 【例1】 若为第二象限角且coscos 22 ,则 2 在第_象限 记cos( 80 )k ,那么tan100 ( ) A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k 设 0 4 ,若 6 sincos 2 ,则1 tan 1tan 已知 1 sin 64 x ,则 2 5 sinsin 63 xx _ 【解析】 三 为第二象限角时, 2 是哪个象限角, 3 是哪个象限角? 2 , 2 2 kk
5、(k Z),于是 , 242 kk , 讨论k的奇偶可得 2 为第一或第三象限角; 2 2 , 33633 kk ,当0,1, 2k 时,得到 3 为第一、 二、四象限角 经典精讲 12 3 4 1 2 3 4 y x 4 3 2 1 66 也可通过直接划分象限得到,以判断 3 所在象限为例: 将每个象限平均分为三份(因为判断的是 3 ),从x轴正 半轴开始,依逆时针方向分别循环标上1, 2, 3, 4,如图, 当为第二象限角时,所有标上2的部分为 3 可能在的位 置 B 3 19 16 【备选】 已知长为3,宽为1的长方形木块,在桌面上无 滑动地翻滚,翻滚到第四次时被一个小木板档住, 如图,
6、使木板底面与桌面成30的角,问点A走 过的路程及走过的弧度所在的扇形的总面积 【解析】 三段圆弧所对扇形的总面积为 2 22 1117 213 2222234 尖子班学案尖子班学案 2 【铺【铺1】 (2010 海南文 10)若 4 sin 5 ,是第三象限的角,则 sin 4 ( ) A 7 2 10 B 7 2 10 C 2 10 D 2 10 【解析】 A 目标班学案目标班学案 1 【铺【铺2】 tan20tan403tan20 tan40的值是_ 【解析】 3 考点考点:三角恒等变换:三角恒等变换 【例2】 (2009 东城二模文 6)若 3 cos 25 , 4 sin 25 ,则角
7、的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2008 山东文 10)已知 4 3 cossin 65 ,则 7 sin 6 的值是( ) A 2 3 5 B 2 3 5 C 4 5 D 4 5 已知 2 cos 410 x , 3 24 x ,求sin x、 sin 2 3 x 与 tan 2 4 x 的值 【解析】 B 30 3 A3 A2 A1 DCB A 67 C sin x 4 5 ; 247 3 sin 2 350 x ; 31 tan 2 417 x 【备选】 求 cos10 (tan103) sin50 的值 【解析】 2 尖子班学案尖子班学案 3 【铺【铺
8、1】 (2009 天津理 7) 已知函数 sin 4 f xx 0 xR,的最小正周期为, 为了得到函 数 cosg xx的图象,只要将 yf x的图象( ) A向左平移 8 个单位长度 B向右平移 8 个单位长度 C向左平移 4 个单位长度 D向右平移 4 个单位长度 【解析】 A 考点考点:正弦型函数:正弦型函数与与图象变换图象变换 【例3】 (2010 福建文 10)将函数( )sinf xx的图象向左平移 2 个单位若所得图象与 原图象重合,则的值不可能等于( ) A4 B6 C8 D12 (2009 天津文 7) 已知函数 sin 4 f xx 0 xR,的最小正周期为, 将 y f
9、 x 的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A 2 B 3 8 C 4 D 8 (2010 天津文 8)右图是函数sinyAxxR,在区间 5 66 ,上的图象为了得到这个函数的图象,只要将 sinyx xR的图象上所有的点( ) A向左平移 3 个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原 来的 1 2 倍,纵坐标不变 B向左平移 3 个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C向左平移 6 个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变 D向左平移 6 个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 【解析】 B D
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