2021年河南省南召县第一次中招模拟考试数学试题（含答案解析）

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1、南召县2021年中招模拟考试数学试题（一）一、选择题（每小题3分；共30分）1. 在四个数中，最小的数是（ ）A. B. 0C. 2D. 2. 2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元把数据4000亿元用科学记数法表示为（）A. 41012元B. 41010元C. 41011元D. 40109元3. 如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图4. 下

2、列叙述正确是（ ）A. 了解南阳市初中生每月的课外阅读量应采用全面调查B. 打开电视，正在播放节目中国诗词大会是必然事件C. 将一组数据中的每一个数都加上6，得到的一组新数据的方差增大D. 在“我的中国梦”演讲比赛中，小明和其他6名同学一起进入了决赛，每个人的决赛成绩各不相同，小明要想知道自己能否进入前三名，只需知道自己的成绩和决赛成绩的中位数5. 如图，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 6. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 7.

3、如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC，OB 于点 D，E；分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在BOC 内交于点 F；作射线 OF，交边 BC于点 G，则点 G 的坐标为( )A. (4， )B. ( ，4)C. ( ，4)D. (4， )8. 如图，已知点分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为（ ）A. 4B. 2C. D. 9. 若函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等

4、的实数根D. 有两个不相等的实数根10. 如图，在中，点E是边的中点，点P是边上一动点，设图是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点那么的值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分；共15分）11. 请你写出一个小于2的无理数_12. 关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为_13. 某地开展了“你旅游，我买单”有奖活动，凡组团报名满三十人，该团队有二次转盘抽奖机会，奖品设置：指针落到A区：矿泉水30瓶；指针落到B区：遮阳伞30把；指针落到C区：免1人旅游费2000元；指针落到D区：太阳镜30付；某团队获得免2人旅游费用的概率为_14. 如图，在中，是边上的动点，设，若能在

5、边上找到一点，使，则的取值范围是_.15. 如图，将含有30角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，OAB60，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60，再绕点C按顺时针方向旋转90，）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_.三、解答题（899910101175分）16. 先化简，再求值：；其中a满足17. 每年的4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读该校文学社甲乙两名

6、同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了20名学生每周用于课外阅读的时间，将收集到的数据进行了整理，部分信息如下：数据收集：甲同学从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟：40；15；20；85；71；90；43；60；120；70；71；80；10；42；65；107；85；71；125；130乙同学从八年级随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）10；42；86；25；70；55；76；30；18；120；102；82；60；140；82；40；114；100；90；98数据描述：将阅读时间分为四个等

7、级：甲同学按下表整理样本数据：等级ABCD人数a9b3乙同学绘制扇形统计图如图：分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：平均数中位数众数甲70c71乙7279d根据以上信息，回答下列问题：（1）_，_，_，_；_度；（2）甲乙两名同学中，哪名同学随机调查的数据能较好地反映出该校学生每周用于课外阅读时间情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；（3）根据正确统计的这组每周课外阅读时间的样本数据，若该校学生有1500人，请估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？18. 学完了三角函数知识后，某校“数学社团”同学决定用自己学到的知识测量电视塔的高度，她们把“测量电

8、视塔的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：课题测量电视塔的高测量示意图说明：是高为1.5米的测角仪，在点C处测得电视塔顶A的仰角，点E处测得此时电视塔顶A的仰角（三点在同一条直线上）测量数据的度数的度数的水平距离175米（1）请根据上表中的测量数据，求电视塔的高（精确到0.1米，参考数据）（2）“工程简介”中电视塔的高度为268米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议19. 在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：项目购进数量（件）购进所需费

9、用（元）酒精消毒液测温枪第一次30408300第二次40306400（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润20. 阅读下列相关材料，并完成相应的任务婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了婆罗摩修正体系，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”任务：（1）按图（1）写

10、出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：_求证：_证明：（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：_21. 已知，如图四边形为平行四边形，点分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B、点D在二次函数的图象上，且（1）试求该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，当面积最大时，求点P坐标（3）若将二次函数沿对称轴移动m个单位，使其顶点始终在四边形内（含四边形的边上），直接写出m的取值范围22. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆O上一点且，点N在边上，动点M从点A出发，沿

11、运动，到达点C时停止设点M运动的路程为两点间的距离为两点间的距离为小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整（1）列表：下表的已知数据是根据点M运动的路程x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值，请你通过计算，补全表格：01.002.003.004.005.006.001.000.521.24m3.172.662463.462.652.001.73n1.000.00_，_；（2）描点连线：在给出的平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数的变化趋势为_（写

12、出一条即可）；（4）解决问题：继续在同一坐标系中画出所需要函数图象，结合图象直接写出：当以为顶点的三角形为等腰三角形时，动点M运动的路程x的近似值为_（保留两位小数）23. （1）在正方形中，G是边上的一个动点（不与重合，以为边在正方形外作一个正方形，连接，如图1.直接写出线段的关系_；（2）将图1中的正方形绕点C按逆时针方向旋转任意角度，得到图2的情形，试判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断；（3）将上面题中的正方形都改为矩形，得到如图3、图4，若，试判断（1）中的结论是否仍然成立？请以图4为例，简要说明理由（4）在图4中，连接，若，直接写出的值_南召县2021年中招模拟考试数学试

13、题（一）一、选择题（每小题3分；共30分）1. 在四个数中，最小的数是（ ）A. B. 0C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大反而小，据此判断即可【详解】解：最小的数为：故选A【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数 0负实数，两个负实数绝对值大的反而小2. 2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元把数据4000亿元用科学记数法

14、表示为（）A. 41012元B. 41010元C. 41011元D. 40109元【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数【详解】解：4000亿40000000000041011，故选：C【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3. 如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中

15、，是中心对称图形的是A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C【解析】【详解】【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：可知俯视图是中心对称图形，故选C.【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.4. 下列叙述正确的是（ ）A. 了解南阳市初中生每月的课外阅读量应采用全面调查B. 打开电视，正在播放节目中国诗词大会是必然事件C. 将一组数据中的每一个数都加上6，得到的一组新数据的方差增大D. 在“我的中国梦”演讲比赛中，小明和其他6名同学一起进入了决赛，每个人的决赛

16、成绩各不相同，小明要想知道自己能否进入前三名，只需知道自己的成绩和决赛成绩的中位数【答案】D【解析】【分析】根据抽样调查、随机事件、中位数、方差的概念进行判断，即可得出结论【详解】解：A. 了解南阳市初中生每月的课外阅读量应采用抽样调查，此选项不符合题意；B. 打开电视，正在播放节目中国诗词大会是随机事件，此选项不符合题意；C. 将一组数据中的每一个数都加上6，得到的一组新数据的方差不变，此选项不符合题意；D. 在“我的中国梦”演讲比赛中，小明和其他6名同学一起进入了决赛，每个人的决赛成绩各不相同，小明要想知道自己能否进入前三名，只需知道自己的成绩和决赛成绩的中位数，此选项符合题意；故选D【点

17、睛】本题考查了抽样调查、随机事件、中位数以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量；方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好5. 如图，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断【详解】，故选项A正确；，又，故选项B正确；，故选项D正确；，而，故选项C错误故选C【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键6. 将一盛有部分水

18、的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】用排除法可直接得出答案.【详解】圆柱形小水杯事先盛有部分水，起点处小水杯内水面的高度必然是大于0的，用排除法可以排除掉A、D；注水管沿大容器内壁匀速注水，在大容器内水面高度到达h之前，小水杯中水边高度保持不变，大容器内水面高度到达h后，水匀速从大容器流入小容器，小容器水面高度匀速上升，达到最大高度h后，小容器内盛满了，水面高度一直保持h不变，因此可以排除C，正确答案选B.考点：1.函数；2.数形结合；3.

19、排除法.7. 如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC，OB 于点 D，E；分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在BOC 内交于点 F；作射线 OF，交边 BC于点 G，则点 G 的坐标为( )A. (4， )B. ( ，4)C. ( ，4)D. (4， )【答案】A【解析】【分析】首作GHOC于H先证明GB=GH，利用面积法求出GB即可解决问题【详解】解：四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），OB4，OABC3，OBC90，BC5，作GH

20、OC于H由作图可知：OG平分BOC，GBOB，GHOC，GBGH时，GBGHx，SOBC345x+4x，x，G（4，）故选A【点睛】本题考查基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型8. 如图，已知点分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】设点坐标为，点坐标为，根据反比例函数的性质，得，；根据两点之间距离的性质，得，结合勾股定理和分式方程，通过计算得；根据三角函数的性质计算，即可得到答案【详解】设点坐标为，点坐标为点分别在反比例函数，的图象上， 解得：

21、，即故选：D【点睛】本题考查了反比例函数、直角坐标系、勾股定理、三角函数、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解9. 若函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】A【解析】【分析】有图可知的顶点纵坐标，可知函数与直线的交点，再将看作是函数向上平移5个单位，结合图象即可得出答案【详解】解：函数的顶点的纵坐标为，直线与函数图象只有一个交点，相当于函数向上平移5个单位，关于x的一元二次方程的根的情况为没有实数根故选A【点睛】本题考查了抛物线与

22、轴的交点、二次函数的平移，能够结合图象得出相关信息是解题的关键10. 如图，在中，点E是边中点，点P是边上一动点，设图是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点那么的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】点A关于BC的对称点为点A，连接AE交BC于点P，此时y最小，进而求解【详解】解：如图，将ABC沿BC折叠得到ABC，则四边形ABAC为菱形，菱形的对角线交于点O，由图可知，当点P与点B重合时，y=PA+PE=AB+PE=AB+AB=6，解得：AB=4，即菱形的边长为4则该菱形的高为AB，点A关于BC的对称点为点A，连接AE交BC于点P，此时y最小，AB=AC，BAC=

23、120，则BAA=60，故AAB为等边三角形，点E是AB的中点，AEAB，ABAC，PAC为直角，AC=AB=4，则PC，此时b=PC，a=AE=，则a+b=故选：C【点睛】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程二、填空题（每小题3分；共15分）11. 请你写出一个小于2的无理数_【答案】-（答案不唯一，符合题意即可）【解析】【详解】有多种答案,-等等12. 关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为_【答案】2【解析】【分析】先根据数轴写出解集，再解不等式组，即可得出结果

24、【详解】解：解得：由题意可知：x1m-1=1m=2故答案为：2【点睛】本题考查由不等式组的解集求参数、正确识别在数轴表示的不等式组的解集是关键13. 某地开展了“你旅游，我买单”有奖活动，凡组团报名满三十人，该团队有二次转盘抽奖机会，奖品设置：指针落到A区：矿泉水30瓶；指针落到B区：遮阳伞30把；指针落到C区：免1人旅游费2000元；指针落到D区：太阳镜30付；某团队获得免2人旅游费用的概率为_【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与某团队获得免2人旅游费用的情况，最后根据概率公式即可求得答案【详解】解：根据题意如图：机会均等的结果共有16个，而获得

25、两次都是C的只有1个某团队获得免2人旅游费用的概率为故答案为：【点睛】此题考查的是树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14. 如图，在中，是边上的动点，设，若能在边上找到一点，使，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先根据P是BC边上的点可得，再确定BP的最小值即可.设BP的中点为点O，因，则有，如果BP最小，则OQ也最小，所以问题可转化为求AC边上一点，使得OQ最小；根据直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短可知，当时，OQ取得最小值.最后根据得，求解即可得.【详解】由题意可得，设BP的中点为点O，连接OQ因，则有，当OQ最

26、小时，BP也最小问题可转化求AC边上一点，使得OQ最小由直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短知，当时，OQ最小在和中，（相似三角形对应边成比例）即解得综上.【点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了直角三角形的性质、垂线段最短、三角形相似的判定定理和性质，将求x的最小值转化为垂线段最短问题是解题关键.15. 如图，将含有30角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，OAB60，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60，再绕点C按顺时针方向旋转90，）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围

27、成的图形面积是_.【答案】+【解析】【详解】【分析】在RtAOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案.【详解】在RtAOB中，A（1，0），OA=1，又OAB60，cos60=，AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，故答案为. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.三、解答题（899910101175分）16. 先化简，再求值：；其

28、中a满足【答案】；【解析】【分析】先利用分式的通分、约分化简分式，再将方程变形代入即可【详解】解：原式又因为，所以： 原式【点睛】本题考查分式的化简求值，正确的使用分式的通分、约分、因式分解是关键，换元法是常用的解题方法17. 每年的4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读该校文学社甲乙两名同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了20名学生每周用于课外阅读的时间，将收集到的数据进行了整理，部分信息如下：数据收集：甲同学从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查

29、，数据如下（单位：分钟：40；15；20；85；71；90；43；60；120；70；71；80；10；42；65；107；85；71；125；130乙同学从八年级随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）10；42；86；25；70；55；76；30；18；120；102；82；60；140；82；40；114；100；90；98数据描述：将阅读时间分为四个等级：甲同学按下表整理样本数据：等级ABCD人数a9b3乙同学绘制扇形统计图如图：分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：平均数中位数众数甲70c71乙7279d根据以上信息，回答下列问题：（

30、1）_，_，_，_；_度；（2）甲乙两名同学中，哪名同学随机调查的数据能较好地反映出该校学生每周用于课外阅读时间情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；（3）根据正确统计的这组每周课外阅读时间的样本数据，若该校学生有1500人，请估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？【答案】（1）3；5；71；82；108；（2）甲同学，见解析；（3）600人【解析】【分析】（1）根据给出的数据即可直接得出3，5；根据中位数和众数的概念即可得出71、82；先求出乙同学的数据，知道总人数，根据公式即可得出答案；（2）根据抽样调查的原则即可得出答案；（3）利用样本和总体之间的比例关系即

31、可得出答案【详解】解：（1）甲同学收集的数据中，的数据有：15；20；10；共3个3，的数据有： 85；90；80；107；85； 共5个5，甲同学收集的数据从小到大排列：10，15，20，40，42，43，60，65，70，71，71，71，80，85，85，90，107，120，125，130，排在第10和第11的两个数都是71，中位数为71；乙同学收集的数据中，出现次数最多的是82（82出现2次，其余的数只出现1次）82；乙同学的数据有：42，70，55，76，60，40共6人 108（2）甲同学的较好：甲同学随机调查的数据是从全校随机抽取的数据，能较好的反映出该校学生每周的劳动时间情况

32、；乙同学的不足之处是总体是全校学生，而乙同学的样本是八年级选取的，样本数据选取不具代表性（3）甲同学收集的数据中，每周劳动时间在80分钟（含80分钟）以上的学生为的和，即5+3=8占所收集样本百分比为：（人）答：该校学生有1500人，请估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有600人【点睛】此题主要考查数据的统计和分析的知识准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键18. 学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量电视塔的高度，她们把“测量电视塔的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：课

33、题测量电视塔的高测量示意图说明：是高为1.5米的测角仪，在点C处测得电视塔顶A的仰角，点E处测得此时电视塔顶A的仰角（三点在同一条直线上）测量数据的度数的度数的水平距离175米（1）请根据上表中的测量数据，求电视塔的高（精确到0.1米，参考数据）（2）“工程简介”中电视塔的高度为268米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议【答案】（1）268.7米；（2）测量过程中，测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等（答案不唯一）【解析】【分析】（1）由题意得，米，设为a米，则米，在中，中，根据正切的概念都表示出ME，再将两个式子建立一元一次方程，求解即可；（2）根据测量中的误差说明即可【详

34、解】解：（1）由题意得，米，设为a米，则米，在中，即，解得，在中，即，解得，解得，答：电视塔的高约为267.2米（2）测量过程中，测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等（答案不唯一，合理即可），进行多次测量求其平均数即可减小误差.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，在中，中，根据正切的概念都表示出ME是解题的关键.19. 在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：项目购进数量（件）购进所需费用（元）酒精消毒液测温枪第一次30408300第二次40306400（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件

35、的进价分别是多少元？（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润【答案】（1）酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元；（2）该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元.【解析】【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是，根据第一次购买30件酒精消毒液和40件测温枪的总费用为8300可以列出，根据第二次购买40件酒精消毒液和30件测温枪的总费用为6400可以列出，联立这两个方程即可求解；（2）设购进酒精消毒液件，则购进测

36、温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为，根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为40元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式，即可求出的取值范围，从而求出最大利润；【详解】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是元，y元由题意可得： 解得： 酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为由题意可得： 酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍 解得： 利润是关于的一次函数，同时 随着的增大而减小

37、当时，有最大值为 该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，同时结合一次函数的性质求最值，充分理解题意列出方程组，以及利润的表达式是求解本题的关键.20. 阅读下列相关材料，并完成相应的任务婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了婆罗摩修正体系，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：_求证：_证明：（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于

38、于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：_【答案】（1）见解析；（2）菱形【解析】【分析】（1）先写出已知、求证，先证明，再证明，即可证明（2）先证明，再证明,由布拉美古塔定理证明即可证明【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点 求证：点E是的中点证明：，同理可证，点E是的中点故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点 求证：点E是的中点（2）四边形是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点，是中点四边形是菱形故答案为：四边形是菱形【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系

39、的转换是解题的关键21. 已知，如图四边形为平行四边形，点分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B、点D在二次函数的图象上，且（1）试求该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，当面积最大时，求点P坐标（3）若将二次函数沿对称轴移动m个单位，使其顶点始终在四边形内（含四边形的边上），直接写出m的取值范围【答案】（1）；（2）点P坐标；（3）【解析】【分析】（1）根据一次函数解析式易求得，再根据即可求得点B和点D的坐标，然后将点B和点D的坐标代入二次函数解析式即可得出答案；（2）当动点P运动t秒时设底边上的高为h，作于点H，易得出，然后根据相似三角

40、形的性质得出，求出的值，表示出APQ的面积，并化为顶点式即可得出答案；（3）可将所求转化为求顶点与BC、AD的距离的问题，求出距离即可得出答案【详解】解：（1）由，令，得所以点；令，得所以点，点坐标为四边形是平行四边形，点坐标为；将代入二次函数，可得，二次函数的表达式为（2）当动点P运动t秒时设底边上的高为h，作于点H，四边形是平行四边形，即，当时，达到最大值，点P坐标为（3）沿对称轴移动抛物线，使其顶点在四边形ABCD内，可转化为将点沿移动故范围是到BC以及AD的距离点到BC的距离为，到AD的距离为m的取值范围为：【点睛】本题考查了二次函数的综合问题、相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质

41、，结合图形并掌握性质定理是解题的关键22. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆O上一点且，点N在边上，动点M从点A出发，沿运动，到达点C时停止设点M运动的路程为两点间的距离为两点间的距离为小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整（1）列表：下表的已知数据是根据点M运动的路程x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值，请你通过计算，补全表格：01.002.003.004.005.006.001.000.521.24m3.172.662.463.462.652.001.73n1.000.00_，_；（2）描点连线：在给出的平面直角坐

42、标系中，描出表中各组数值所对应的点并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数的变化趋势为_（写出一条即可）；（4）解决问题：继续在同一坐标系中画出所需要的函数图象，结合图象直接写出：当以为顶点的三角形为等腰三角形时，动点M运动的路程x的近似值为_（保留两位小数）【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时，函数随x的增大而增大或当时，函数y随x的增大而减小；（4）或或【解析】【分析】（1）先计算出ND、AD、再利用勾股定理计算MN，当点M运动路程为4cm时，点M与点B重合，得到（2）描好点，然后用光滑的曲线连接各点即可（3）观察函数图像即可（4）分类三种情况，结合图像观察即可【详解】解：（1）当点M运动路程为4cm时点M与点B重合故答案为：；（2）（3）观察函数图象可知，当时，函数随x的增大而增大；当时，函数y随x的增大而减小；（写出1条，必须带取值范围）（4）观察函数图象可知：当NM=CM 时，即两图像的交点，M252时，NM=CM当CN=CM时，AC=4cos30=23.46NC=CM2.46即M135时，NC=CM当NM=NCNM2.46即M运动327时，NM=NC故答案为：或或【点睛】本题考查画函数图像及观察函数图像的性质、勾股定理、