2021年甘肃省平凉市崆峒区中考数学一模试题（含答案解析）

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1、2021年甘肃省平凉市崆峒区中考数学一模试题一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. （1）2（）A. 1B. 1C. 2D. 22. 下列图形一定是相似图形的是( )A. 任意两个菱形B. 任意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形3. -2的倒数是（ ）A. -2B. C. D. 24. cos45的值为（）A. B. C. D. 5. 小杰(图示“主视方向”)观察如图的热水瓶时，得到的俯视图是()A. B. C. D. 6. 若反比例函数y（k0）图象经过点（2，3），则k的值是（）A. B. C. 6D. 67. 两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（

2、）A 1：2B. 1：4C. 1：16D. 1：8. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（）A. B. C. D. 9. 某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为A. B. C. D. 10. 学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的( )A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分

3、32分）11. 把数字35980000用科学记数法表示为_12. 为使有意义，则x取值范围是_13. 因式分解：_14. 计算2sin30=_15. 在RtABC中，C90，sinA，则tanA_16. 如图，在ABC中，MNBC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为_17. 若sin（x30），则x_18. 下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有_枚棋子三、解答题（共5小题，满分38分）19. 计算：（）2|1+|+2sin60+（1）20. 如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修一座电视信号发射塔P.按照设计要求，发射塔P

4、到区域S内的两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等.发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）. 21. 如图，在RtABC中，C90，AB10，BC6，求sinA，cosA，tanA的值22. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P， 在近岸取点Q和S， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R 如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ 23. 如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米

5、的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45，楼底D的俯角为30求楼CD的高（结果保留根号）四、解答题二（共5小题，清分50分）24. 有3张背面相同纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）（1）将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，求摸出的图案是圆的概率；（2）这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或列表法求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率25. 2016年政府工作报告中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热

6、词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？（2）条形统计图中，m= ，n= ；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？26. 如图，矩形ABCD中，AB6，BC4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长27. 如图，AB是O的直径，O交BC的中点于D，DEAC（1）求证：DE是O的切线（2）已知：BC8cm，AD3cm，求

7、线段AE的长28. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线对称轴上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标2021年甘肃省平凉市崆峒区中考数学一模试题一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. （1）2（）A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】根据乘方的定义：表示两个的乘积，即可求解【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌

8、握有理数乘方的运算法则是解题关键2. 下列图形一定是相似图形的是( )A. 任意两个菱形B. 任意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形【答案】B【解析】【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形【详解】A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意故选B【点睛】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义

9、是解题的关键3. -2的倒数是（ ）A. -2B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握 4. cos45的值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论【详解】解：cos45故选：B【解答】此题主要考查了特殊角三角函数值的识记，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键5. 小杰(图示“主视方向”)观察如图的热水瓶时，得到的俯视图是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可.【详解】解：从上面

10、看可得到图形的左边是一个小矩形，右边是一个同心圆，故选C.【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.6. 若反比例函数y（k0）的图象经过点（2，3），则k的值是（）A. B. C. 6D. 6【答案】D【解析】【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解【详解】解：反比例函数y（k0）的图象经过点（2，3），k236故选：D【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k7. 两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：

11、16D. 1：【答案】C【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可【详解】解：两个相似三角形的相似比是1：4，它们的面积比是1：16故选：C【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方8. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设他家到学校的路程是xkm，将时间单位转化成小时，然后根据题意列方程即可.【详解】设他家到学校的路程是xkm，10分钟小时，5

12、分钟小时，故选：A【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.9. 某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为故选D10. 学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的( )A. B. C. D.

13、 【答案】A【解析】【详解】根据题意：徐徐上升的国旗的高度与时间的变化是稳定的，即为直线上升故选A.二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）11. 把数字35980000用科学记数法表示为_【答案】3.598107【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可【详解】解：359800003.598107故答案为：3.598107【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，确定a与n的值是解题的关键12. 为使有意义，则x的取值范围是_【答案】x1【解析】【详解】试

14、题分析：根据二次根式的被开方数为非负数，可知x-10，解得x1考点：二次根式13. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可因式分解【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是灵活运用两种方法，熟悉平方差公式14. 计算2sin30=_【答案】1【解析】【详解】试题分析：原式=2=1故答案为1考点：特殊角三角函数值15. 在RtABC中，C90，sinA，则tanA_【答案】【解析】【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答【详解】解：如图，可设BC3x，则AB

15、5x，由勾股定理可得AC4xtanA故答案为：【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值16. 如图，在ABC中，MNBC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为_【答案】2【解析】【分析】【详解】分析：根据平行线得出AMNABC，根据相似得出比例式，代入求出即可详解：AM=2，MB=4，AB=AM+MB=6，MNBC，AMNABC，AM=2，AB=6，BC=6，=，MN=2.故答案为2.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质.17. 若sin（x30），则x_【答

16、案】90【解析】【分析】根据特殊角三角函数值得出x3060，再求出答案即可【详解】解：sin（x30），x3060，x90，故答案为：90【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，注意：sin60=18. 下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有_枚棋子【答案】6064【解析】【分析】根据图形变化规律，寻找第n个图的一般形式，然后代入数值计算即可【详解】解：观察图形可知：第1个图形的棋子个数为13+14，第2个图形的棋子个数为23+17，第3个图形的棋子个数为33+110，第4个图形的棋子个数为43+113，第n个图形的棋子个数为3n+1当n2021时，32021+160

17、64个，故答案为：6064【点睛】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是通过观察图形的变化写出一般形式三、解答题（共5小题，满分38分）19. 计算：（）2|1+|+2sin60+（1）【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案【详解】原式，【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键20. 如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修一座电视信号发射塔P.按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等.发射塔P建

18、在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）. 【答案】作图见解析【解析】【详解】试题分析：作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点解：如图所示考点：作图应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质21. 如图，在RtABC中，C90，AB10，BC6，求sinA，cosA，tanA的值【答案】，【解析】【分析】先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可【详解】解：在中，则，【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键22. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一

19、个目标点P， 在近岸取点Q和S， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R 如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ 【答案】90米【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出 , 进而代入求出即可【详解】解答：根据题意得出：QRST ， 则PQRPST ， 故，QS=45m，ST=90m，QR=60m，解得：PQ=90（m），河的宽度为90米【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出PQRPST是解题关键23. 如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，

20、在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45，楼底D的俯角为30求楼CD的高（结果保留根号）【答案】（39+13）米【解析】【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可【详解】解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有AECD，四边形ABDE是矩形，AEBD39米CAE45，AEC是等腰直角三角形，CEAE39米在RtAED中，tanEAD，ED39tan3013米，CDCE+ED（39+13）米答：楼CD的高是（39+13）米【点睛】本题主要考查考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握正切三角函数的定义，是解题的关键四、解答题二（共5小题，清分50分）2

21、4. 有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）（1）将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，求摸出的图案是圆的概率；（2）这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或列表法求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率【答案】（1）；（2）图见解析，【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9个等可能的结果，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的结果有4个，再由概率公式求解即可【详解】解：（1）将这3张紙牌背面朝上洗匀后摸出一张，摸出的图案是圆的概率=13=；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，摸出两张牌面图形都

22、是中心对称图形的纸牌的结果有4个，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率为【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握列树状图或列表格展示等可能的结果数以及概率公式，是解题的关键25. 2016年政府工作报告中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？（2）条形统计图

23、中，m= ，n= ；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？【答案】（1）300；（2）60，90；（3）72【解析】【详解】试题分析：（1）据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数；（2）C所对应的人数为：总人数30%，B所对应的人数为：总人数A所对应的人数C所对应的人数D所对应的人数；（3）根据B所占的百分比360，可求出圆心角的度数试题解析：（1）10535%=300（人），答：一共调查了300名同学.（2）n=30030%=90（人），m=3001059045=60（人）故答案为60，90；（3）360=72答：扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是72考点：

24、统计图.26. 如图，矩形ABCD中，AB6，BC4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A90，ADBC4，ABDC，OBOD，OBEODF，又BOEDOF，BOEDOF（ASA），EOFO，四边形BEDF是平行四边形；（2）

25、解：当四边形BEDF是菱形时，BEDE，设BEx，则 DEx，AE6x，在RtADE中，DE2AD2+AE2，x242+（6x）2，解得：x ，DFDE=【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的四条边相等，是解题的关键27. 如图，AB是O的直径，O交BC的中点于D，DEAC（1）求证：DE是O的切线（2）已知：BC8cm，AD3cm，求线段AE的长【答案】（1）见解析；（2）cm【解析】【分析】（1）连接OD，证明EDO90即可得到DE是O的切线；（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论【详解】解：（1）证明：连接OD， OAOB，是的中点，D是

26、BC的中点，ODAC又DEAC，ODDE是O的半径，DE是O的切线；（2）D是BC的中点，BC8cm，BDCDBC4（cm），AB是O的直径，ADBC，ACAB，AD3cm，AC5（cm），DEAC，DE（cm），AE（cm）【点睛】本题考查了切线的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键28. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物

27、线对称轴上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标 【答案】（1），y=x+3；（2）M（-1，2）；（3）P的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，)或(1，)【解析】【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线ymx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x1代入直线yx+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（1，t），又因为B（3 ，0），C

28、（0，3），所以可得BC218，PB2（1+3）2+t24+t2，PC2（1）2+（t3）2t26t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标【详解】（1）解：依题意得：解得 所以，抛物线解析式为，对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0），B点坐标为（-3,0），所以，把B(-3，0)，C(0，3)、分别代入直线，得 解之得： 直线ymx+n的解析式为yx+3 (2)设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x1代入直线yx+3得，y2，M（1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（1，2）；(3)设P（1，t），又B（3，0），C（0，3），BC218，PB2（1+3）2+t24+t2，PC2（1）2+（t3）2t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2PC2即：18+4+t2t26t+10解之得：t2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2PB2即：18+t26t+104+t2解之得：t4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2BC2即：4+t2+t26t+1018解之得：得t= 综上所述，P的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，)或(1，)【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题