【同步知识点讲义】苏科版2021-2022学年七上数学第2单元第6课时：绝对值的几何意义与最值（学生版+教师版）

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1、要点要点 1 1：绝对值的性质：绝对值的性质 【要点梳理】【要点梳理】 （1 1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|a|0 0，这是绝对值非常重要的性质；，这是绝对值非常重要的性质； a a （a a0 0） （2 2） |a|= 0 |a|= 0 （a=0a=0） （代数意义）（代数意义） - -a (aa (a0) 0) （3 3） 若若|a|=a|a|=a，则，则 a a0 0；若；若|a|=|a|=- -a a，则，则 a a0 0； （4 4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这

2、个数的相反数， 即即|a|a|a a，且，且|a|a|- -a a； （5 5） 若若|a|=|b|a|=|b|，则，则 a=ba=b 或或 a=a=- -b b； （几何意义）； （几何意义） （6 6） |ab|=|a|ab|=|a|b|b|；| |b a |=|= | | b a （b b0 0） ；） ； （7 7） |a|a| 2 =|a=|a 2 |=a|=a 2 ； 【典型例题】【典型例题】 1、 （2018 七上无锡期中）已知 , 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式 | + | | 1| + | + 2| 的结果是（ ） A.1 B.2 3 C.2b+3 D.1 2、 下

3、列说法： 平方等于 64 的数是 8； 若 a b 互为相反数， 则 = 1 ； 若|-a|=a， 则（-a） 3的值为负数；若 ab0，则 | + | 的取值在 0，1，2，-2 这四个数中，不 可取的值是 0正确的个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 3、化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中 a-2. 4、先比较下列各式的大小，再回答问题 （1）| 3| | + 5| _ |(3+ 5)| ； （2）| 2| | 4| _ |(2) + (4)| ； （3）|0| | 3| _ |0 + (3)| ； （4） 通过上面的比较，请你归纳出当 a， b 为有

4、理数时， |a|b|与|ab|的大小关系 课程类型：新授课课程类型：新授课 年级：新初一年级：新初一 学科：数学学科：数学 课程主题课程主题 第第 2 2 单元单元 第第 6 6 节：绝对值的几何意义与最值节：绝对值的几何意义与最值 5、 （2020 七上丹徒期中）有理数 a、b、c，在数轴上的位置如图所示. （1）c_0； + _0； （用“、=”填空） （2）化简： | + | | | + | 【同步演练】【同步演练】 1、已知 a-b，且 0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|=（ ） A. 2a+2b+ab B. -ab C. -2a-2b+ab D. -2a+ab 2、 若 a

5、 是有理数， 那么在a+1， |a+1|， |a|+1， a 2+1 中， 一定是正数的有 （ ） A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 3、若 a0，b0，且|x-a|+|x-b|=a-b，求 x 的取值范围 4、 （2020 七上兴化期中）已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置， （1）a+b_0；a+c_0；bc_0 用“，=”填空） （2）试化简|a+b|a+c|+|bc| 要点要点 2 2：绝对值几何意义与最值：绝对值几何意义与最值 【要点梳理】【要点梳理】 1 1、绝对值几何意义： 数轴上某个点的绝对值表示该点到原点的距离。 常见考查绝对值的绝对值几何意义： 数轴上某个

6、点的绝对值表示该点到原点的距离。 常见考查绝对值的 几何意义有这几类：几何意义有这几类：|a|a- -b|b|：表示数轴上：表示数轴上 a a 点到点到 b b 点的距离；点的距离；|a+b|a+b|：表示数轴上：表示数轴上 a a 点到点到- -b b 点的距离点的距离 2 2、 最值： 绝对值几何意义考查的最大值与最小值一般考查三点或者四点之间距离和最短、 最值： 绝对值几何意义考查的最大值与最小值一般考查三点或者四点之间距离和最短 或者最长。 通常有： 或者最长。 通常有： |x|x- -a|+|xa|+|x- -b|:b|:这类情况最小值是当这类情况最小值是当 x x 在两个定点之间时

7、取值最小；在两个定点之间时取值最小； 当当 x x 在两点两端中的一侧取值最大；在两点两端中的一侧取值最大；|x|x- -a|+|xa|+|x- -b|+|xb|+|x- -c|:c|:这类情况最小值是当这类情况最小值是当 x x 在三在三 个定点之间时取值最小；当个定点之间时取值最小；当 x x 在三点两端一侧或者三点之间某个位置，具体需要分类讨在三点两端一侧或者三点之间某个位置，具体需要分类讨 论论 【典型例题】【典型例题】 1、 （2020 七上仪征月考）阅读下面材料：如图，点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、 b，则 A、B 两点之间的距离可以表示为|ab|. 根据阅读材料与你的理

8、解回答下列问题： （1）数轴上表示 3 与2 的两点之间的距离是_. （2）数轴上有理数 x 与有理数 7 所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 _. （3）代数式|x+8|可以表示数轴上有理数 x 与有理数_ 所对应的两点之间的距 离；若|x+8|=5，则 x=_. （4）求代数式|x+2018|+|x+504|+|x2017|的最小值. 2、同学们都知道，|5-（-2）|表示 5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与-2 两 数在数轴上所对的两点之间的距离试探索： （1）求|5-（-2）|=_； （2）找出所有符合条件的整数 x，使得|x+5|+|x-2|=7 这样的整数是

9、_； （3）对于任何有理数 x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有， 说明理由 3、 （2018 七上无锡期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： 数轴上表示 5 和 2 的两点之间的距离是多少 数轴上表示2 和6 的两点之间的距离是多少 数轴上表示4 和 3 的两点之间的距离是多少 （2）归纳： 一般的，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于|mn| 应用： 如果表示数 a 和 3 的两点之间的距离是 7，则可记为：|a3|=7，求 a 的值 若数轴上表示数 a 的点位于4 与 3 之间，求|a+4|+|a3|的值 当 a 取何值时，|

10、a+4|+|a1|+|a3|的值最小，最小值是多少？请说明理由 （3） 拓展： 某一直线沿街有 2014 户居民 （相邻两户居民间隔相同） ： A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A2014 ， 某餐饮公司想为这 2014 户居民提供早餐，决定在路旁建立一 个快餐店 P，点 P 选在什么线段上，才能使这 2014 户居民到点 P 的距离总和最小. 【同步演练】【同步演练】 1、 （2020 七上无锡期中）阅读下面材料： 若点 A、B 在数轴上分别表示数 a，b，则 A、B 两点之间的距离表示为|AB| （1）数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是_，数轴上表示-3 和 4 两点

11、之间的距 离是_ （2）若数轴上点 B 表示的数是-1，且|AB| = 3，则 a=_ （3）在数轴上有三个点 A， B， C 若点 A 表示的数是-1，点 B 表示的数是 3，且|AB| + |AC| = 6 ，求点 C 表示的数 2、 （2020 七上东台期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形 结合的方法使复杂问题简单化. 材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数 a 的点到原点的距离；|ab|的几何 意义是：数轴上表示数 a，b 的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数 a， b 的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.

12、 （ 1 ）|x3|4 解：由绝对值的几何意义知： 在数轴上 x 表示的点到 3 的距离等于 4 x13+47，x2341 （ 2 ）|x+2|5 解：|x+2|x（2）|，其绝对值的几何意义为：在数轴上 x 表示的点到2 的 距离等于 5.x12+53，x2257 材料二：如何求|x1|+|x+2|的最小值. 由|x1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到表示数 1 和2 两点的距离的和， 要使和最小，则表示数 x 的这点必在2 和 1 之间（包括这两个端点）取值. |x1|+|x+2|的最小值是 3；由此可求解方程|x1|+|x+2|4，把数轴上表示 x 的点 记为点 P，由绝

13、对值的几何意义知：当2x1 时，|x1|+|x+2|恒有最小值 3，所以 要使|x1|+|x+2|4 成立，则点 P 必在2 的左边或 1 的右边，且到表示数2 或 1 的 点的距离均为 0.5 个单位. 故方程|x1|+|x+2|4 的解为：x120.52.5，x21+0.51.5. 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：|x3|+|x+2|的最小值为_； （2）已知有理数 x 满足：|x+3|+|x10|15，有理数 y 使得|y3|+|y+2|+|y5|的值 最小，求 xy 的值. （3）试找到符合条件的 x，使|x1|+|x2|+|xn|的值最小，并求出此时的最小 值及 x 的取值

14、范围. 3、 （2020 七上无锡期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础. 若点 P 为数轴上一动点，点 P 对应的数记为 a，请你利用数轴解决以下问题： （1）若点 P 与表示有理数 2 的点的距离是 3 个单位长度，则 a 的值为_. （2）若数轴上表示数 a 的点位于5 与 2 之间，则|a2|+|a+5|_. （3）代数式|a+4|+|a5|+|a1| +|a+3|的最小值是_. （4）已知点 M、N 在数轴上，点 M 对应的数是1，点 N 对应的数是 3，令点 P 在点 N 左 侧运动，在点 P、M、N 中，若其中一点与其他两个点的距离恰好满足 3 倍的数量关系，

15、 请直接写出此时点 P 所表示的数. 【课后巩固】【课后巩固】 1、已知 a、b 为非零有理数，则 | + | 的值不可能为（ ） A. -2 B. 1 C. 0 D. 2 2、如图，数轴上的三点 A，B，C 分别表示有理数 a，b，c，化简|ab|a+c|+|bc| 3、 （2020 七上高新期中）有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示： （1）填空：a-b_0；b+1_0；2-a_0； （填“” 、 “”或“=” ） （2）化简： | | | + 1| + |2 | . 4、 （2018 七上慈溪期中）点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离 表示为 AB，在数轴

16、上 A、B 两点之间的距离 AB | | 利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： （1） 数轴上表示 2 和 6 两点之间的距离是_， 数轴上表示 1 和 2 的两点之间的 距离为_ （2） 数轴上表示 和 1 两点之间的距离为_， 数轴上表示 和 3 两点之间的 距离为_ （3）若 表示一个实数，且 5 3 ，化简 | 3| + | + 5| = _ ， （4）| + 3| + | 4| 的最小值为_， | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| 的最小值为_. （5）| + 1| | 3| 的最大值为_ 5、 （2020 七上江阴月考）数学实验室： 点 A、B 在

17、数轴上分别表示有理数 a、b， A、B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、 B 两点之间的距离 AB=|ab|. 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_，数轴上表示 1 和3 的两点之间 的距离是_； （2） 数轴上若点A表示的数是x， 点B表示的数是2， 则点A和B之间的距离是_， 若 AB2，那么 x 为_ ； （3）当 x 是_时，代数式 | + 2| + | 1| = 5 ； （4）若点 A 表示的数1，点 B 与点 A 的距离是 10，且点 B 在点 A 的右侧，动点 P、Q 同时从 A、B 出发沿数轴正方向运动，点 P 的速度是每

18、秒 3 个单位长度，点 Q 的速度是每 秒 1 个单位长度，则运动_ 秒后，PQ=1？ 6、 （2020 七上武进月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示3 和 2 两点之间的距离是_；一般地，数轴上表示数 m 和数 n 的两点 之间的距离等于|mn|. 如果|a+2|3，那么 a_； （2）若数轴上表示数 a 的点位于4 与 2 之间，则|a+4|+|a2|的值为_； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点 x，使得|x+2|+|x5|7，这些点表示的数 的和是_； （4）当 a_时，|a+3|+|a1|+|a4|的值最小，最小值是_. 7、 （2020 七上东海月考）同学们都

19、知道，|4（2）|表示 4 与2 的差的绝对值， 实际上也可理解为 4 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x3|也可理 解为 x 与 3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索： （1）|4（2）|=_； （2）找出所有符合条件的整数 x，使|x4|+|x+2|=8 成立； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数 x，|x3|+|x6|是否有最小值？如果有，写 出最小值；如果没有，说明理由. 要点要点 1 1：绝对值的性质：绝对值的性质 【要点梳理】【要点梳理】 课程类型：新授课课程类型：新授课 年级：新初一年级：新初一 学科：数学学科：数学 课程主题课程主题 第第 2 2 单

20、元单元 第第 6 6 节：绝对值的几何意义与最值节：绝对值的几何意义与最值 （8 8） 绝对值的非负性，可以用下式表示：绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|a|0 0，这是绝对值非常重要的性质；，这是绝对值非常重要的性质； a a （a a0 0） （9 9） |a|= 0 |a|= 0 （a=0a=0） （代数意义）（代数意义） - -a (aa (a0) 0) （1010） 若若|a|=a|a|=a，则，则 a a0 0；若；若|a|=|a|=- -a a，则，则 a a0 0； （1111） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，任何一个数的绝对值都不小于这个数，也

21、不小于这个数的相反数， 即即|a|a|a a，且，且|a|a|- -a a； （1212） 若若|a|=|b|a|=|b|，则，则 a=ba=b 或或 a=a=- -b b； （几何意义）； （几何意义） （1313） |ab|=|a|ab|=|a|b|b|；| |b a |=|= | | b a （b b0 0） ；） ； （1414） |a|a| 2 =|a=|a 2 |=a|=a 2 ； 【典型例题】【典型例题】 1、 （2018 七上无锡期中）已知 , 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式 | + | | 1| + | + 2| 的结果是（ ） A.1 B.2 3 C.2b+3 D

22、.1 【答案】 C 2、 下列说法： 平方等于 64 的数是 8； 若 a b 互为相反数， 则 = 1 ； 若|-a|=a， 则（-a） 3的值为负数；若 ab0，则 | + | 的取值在 0，1，2，-2 这四个数中，不 可取的值是 0正确的个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 【答案】 A 3、化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中 a-2. 【答案】 解：a0，b|ab|；a0 时，|a|b|ab|； 综上可知：|a|b|ab|. 5、 （2020 七上丹徒期中）有理数 a、b、c，在数轴上的位置如图所示. （1）c_0； + _0； （用“、=”填空

23、） （2）化简： | + | | | + | 【答案】 （1）； （2）解： | + | | | + | =a+c+a-b+c =2a-b+2c 【同步演练】【同步演练】 1、已知 a-b，且 0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|=（ ） A. 2a+2b+ab B. -ab C. -2a-2b+ab D. -2a+ab 【答案】 D 2、 若 a 是有理数， 那么在a+1， |a+1|， |a|+1， a 2+1 中， 一定是正数的有 （ ） A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】 B 3、.若 a0，b0，且|x-a|+|x-b|=a-b，求 x 的取值范围 【

24、答案】 解：a0，b0， a-b0， 又|x-a|+|x-b|=a-b， 即 a-x+x-b=a-b x-a0 且 x-b0， bxa； 当 x=a 时， a-x+x-b = a-a+a-b =a-b，成立； 当 x=b 时， a-x+x-b = a-b+b-b =a-b，成立； bxa 4、 （2020 七上兴化期中）已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置， （1）a+b_0；a+c_0；bc_0 用“，=”填空） （2）试化简|a+b|a+c|+|bc| 【答案】 （1）； （2）解：|a+b|a+c|+|bc|=abac+bc=2c. 要点要点 2 2：绝对值几何意义与最值：绝对值几何意

25、义与最值 【要点梳理】【要点梳理】 2 2、绝对值几何意义： 数轴上某个点的绝对值表示该点到原点的距离。 常见考查绝对值的绝对值几何意义： 数轴上某个点的绝对值表示该点到原点的距离。 常见考查绝对值的 几何意义有这几类：几何意义有这几类：|a|a- -b|b|：表示数轴上：表示数轴上 a a 点到点到 b b 点的距离；点的距离；|a+b|a+b|：表示数轴上：表示数轴上 a a 点到点到- -b b 点的距离点的距离 2 2、 最值： 绝对值几何意义考查的最大值与最小值一般考查三点或者四点之间距离和最短、 最值： 绝对值几何意义考查的最大值与最小值一般考查三点或者四点之间距离和最短 或者最长

26、。 通常有： 或者最长。 通常有： |x|x- -a|+|xa|+|x- -b|:b|:这类情况最小值是当这类情况最小值是当 x x 在两个定点之间时取值最小；在两个定点之间时取值最小； 当当 x x 在两点两端中的一侧取值最大；在两点两端中的一侧取值最大；|x|x- -a|+|xa|+|x- -b|+|xb|+|x- -c|:c|:这类情况最小值是当这类情况最小值是当 x x 在三在三 个定点之间时取值最小；当个定点之间时取值最小；当 x x 在三点两端一侧或者三点之间某个位置，具体需要分在三点两端一侧或者三点之间某个位置，具体需要分类讨类讨 论论 【典型例题】【典型例题】 1、 （2020

27、 七上仪征月考）阅读下面材料：如图，点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、 b，则 A、B 两点之间的距离可以表示为|ab|. 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： （1）数轴上表示 3 与2 的两点之间的距离是_. （2）数轴上有理数 x 与有理数 7 所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 _. （3）代数式|x+8|可以表示数轴上有理数 x 与有理数_ 所对应的两点之间的距 离；若|x+8|=5，则 x=_. （4）求代数式|x+2018|+|x+504|+|x2017|的最小值. 【答案】 （1）5 （2）|x-7| （3）8；3 或13 （4）解：如图， |x+2018|+|x

28、+504|+|x2017|的最小值，即|2017(2018)|=4035 2、同学们都知道，|5-（-2）|表示 5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与-2 两 数在数轴上所对的两点之间的距离试探索： （1）求|5-（-2）|=_； （2）找出所有符合条件的整数 x，使得|x+5|+|x-2|=7 这样的整数是_； （3）对于任何有理数 x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有， 说明理由 【答案】 （1）7 （2）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2 （3）解：|x3|+|x6|有最小值，最小值是 3， 理由：当 x6 时，|x3|+|x6|=x3

29、+x6=2x93， 当 3 x 6 时，|x3|+|x6|=x3+6x=3， 当 x3， 故|x3|+|x6|有最小值，最小值是 3. |x-3|+|x-6|有最小值，为 3 3、 （2018 七上无锡期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： 数轴上表示 5 和 2 的两点之间的距离是多少 数轴上表示2 和6 的两点之间的距离是多少 数轴上表示4 和 3 的两点之间的距离是多少 （2）归纳： 一般的，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于|mn| 应用： 如果表示数 a 和 3 的两点之间的距离是 7，则可记为：|a3|=7，求 a 的值 若数轴上表示数 a 的点位于

30、4 与 3 之间，求|a+4|+|a3|的值 当 a 取何值时，|a+4|+|a1|+|a3|的值最小，最小值是多少？请说明理由 （3） 拓展： 某一直线沿街有 2014 户居民 （相邻两户居民间隔相同） ： A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A2014 ， 某餐饮公司想为这 2014 户居民提供早餐，决定在路旁建立一 个快餐店 P，点 P 选在什么线段上，才能使这 2014 户居民到点 P 的距离总和最小. 【答案】 （1）解：数轴上表示 5 和 2 的两点之间的距离是 3 数轴上表示2 和6 的两点之间的距离是 4 数轴上表示4 和 3 的两点之间的距离是 7 （2）解：如

31、果表示数 a 和 3 的两点之间的距离是 7，则可记为：|a3|=7，a=10 或 4 若数轴上表示数 a 的点位于4 与 3 之间， |a+4|+|a3|=a+4+3a=7； 当 a=1 时，|a+4|+|a1|+|a3|取最小值，|a+4|+|a1|+|a3|最小=5+0+2=7， 理由是：a=1 时，正好是 3 与4 两点间的距离 （3）解：点 P 选在 A1007A1008这条线段上 【同步演练】【同步演练】 1、 （2020 七上无锡期中）阅读下面材料： 若点 A、B 在数轴上分别表示数 a，b，则 A、B 两点之间的距离表示为|AB| （1）数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是

32、_，数轴上表示-3 和 4 两点之间的距 离是_ （2）若数轴上点 B 表示的数是-1，且|AB| = 3，则 a=_ （3）在数轴上有三个点 A， B， C 若点 A 表示的数是-1，点 B 表示的数是 3，且|AB| + |AC| = 6 ，求点 C 表示的数 【答案】 （1）3；7 （2）-4 或 2 （3）解：点 A 表示的数是-1，点 B 表示的数是 3， |AB|=4 |AC| = 2， 点 C 表示的数为 1 或-3 2、 （2020 七上东台期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形 结合的方法使复杂问题简单化. 材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数

33、 a 的点到原点的距离；|ab|的几何 意义是：数轴上表示数 a，b 的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数 a， b 的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解. （ 1 ）|x3|4 解：由绝对值的几何意义知： 在数轴上 x 表示的点到 3 的距离等于 4 x13+47，x2341 （ 2 ）|x+2|5 解：|x+2|x（2）|，其绝对值的几何意义为：在数轴上 x 表示的点到2 的 距离等于 5.x12+53，x2257 材料二：如何求|x1|+|x+2|的最小值. 由|x1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到表示数 1 和2 两点的距

34、离的和， 要使和最小，则表示数 x 的这点必在2 和 1 之间（包括这两个端点）取值. |x1|+|x+2|的最小值是 3；由此可求解方程|x1|+|x+2|4，把数轴上表示 x 的点 记为点 P，由绝对值的几何意义知：当2x1 时，|x1|+|x+2|恒有最小值 3，所以 要使|x1|+|x+2|4 成立，则点 P 必在2 的左边或 1 的右边，且到表示数2 或 1 的 点的距离均为 0.5 个单位. 故方程|x1|+|x+2|4 的解为：x120.52.5，x21+0.51.5. 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：|x3|+|x+2|的最小值为_； （2）已知有理数 x 满足：|x

35、+3|+|x10|15，有理数 y 使得|y3|+|y+2|+|y5|的值 最小，求 xy 的值. （3）试找到符合条件的 x，使|x1|+|x2|+|xn|的值最小，并求出此时的最小 值及 x 的取值范围. 【答案】 （1）5 （2）解：|x+3|+|x10|的最小值为 13， |x+3|+|x10|15， x314 或 x10+111， |y3|+|y+2|+|y5|表示数轴上表示 y 到2，3，5 之间的距离和最小， 当 y3 时，有最小值 7， xy7 或 xy8； （3）解：|x1|+|x2|+|xn|表示数轴上点 x 到 1，2，3，n 之间的距离和最 小， 当 n 是奇数时，中间

36、的点为 1+ 2 ， 当 x 1+ 2 时，|x1|+|x2|+|xn|0+2+4+（n3）+（n1） 21 4 ， 最小值为 21 4 ； 当 n 是偶数时，中间的两个点相同为 2 ， 当 x 2 时，|x1|+|x2|+|xn|1+3+5+（n3）+（n1） 2 4 ， 最小值为 2 4 . 3、 （2020 七上无锡期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础. 若点 P 为数轴上一动点，点 P 对应的数记为 a，请你利用数轴解决以下问题： （1）若点 P 与表示有理数 2 的点的距离是 3 个单位长度，则 a 的值为_. （2）若数轴上表示数 a 的点位于5 与 2 之间

37、，则|a2|+|a+5|_. （3）代数式|a+4|+|a5|+|a1| +|a+3|的最小值是_. （4）已知点 M、N 在数轴上，点 M 对应的数是1，点 N 对应的数是 3，令点 P 在点 N 左 侧运动，在点 P、M、N 中，若其中一点与其他两个点的距离恰好满足 3 倍的数量关系， 请直接写出此时点 P 所表示的数. 【答案】 （1）5 或-1 （2）7 （3）13 （4）-13 或-3 或- 7 3 或 -9 或 2 或 0 或 1 3 或 5 3 【课后巩固】【课后巩固】 1、已知 a、b 为非零有理数，则 | + | 的值不可能为（ ） A. -2 B. 1 C. 0 D. 2

38、【答案】 B 2、如图，数轴上的三点 A，B，C 分别表示有理数 a，b，c，化简|ab|a+c|+|bc| 【答案】 解：由数轴得，c0，ab0， 因而 ab0，a+c0，bc0 原式=ba+a+c+cb=2c 3、 （2020 七上高新期中）有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示： （1）填空：a-b_0；b+1_0；2-a_0； （填“” 、 “”或“=” ） （2）化简： | | | + 1| + |2 | . 【答案】 （1）； （2）解：a-b0，b+10， | | | + 1| + |2 | =（a-b）-(-b-1)+(2-a) =a-b+b+1+2-a =3. 4、 （20

39、18 七上慈溪期中）点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离 表示为 AB，在数轴上 A、B 两点之间的距离 AB | | 利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： （1） 数轴上表示 2 和 6 两点之间的距离是_， 数轴上表示 1 和 2 的两点之间的 距离为_ （2） 数轴上表示 和 1 两点之间的距离为_， 数轴上表示 和 3 两点之间的 距离为_ （3）若 表示一个实数，且 5 3 ，化简 | 3| + | + 5| = _ ， （4）| + 3| + | 4| 的最小值为_， | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| 的最小值为_.

40、 （5）| + 1| | 3| 的最大值为_ 【答案】 （1）4；3 （2）| 1|；| + 3| （3）8 （4）7；6 （5）4 5、 （2020 七上江阴月考）数学实验室： 点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b， A、B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、 B 两点之间的距离 AB=|ab|. 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_，数轴上表示 1 和3 的两点之间 的距离是_； （2） 数轴上若点A表示的数是x， 点B表示的数是2， 则点A和B之间的距离是_， 若 AB2，那么 x 为_ ； （3）当 x 是_时，代数式 | +

41、 2| + | 1| = 5 ； （4）若点 A 表示的数1，点 B 与点 A 的距离是 10，且点 B 在点 A 的右侧，动点 P、Q 同时从 A、B 出发沿数轴正方向运动，点 P 的速度是每秒 3 个单位长度，点 Q 的速度是每 秒 1 个单位长度，则运动_ 秒后，PQ=1？ 【答案】 （1）3；4 （2）x+2；0 或-4 （3）-3 或 2 （4）5.5 秒或 4.5 6、 （2020 七上武进月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）表示3 和 2 两点之间的距离是_；一般地，数轴上表示数 m 和数 n 的两点 之间的距离等于|mn|. 如果|a+2|3，那么 a_； （2）

42、若数轴上表示数 a 的点位于4 与 2 之间，则|a+4|+|a2|的值为_； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点 x，使得|x+2|+|x5|7，这些点表示的数 的和是_； （4）当 a_时，|a+3|+|a1|+|a4|的值最小，最小值是_. 【答案】 （1）5；5 或 1 （2）6 （3）12 （4）1；7 7、 （2020 七上东海月考）同学们都知道，|4（2）|表示 4 与2 的差的绝对值， 实际上也可理解为 4 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x3|也可理 解为 x 与 3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索： （1）|4（2）|=_； （2）找出所有符

43、合条件的整数 x，使|x4|+|x+2|=8 成立； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数 x，|x3|+|x6|是否有最小值？如果有，写 出最小值；如果没有，说明理由. 【答案】 （1）6 （2）解：设-2、4、x 在数轴上所对应的点分别为 A、B、X， 则|x-4|+|x+2|=BX+AX=8，AB=|4-（-2）|=6. X 在点 A 的左边时，AX+AB+AX=2AX+6=8， AX=1， X 所对应的数是-2-1=-3； 当 X 在点 A、B 之间时，BX+AX=AB=8，与 AB=6 矛盾； X 在点 A 的右边时，AB+BX+BX=6+2BX=8， BX=1， X 所对应的数是 4+1=5. 综上所述：符合条件的整数 x 为-3 或 5； （3）解：对于任何有理数 x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为 3. 提示：设 3、6、x 在数轴上所对应的点分别为 A、B、X， 则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3. AX+BXAB， |x-3|+|x-6|3，当 X 在 A、B 之间时取等号. |x-3|+|x-6|有最小值 3.