北师大版九年级数学上思维特训(四)含答案：与四边形有关的变换问题

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1、思维特训(四) 与四边形有关的变换问题轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换，这些变换往往与特殊的平行四边形相结合，解决相关问题，需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用，还要注意特殊三角形的性质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透类型一 与轴对称相关的问题1如图 4S1，在矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且 AECG ，BFDH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( )A5 B10 C10 D155 5 3 3图 4S12如图 4S2 所示，在矩形 ABCD 中，DAC65，E 是 CD 上一点，BE 交 AC于点 F， 将B

2、CE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C处，则AFC_图 4S23如图 4S3，在矩形 ABCD 中，AB3，AD1，点 P 在线段 AB 上运动，设AP x， 现将纸片折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF(点 E，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原(1)当 x0 时，折痕 EF 的长为_；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 的长为_(2)请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围，并求出当 x2 时菱形的边长图 4S3类型二 与平移相关的问题4已知：如图 4S4，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，P 为正方形 AD 边上的一点( 不与点

3、A，D 重合) ，将正方形纸片折叠，使点 B 落在点 P 处，点 C 落在点 G 处，PG 交 DC 于点 H，折痕为 EF，连接 BP，BH.(1)求证：APBBPH；(2)当点 P 在边 AD 上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论图 4S45如图 4S5，将ABC 沿着射线 BC 方向平移至A BC，使点 A落在ACB 的外角平分线 CD 上，连接 AA.(1)判断四边形 ACCA的形状，并说明理由；(2)在ABC 中 ，B90，AB 24， ，求 CB的长ABAC 1213图 4S56如图 4S6，BD 是矩形 ABCD 的对角线，ABD30，AD 1.将BCD 沿射线

4、 BD 方向平移到BC D的位置，使 B为 BD 的中点 ，连接AB，C D，AD，BC，如图.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)四边形 ABCD的周长为_；(3)将四边形 ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形的周长图 4S6类型三 与旋转相关的问题7如图 4S7，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG，点 E 在 AD 上，延长ED 交 FG 于点 H.(1)求证：EDCHFE.(2)连接 BE，CH.四边形 BEHC 是怎样的特殊四边形？证明你的结论；当 AB 与 BC 的比值为_时，四边形 BEHC 为菱

5、形图 4S78问题情境：两张矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同，且 ABCE，ADAB.操作发现：(1)如图 4S8，点 D 在 GC 上，连接 AC，CF，EG，AG ，则 AC 和 CF 有何数量关系和位置关系？并说明理由实践探究：(2)如图，将图中的纸片 CEFG 以点 C 为旋转中心逆时针旋转，当点 D 落在 GE 上时停止旋转，则 AG 和 GF 在同一条直线上吗？并说明理由图 4S8详解详析1B 解析 如图，作点 E 关于 BC 的对称点 E，连接 EG 交 BC 于点 F.过点 G 作GGAB 于点 G.AECG， BEBE，EGAB10.GGAD 5，EG 5 .E G

6、 2 GG2 5四边形 EFGH 周长的最小值2EG 10 .故选 B.5240 解析 在矩形 ABCD 中，DAC65，ACD90DAC906525.将BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C处 ，四边形 BCEC是正方形，BEC45.由三角形外角的性质，得BFCBEC ACD452570，由翻折的性质得BFCBFC70，AFC180BFCBFC1807070 40.3解析 (1)当 x0 时，点 P 与点 A 重合，则折痕 EF 为 AD 的中垂线，满足EF ABCD ；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 为DAB 的平分线，从而构造出等腰直角三角形，利用勾股定理求

7、出 EF 的长(2)要探究四边形 EPFD 为菱形，必须始终满足对角线互相平分且 DPEF ，同时对角线 DP ，故 AP1，从而确定 AP 的取值范围；当2x2 时构造出 RtADE，借助勾股定理列出方程解出 x 的值解：(1)当 x0 时，折痕 EFABCD，EFAB3；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 为等腰直角三角形 DEF 的斜边，则 EF 的长为 .2故填：3， 2(2)要使四边形 EPFD 为菱形，必须始终满足对角线互相平分且 DPEF，同时对角线DP ，则 AP1，故 AP 的取值范围为 1x 3.2当 x2 时，如图，连接 DE，PF.EF 为折痕，DEPE，设 PEm

8、，则 AE2m .在RtADE 中，AD 2AE 2DE 2，即 1(2m) 2 m2，解得 m ，故此时菱形的边长为 .54 544解：(1)证明：由折叠知 PEBE，EBP EPB.EPHEBC90，EPHEPBEBC EBP，即BPHPBC.ADBC，APBPBC，APB BPH.(2)PDH 的周长不变，为定值 8.证明：如图，过点 B 作 BQ PH，垂足为 Q.由(1)知APBBPH.在ABP 和QBP 中，APB BPH，ABQP，BP BP，ABP QBP(AAS)，APQP ，ABBQ.又ABBC， BCBQ .又CBQH90，BHBH ，RtBCH RtBQH (HL)，

9、CHQH.PDH 的周长为 PDDHPHAPPDDHCH ADCD8.5解：(1)四边形 ACCA是菱形理由如下：由平移的性质得到 ACAC ，且ACA C，则四边形 ACCA是平行四边形，ACC AAC.CD 平分ACB 的外角，即 CD 平分ACC ，CD 也平分AAC，四边形 ACCA是菱形(2)在ABC 中，B90，AB 24， ，即 ，AC26.ABAC 1213 24AC 1213由勾股定理知 BC 10.AC2 AB2又由(1)知，四边形 ACCA是菱形，AAAC 26.由平移的性质得到 ABA B，ABAB，则四边形 ABBA是平行四边形，BBAA26，CBBBBC 26101

10、6.6解：(1)证明：BD 是矩形 ABCD 的对角线，ABD 30，ADB60.由平移可得 BCBCAD，DBCDBCADB60，AD BC， 四边形 ABCD 是平行四边形B 为 BD 的中点，在 RtABD 中，AB BDDB.12ADB60，ADB 是等边三角形，ADAB，四边形 ABCD 是菱形(2)由平移可得 ABC D，ABD CD B30，ABCD，四边形ABCD是平行四边形又由 (1)可得 ACBD，四边形 ABCD是菱形AB AD ，3 3四边形 ABCD的周长为 4 .3故答案为 4 .3(3)将四边形 ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩

11、形如下：矩形的周长为 6 或 2 3.3 37解：(1)证明：矩形 FECG 是由矩形 ABCD 旋转得到的 ，EFABCD，FEDC90，FHEC，FHECED.在EDC 和HFE 中，EDCF，CEDFHE，CDEF，EDCHFE.(2)四边形 BEHC 为平行四边形证明：EDCHFE，ECEH .矩形 FECG 是由矩形 ABCD 旋转得到的，EHECBC，EHBC，四边形BEHC 为平行四边形如图，连接 BE，CH.四边形 BEHC 为菱形，BEBC.由旋转的性质可知 BCEC，BEECBC，EBC 为等边三角形，EBC60，ABE 30，ABBE 2.3又BEBC， AB 与 BC

12、的比值为 .328解：(1)ACCF，ACCF .理由如下：矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同，且 ABCE，BCEF， BCEF90 .在ABC 和CEF 中，ABCE，BCEF，BCEF，ABCCEF(SAS)，ACCF，ACBCFE.在 RtCEF 中，CFE ECF 90，ACBECF90，ACFBCDECG( ACBECF )90909090，ACCF.(2)AG 和 GF 在同一条直线上理由如下：矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同，且 ABCE，ADGC，ADCGCE 90，CD CE，ACDGEC(SAS)，CDEDEC，ACDGEC，ACGE，ACDCDE，GEAC，四边形 ACEG 是平行四边形，AGCE.又在矩形 CEFG 中，GF CE，AG 和 GF 在同一条直线上 (过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)