2021年苏科版九年级上册第一章一元二次方程学案(一)概念及方程的根 学案(含答案)
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1、一元二次方程(一):概念及一元二次方程的解法一元二次方程(一):概念及一元二次方程的解法 知识点一:一元二次方程的定义知识点一:一元二次方程的定义 一元二次方程的三要素:只含有 1 未知数 未知数的最高次数是 2 整式方程 只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程, 不满足其中任何一个条件的方程 都不是一元二次方程.判断一个方程是不是一元二次方程,一般是先把这个方程化简, 在看是否符合一元二次方程的定义. 例 1:下面关于 x 的方程: 0 2 cbxax 1193 2 2 xx)( x x 1 3 11xx ,其中一元二次方程的是 知识点二:一元二次方程的一般形式知识点二:一元二次方程
2、的一般形式 一般形式一般形式 项及项的系数项及项的系数 其他形式其他形式 0 2 cbxax ( cba、 是常数,是常数, 0a ) 二次项:二次项: 2 ax 二次项系数:二次项系数:a 0 2 cbxax (a a、b b 是常数,是常数,a a 0 0) 一次项:一次项:bx 一次项系数:一次项系数:b 0 2 cax (a a、c c 是常数,是常数,a a0 0) 常数项:常数项:c 0 2 ax (a a 是常数,是常数,a a0 0) 0a 是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分,如果明确指出方程是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分,如果明确指出方程 0 2 cbxax
3、是一元二次方程,那么就隐含着是一元二次方程,那么就隐含着 0a 这个条件,如果出现“关于这个条件,如果出现“关于 x x 的方程”这样的语的方程”这样的语 句,就要对方程中的句,就要对方程中的 a a 进行讨论,这一点是重要的考点之一进行讨论,这一点是重要的考点之一. . 指出一元二次方程的二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要带上前面的符号指出一元二次方程的二次项系数,一次项系数,常数项时,一定要带上前面的符号. . (3 3)将一个一元二次方程化为一般形式时,方程右边一定是)将一个一元二次方程化为一般形式时,方程右边一定是 0 0 同步知识点巩固同步知识点巩固 例 2:把下列关于 x 的
4、方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项. 327)4)(21 ( 2 xxxx )a(2)1 ()1 ( 22 cbxxcxa 知识点三:一元二次方程的解知识点三:一元二次方程的解 详解 概念概念 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值, 叫做这个一使一元二次方程左右两边相等的未知数的值, 叫做这个一 元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根 判断一个数是否是一判断一个数是否是一 元二次方程的解元二次方程的解 将此数代入这个一元二次方程的左右两边,看是否相等,将此数代入这个一元二次方程的左右两边,看是否相等, 若相等,就是方程的根;若不相等,
5、就不是方程的根若相等,就是方程的根;若不相等,就不是方程的根 重点解读重点解读 (1 1)代入法是常用的检验根的方法; ()代入法是常用的检验根的方法; (2 2) 代入方程的根,) 代入方程的根, 可以求方程中的未知字母的值可以求方程中的未知字母的值 例 3: 关于 x 的一元二次方程 011 2 axxa 的一个根是 0, 则实数 a 的值是_. 知识点四:一元二次方程的解法:知识点四:一元二次方程的解法: 1.直接开平方法:适用于解形如 ax 2=b 的一元二次方程. 例:解方程: 2 9125x . 2.配方法:解形如 2 00axbxca 的一元二次方程. 例: 解方程: 2 483
6、0 xx 配方法解一元二次方程 2 00axbxca 的步骤: 解: 2 3 20 4 xx 二次项系数化为1. (两边都除以 .) 2 3 2 4 xx 移项.(把常数项移到=号右边.) 222 3 211 4 xx 配方.(两边都加上) 21 1 4 x 配方.(化成 2 xmn 的形式) 1 1 2 x 求解.( 若 0n ,直接开平方法得出方程的解.) 则方程的解为: 1 13 1 22 x ; 2 11 1 22 x . 3.3.公式法: 设一元二次方程为公式法: 设一元二次方程为 2 00axbxca , 其根的判别式为:, 其根的判别式为: 2 4bac ,1 x , 2 x 是
7、方程的两根,则:是方程的两根,则: 0 方程方程 2 00axbxca 有有 2 1,2 4 2 bbac x a 0方程 方程 2 00axbxca 有有 12 2 b xx a 0 方程方程 2 00axbxca 若若a、b、c为有理数,且为有理数,且为完全平方式,则方程的解为有理根;为完全平方式,则方程的解为有理根; 若若为完全平方式,同时为完全平方式,同时 2 4bbac 是是2a的整数倍,则方程的根为整数根的整数倍,则方程的根为整数根 例:解方程: 2 273xx 公式法解一元二次方程的步骤: 解: 2 2730 xx 把方程化为一般形式: 2 00axbxca 2a , 7b ,
8、3c 确定a,b,c的值. 2 2 474 23730bac 、求出 2 4bac 的值. 773773 2 24 x 若 2 40bac ,则代入公式求方程的根 1 773 4 x , 2 773 4 x 若 2 40bac ,则方程无解. 4.4.因式分解法:适用于方程一边是零,另一边是一个易于分解的多项式因式分解法:适用于方程一边是零,另一边是一个易于分解的多项式 (1 1)提公因式分解因式法:)提公因式分解因式法: 解方程: 2 50 xx 解方程: 2 3230 xx x 解:原方程可变形为: 解:原方程可变形为: 50 x x 33 20 xxx 0 x 或 50 x 30 x 或
9、 3 20 xx 1 0 x , 2 5x 1 3x , 2 1x (2 2)运用公式分解因式法:)运用公式分解因式法: 解方程: 22 213xx 解方程: 2 2 6952xxx 解:原方程可变形为: 解:原方程可变形为: 22 2130 xx 22 352xx 21 321 30 xxxx 22 3520 xx 2 1 30 xx 或2 1 30 xx 3 5 23 520 xxxx 1 2x , 2 4 3 x 3 5 20 xx 或 3 5 20 xx 1 2x , 2 8 3 x (3 3)十字相乘分解因式法)十字相乘分解因式法( (简单、常用、重要的一元二次方程解法简单、常用、重
10、要的一元二次方程解法) ): 例 6:解方程: 2 560 xx 解:原方程可变形为: 十字相乘法: 交叉相乘:, 即等于一次项系数。所以 可以分解成 610 xx 60 x 或 10 x 1 6x , 2 1x (4 4)其它常见类型举例:)其它常见类型举例: 例 7:解方程: 138xx 解方程: 2 2 2 1xx xx (换元法) 解: 原方程可变形为: 2 450 xx 解: 令 2 yxx , 原方程可化为: 2 1y y 510 xx 即: 2 20yy , 210yy 50 x 或 10 x 20y 或 10y 1 5x , 2 1x 1 2y , 2 1y 2 2xx ,即
11、2 20 xx 210 xx , 1 2x , 2 1x 或 2 1xx ,即 2 10 xx 1a , 1b , 1c 22 414 1 130bac 方程 2 +1=0 xx 无解。 原方程的解为: 1 2x , 2 1x 1下列关于 x 的方程中,是一元二次方程的为( ) Aax2+bx+c0 Bx21 C2x+3y50 Dx210 【解答】解:A、a0,b0 时,是一元一次方程,故 A 错误; B、是分式方程,故 B 错误; C、是二元一次方程,故 C 错误; 同步训练同步训练 D、是一元二次方程,故 D 正确 故选:D 2方程 x2+m0 有实数根的条件是( ) Am0 Bm0 Cm
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