第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷(含答案)2021年秋人教版A版高中数学选择性必修第一册
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1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C 解析 抛物线的焦点到准线的距离为 p4. 2.已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程 是( ) A.y 5x B.y 5 5 x C.y 3x D.y 3 3 x 答案 D 解析 y28x 的焦点是(2,0), 双曲线 x2 a2y 21
2、的半焦距 c2, 又虚半轴长 b1 且 a0,所以 a 2212 3, 双曲线的渐近线方程是 y 3 3 x. 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆的上顶点.依题意可知,BF1F2是正 三角形,因为在 RtOBF2中,|OF2|c,|BF2|a,OF2B60 ,所以 cos 60 c a 1 2,即椭 圆的离心率 e1 2. 4.从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|4,设抛 物线的
3、焦点为 F,则直线 PF 的斜率为( ) A. 3 3 B. 3 2 C. 3 D.2 3 答案 C 解析 设 P(x0,y0),依题意可知抛物线准线为 x1, 所以 x0413,所以 y02 3, 所以 P(3,2 3),F(1,0), 所以直线 PF 的斜率 k 2 3 31 3.故选 C. 5.动点到点(3,0)的距离比它到直线 x2 的距离大 1,则动点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 答案 D 解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x3 的距离”,由抛物线 的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选 D. 6.直线 ykx1 与椭
4、圆x 2 5 y2 m1 总有公共点,则 m 的取值范围是( ) A.(1,) B.(0,1)(1,) C.1,5)(5,) D.(0,1)(1,5) 答案 C 解析 直线 ykx1 过定点(0, 1), 只需该点落在椭圆内或椭圆上, 0 2 5 1 2 m1, 解得 m1, 又 m5,故选 C. 7.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂 直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1 3 2 D.1 5 2 答案 D 解析 不妨设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0,b0),则可令 F(c,0),B(0,b),直线 F
5、B:bxcy bc0 与渐近线 yb ax 垂直, 所以 b c b a1, 即 b 2ac, 所以 c2a2ac, 即 e2e10, 所以 e1 5 2 或 e1 5 2 (舍去). 8.设抛物线 C: y24x 的焦点为 F, 过点(2, 0)且斜率为2 3的直线与 C 交于 M, N 两点, 则FM FN ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D 解析 法一 过点(2,0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2),由 y2 3(x2), y24x 消 y 得 x25x40, 解得 x1 或 x4, 所以 x1, y2 或 x4, y4. 不妨设 M(1, 2), N(4,
6、 4), 易知 F(1, 0),所以FM (0,2),FN (3,4),所以FM FN 8.故选 D. 法二 过点(2,0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2),由 y2 3(x2), y24x 消 y 得 x25x 40.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y10,y20,根据根与系数的关系,得 x1x25,x1x2 4.易知 F(1,0),所以FM (x11,y1),FN (x 21,y2),所以FM FN (x11)(x21)y1y2 x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出
7、的四个选项中,有多项符 合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分) 9.如果方程x 2 a2 y2 a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围可以是( ) A.(,2) B.(3,) C.(6,2) D.(3,) 答案 BC 解析 焦点在 x 轴上, 则标准方程中 a2a6, 解得 a3 或 a0, a60, 得 a6, 所以 a3 或6a0y2,则由根与系数的 关系得,y1y24m,y1y24, |AF|3|BF|,y13y2, 由 y 1y24, y13y2 解得 y2 2 3 2 3 3 ,y12 3. my 1y2 4 3 3 , 直线
8、 l 的方程为 x 3 3 y1,即 y 3(x1). 由对称性知,这样的直线有两条. 即 y 3(x1).故选 AD. 11.方程 x2 4t y2 t11 表示曲线 C,给出以下命题正确的是( ) A.曲线 C 不可能为圆 B.若 1t4,则曲线 C 为椭圆 C.若曲线 C 为双曲线,则 t4 D.若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1t5 2. 答案 CD 解析 显然当 t5 2时,曲线为 x 2y23 2,方程表示一个圆,而当 1t4,且 t 5 2时,方程表示 椭圆;当 t4 时,方程表示双曲线;而当 1tt10,方程表示焦点在 x 轴 上的椭圆,故选 CD. 12.已知椭圆
9、C: x2 m y2 m41(m4)的右焦点为 F,点 A(2,2)为椭圆 C 内一点.若椭圆 C 上存 在一点 P,使得|PA|PF|8,则 m 的值可以为( ) A.62 5 B.64 5 C.24 D.25 答案 BCD 解析 设椭圆的左焦点为 F,则 F(2,0),由点 A 在椭圆内部得 4 m 4 m44,解 得 m62 5,根据椭圆的定义及|PA|PF|8 得|PA|PF|82 m|,又当 P,F,A 三点 共线时|PA|PF|最大,从而|82 m|AF|2,解得 9m25,综上,62 50), 则p 24,即 p8,抛物线的标准方程为 y 216x. 14.在平面直角坐标系 xO
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