第三章 概率的进一步认识 单元测试（含答案解析）2021-2022学年北师大版九年级数学上册

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1、第三章第三章 概率的进一步认识概率的进一步认识 （满分（满分 150 分，时间分，时间 120 分钟）分钟） A 卷（共卷（共 100 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分，每小题均有四个选项，其中只有一分，每小题均有四个选项，其中只有一 项符合题目要求，答案涂在答题卡上）项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1下列说法正确的是（ ） A若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯 B某篮球运动员 2 次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为 50% C若某种彩票中奖的概率是 1%，则买 100 张该种彩票一

2、定会中奖 D“明天我市会下雨”是随机事件 2如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ） A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 3关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）. A频率等于概率 B当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D实验得到的频率与概率不可能相等 4让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则 这两个数的和是 2 的倍数或是 3 的倍数的概率等于（ ） A 3 16 B 3 8 C 5 8 D 13 16 5某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演

3、讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、 乙同学获得前两名的概率是（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 6某事件发生的概率为 1 4 ，则下列说法不正确的是（ ） A无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在 1 4 左右 B无数次实验中，该事件平均每4次出现1次 C每做4次实验，该事件就发生1 次 D逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和1 4 逐渐接近 7如图，用，表示三张背面完全相同的纸牌，正面分别写有3个不同的条件，小明将这三张纸片 背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回） ，再随机抽出一张抽得的条件能判断四边形ABCD为平行四边 形的概率是（ ） A 1

4、2 B 1 3 C 2 3 D 3 4 8小红、小明在玩“剪刀、石头、布”游戏，小红给自己一个规定：-直不出“石头”.小红、小明获胜的概率分 别是 1 P， 2 P，则下列结论正确的是（ ） A 12 =P P B 12 P P C 12 P P C 12 P P D 12 PP 【答案】A 【分析】列表或画树状图，列出所有可能情况，再根据概率公式求解. 【解析】画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的情况有 6 种，其中小红获胜的情况有 2 种，小明获胜的情况有 2 种，则 12 21 63 PP.故选 A. 【点睛】考核知识点：求概率.画出树状图是关键. 9在一个不透明的袋子中，装有红色

5、、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其它完全相同若小李 通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则该袋子中的白色球可能有 ( ) A6 个 B16 个 C18 个 D24 个 【答案】B 【分析】 先由频率之和为 1 计算出白球的频率， 再由数据总数 频率=频数计算白球的个数， 即可求出答案 【解析】摸到红色球、黑色球的频率稳定在 0.15 和 0.45，摸到白球的频率为 1-0.15-0.45=0.4， 故口袋中白色球的个数可能是 40 0.4=16 个 故选：B 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率

6、=所求 情况数与总情况数之比 10一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 六个点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝 上一面的点数记为 x，掷第二次，将朝上一面的点数记为 y，则点(x，y)落在直线 yx 上的概率为( ) A 1 18 B 1 12 C 1 6 D 1 4 【答案】C 【分析】列举出所有情况，看落在直线 y=x 上的情况占总情况的多少即可 【解析】共有 36 种情况，落在直线 y=x 上的情况有（1，1） （2，2） （3，3） （4，4） （5，5） （6，6）6 种情 况，概率是 1 6 ，故选 C 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，

7、3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 16 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 11任意投挪一枚均匀的骰子，点数大

8、于 4 的概率是_ 【答案】 1 3 【分析】 由任意抛掷一枚均匀的骰子一次， 朝上的点数大于 4 的有 2 种情况， 直接利用概率公式求解即可求得答案 【解析】解：任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于 4 的有 2 种情况， 任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于 4 的概率等于： 21 63 故答案为： 1 3 【点睛】此题考查了概率公式的应用，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键 12在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出 一个球，摸到黄球的概率是 4 5 ，则n_ 【答案】8 【分析】根据概率公式列出方程求解

9、即可 【解析】在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，共有(2+n)个球，其中黄球 n 个， 根据概率公式知：P(摸到黄球)= 4 25 n n ，解得 n=8. 故答案为 8. 【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于根据概率公式列出方程. 13身高相同的小刚和小美站在一盏路灯下的不同位置，已知小刚的影子比小美长，我们可以判定小刚离 灯较_ 【答案】远 【分析】根据中心投影的特点判断即可 【解析】中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离 点光源远的物体它的影子长所以小刚离灯较远 故答案为：远. 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律中

10、心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在 灯光下， 离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长 等长的物体平行于地面放置时， 在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短 14如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部 分铺黑色石子，其余部分铺白色石子.小鹏在规定地点随机向图案内投掷小球，每个小球都能落在图案内， 经过多次试验，发现落在一、三、五环（阴影）内的概率分别是0.04，0.2，0.36.如果最大圆的半径是1m， 那么铺黑色石子区域的总面积为_ 2 m. （3.14，结果精确到0.01

11、） 【答案】1.88 【分析】 根据几何概率意义得铺黑色石子区域的面积约是最大圆面积的60%. 【解析】 因为经过多次试验发现落在一、三、五环内的概率分别为0.04，0.2，0.36，所以小球落在阴影部分的概率 为0.040.20.360.6，那么铺黑色石子区域的面积约是最大圆面积的60%.所以铺黑色石子区域的总面积 约 22 0.610.6 3.141.88 m . 故答案为 1.88 【点睛】 考核知识点：几何概率.理解几何概率的意义是关键.从面积比求概率. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 15

12、一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，除汉字不同之外，小球没 有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球 1若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“峰”的概率； 2从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“喜 迎”或“峰会”的概率 【答案】 （1） 1 4 ； （2） 1 3 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2） 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“喜 迎”或“峰会”的情况，再利用概率公式即可求得答案； 【解析】 解： （1）有汉字“喜”、

13、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，任取一球，共有 4 种不同结果，球上汉字是“峰” 的概率为 1 4 （2）画树状图如下： 所有等可能的情况有 12 种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的情况有 4 种， 取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的概率： 41. 123 【点睛】 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比注意掌握放回 试验与不放回实验的区别 16 （1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩 如下表所示： 应聘者 专业知识 讲课 答辩 甲 70 85 80 乙 90 85

14、 75 丙 80 90 85 按照招聘简章要求， 对专业知识、讲课、答辩三项赋权 5：4：1 请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看， 应该录取谁？ （2）我市举行了某学科实验操作考试，有 A、B、C、D 四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考 试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验小王，小张，小厉都参加了本次考试 小厉参加实验 D 考试的概率是 ； 用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率 【答案】 （1）见解析； （2） 1 4 ；小王、小张抽到同一个实验的概率为 1 4 【分析】 (1)由加权平均数公式求解即可； （2）直接运用简单概率求法可得结果 1 4 ；用列表法列

15、出所有可能情况，再 计算概率. 【解析】 解：分 分 分 因为乙的平均成绩最高， 所以应该录取乙； （2）小厉参加实验 D 考试的概率是 1 4 ， 故答案为 1 4 ； 解：列表如下： A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 所有等可能的情况有 16 种，其中两位同学抽到同一实验的情况有 AA，BB，CC，DD，4 种情况， 所以小王、小张抽到同一个实验的概率为 4 16 = 1 4 【点睛】 本题考核知识点：加权平均数，概率. 解题关键点：熟记加权平均数公式，用列举法求概率. 17某商场进行有奖促销活动

16、，规定顾客购物达到一定金额就可以获得一次转动转盘的机会（如图） ，当转 盘停止转动时指针落在哪一区域就可获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘） 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 落在“10 元兑换券”的次数 m 68 111 136 345 564 701 落在“10 元兑换券”的频率 m n 0.68 a 0.68 0.69 b 0.701 （1）a 的值为 ，b 的值为 ； （2）假如你去转动该转盘一次，获得“10 元兑换券”的概率约是 ； （结果精确到 0.01） （3） 根据 （2） 的结果， 在该转盘中表示“20 元兑换券”区

17、域的扇形的圆心角大约是多少度？ （结果精确到 1 ） 【答案】 （1）0.74、0.705； （2）0.70； （3）108 【分析】 （1）根据频率 m n ，计算即可； （2）由表可知，随着转动次数越大，频率逐渐稳定在 0.70 附近，可估计概 率； （3）在该转盘中表示“20 元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是 360 0.3. 【解析】 （1）a=111 150=0.74、b=564 800=0.705，故答案为 0.74、0.705； （2）由表可知，随着转动次数越大，频率逐渐稳定在 0.70 附近， 所以获得“10 元兑换券”的概率约是 0.70，故答案为 0.70； （3）在该转

18、盘中表示“20 元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是 360 0.3=108 【点睛】本题考核知识点：用频率表示概率. 解题关键点：理解频率的意义. 18在一只不透明的袋中，装着标有数字 3，4，5，7 的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中 随机各摸出 1 个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于 9 时小明获胜，反之小东获胜 （1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由 【答案】 （1） 1 3 ； （2）不公平 【解析】 试题分析： （1）画出树状图，再根据概率公式即可得出答案； （2）分别求出小明和小东的概率，再进行比较即可得出答案 试题解

19、析： （1）根据题意画图如下： 从表中可以看出所有可能结果共有 12 种，其中数字之和小于 9 的有 4 种，P（小明获胜）= 4 12 = 1 3 ； （2）P（小明获胜）= 1 3 ，P（小东获胜）= 1 1 3 = 2 3 ，这个游戏不公平 考点：1游戏公平性；2列表法与树状图法 19在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字 1，2，3 （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当 转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形

20、中的数字，求这两个数字之和是 3 的倍数的概率（用画树状图 或列表等方法求解） 【答案】 （1） 2 3 ； （2）见解析， 1 3 【分析】 （1）由标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个，利用概率公式计算可得； （2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是 3 的倍数的情况数，再根据概率公式 即可得出答案 【解析】 （1）在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 2 3 故答案为： 2 3 ； （2）列表如下： 1 2 3 1 (1，1) (2，1) (3，1) 2 (1，2

21、) (2，2) (3，2) 3 (1，3) (2，3) (3，3) 由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有 3 种， 所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为 31 93 【点睛】 本题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 20在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做摸球实验，将 球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中， 不断重复下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 59 96 116

22、 290 480 601 摸到白球的频率 m n 0.64 0.58 0.60 0.601 （1）完成上表； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到 0.1） ； （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【答案】 （1）0.59，0.58； （2）0.6； （3）黑球 8 个，白球 12 个 【分析】 （1）将 m 和 n 的值分别代入求解即可得出答案； （2）根据表中数据，取平均值即可得出答案； （3）根据总数和摸到白球的概率求出白球的个数，再用总数减去白球的个数，即可得出答案. 【解析】 （1）填表如下： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸

23、到白球的次数 m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 m n 0.59 0.64 0.58 0.58 0.60 0.601 （2）“摸到白球”的概率的估计值是 0.60； （3）由（2）摸到白球的概率为 0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数20 0.612（个） ， 黑球 20128（个） 答：黑球 8 个，白球 12 个 【点睛】本题考查的是数据统计，难度系数较低，解题关键是用样本概率估计总体概率. B 卷（共卷（共 50 分）分） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 5 个小題，每小題个小題，每小題 4分，共分，共 20 分，答案写在答题卡上）分，答案

24、写在答题卡上） 21某鱼塘里养了 200 条鲤鱼若干条草鱼和 150 条罗非鱼，该鱼塘主人通过多次捕捞试验后发现，捕捞到 草鱼的频率稳定在 0.5 附近若该鱼塘主人随机在鱼塘捕捞-条鱼，则估计捞到鲤鱼的概率为_. 【答案】 2 7 【分析】 设鱼塘里养了x条草鱼，根据题意，得0.5 200150 x x ，求出草鱼，再求概率. 【解析】 设鱼塘里养了x条草鱼，根据题意，得0.5 200150 x x ，解得350 x， 经检验，350 x是原分式方程的根，所以P（捞到鲤鱼） 2002 200350 1507 . 故答案为： 2 7 【点睛】 考核知识点：用概率公式求概率.先求出草鱼数量再求所占

25、比例是关键. 22 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 5 个白球和若干个红球， 在不允许将球倒出来数的前提下， 小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色， 然后把它放回口袋中不断重复上述过程小亮共摸了 100 次，其中有 10 次摸到白球因此小亮估计口袋 中的红球大约有_ 【答案】45 个 【解析】 试题分析：100 次中有 10 次摸到白球，根据等可能事件的概率计算公式，1 次就摸到白球的概率为 101 10010 P ，设口袋中红球有x个，则 51 510 x ，解得 45x ，故可估计口袋中的红球大约有 45 个. 考点：等可能试

26、验中事件的概率计算. 23 张凯家购置了一辆新车， 爸爸妈妈商议确定车牌号， 前三位选定为 8ZK 后， 对后两位数字意见有分歧， 最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数， 续在 8ZK 之后，则选中的车牌号为 8ZK86 的概率是_ 【答案】 1 3 【分析】 先得出四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字组成两位数的可能，再得出是 86 的可能，根据概率公式 即可求解 【解析】 解：如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数的可能有 6 种， 其中是 86 的可能有 2 种，故选中的车牌号为 8ZK86 的概率是=

27、 2 6 = 1 3 【点睛】 本题考查了概率公式，解答时注意：概率=所求情况数与总情况数之比 24在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入 10 个仅颜色与红球不同的白色小球，均匀混 合后，有放回的随机摸取 30 次，有 10 次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_ 【答案】20 【分析】 利用频率估计概率，设原来红球个数为 x 个，根据摸取 30 次，有 10 次摸到白色小球结合概率公式可得关 于 x 的方程，解方程即可得. 【解析】设原来红球个数为 x 个， 则有 10 10 x = 10 30 ，解得，x=20， 经检验 x=20 是原方程的根.故答案为 20.

28、 【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解 方法是解题的关键. 25一只不透明的布袋中有三种小球(除颜色以外没有任何区别)，分别是 2 个红球，3 个白球和 5 个黑球， 每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀在连续 9 次摸出的都是黑球的情况下，第 10 次摸出红球的概率 是_. 【答案】 1 5 【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概 率的公式 【解析】因为每次只摸出一只小球时，布袋中共有小球 10 个，其中红球 2 个， 所以第 10 次摸出红球的概率是 21 = 105 故答案为 1

29、 5 . 【点睛】 此题考查概率的求法： 如果一个事件有 n 种可能， 而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果， 那么事件 A 的概率 P（A）= m n 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分解答过程写在答题卡上）分解答过程写在答题卡上） 26爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字1，0，1 且背面完全相同的卡 片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为 p 的值，然后将卡片放回并洗匀， 乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为 q 值，两次结果记为( , ) p q （1）请你帮他

30、们用树状图或列表法表示( , ) p q所有可能出现的结果； （2）求满足关于 x 的方程 2 0 xpxq没有实数根的概率 【答案】 （1）见解析（2） 1 3 【解析】(1)画树状图得： 则共有 9 种等可能的结果； (2)方程 2 0 xpxq没有实数解,即=p24q0， 由(1)可得：满足=p 24q0 的有：(1,1),(0,1),(1,1)， 满足关于 x 的方程 x2+px+q=0 没有实数解的概率为： 31 = 93 【点睛】此题考查列表法与树状图法，根的判别式，掌握运算法则是解题关键 27在不透明的袋子中有四张标着数字 1，2，3，4 的卡片（除数字外，其他均相同） ，小明小

31、华两人按照 各自的规则玩抽卡片游戏小明画出树状图如图所示： 小华列出表格如下： 第二次 第一次 1 2 3 4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,2 2,4 3 3,1 3,2 3,3 3,4 4 4,1 4,2 4,3 4,4 回答下列问题： （1）根据小明画出的树状图分析，他的游戏规则是随机抽出一张卡片后_（填“放回”或“不放回”） ， 再随机抽出一张卡片； （2）根据小华的游戏规则，表格中表示的有序数对为_； （3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为小明和小华谁获胜的可能性大?为什么? 【答案】1）不放回； （2） （2，3） ； （3）小明获胜的可能性大，理由

32、见解析 【分析】 （1）观察题中的树状图知，第一次摸出的数字没有在第-二次中出现，所以小明的游戏是一个不放 回游戏；2）观察题中的表格发现有序数对的第一个数字表示第一次抽出的卡片上的数字，第二个数字表示 第二次抽出的卡片上的数字； （3）根据规则，比较概率可得. 【解析】 （1）不放回 观察题中的树状图知，第一次摸出的数字没有在第-二次中出现，所以小明的游戏是一个不放回游戏. 22,3，观察题中的表格发现有序数对的第一个数字表示第一次抽出的卡片上的数字，第二个数字表示 第二次抽出的卡片上的数字，则表格中表示的有序数对为2,3. （3）小明获胜的可能性大.理由如下： 根据小明的游戏规则，共有 1

33、2 种等可能的结果，数字之和为奇数的有 8 种，所以小明获胜的概率为 82 123 . 根据小华的游戏规则，共有 16 种等可能的结果，数字之和为奇数的有 8 种，所以小华获胜的概率为 81 162 . 因为 21 32 ，所以小明获胜的可能性大. 【点睛】 考核知识点:概率与游戏的公平性.理解游戏的规则，列表求出所有可能情况，通过比较概率求解是关键. 28从一副52张（没有大小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下列表中 部分数据： 试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68

34、 80 91 100 出现方块的频率 0.275 0.225 0.250 0.250 0.245 0.263 0.243 0.253 0.253 （1）将数据表补充完整； （2）从表中可以估计出现方块的概率是_. （3）从这副扑克牌中取出两组牌，分别是方块 1，2， 3 和红桃 1， 2，3 ，将它们背面朗上分别重新洗牌后， 从两组牌中各摸出一张，若摸出的两张牌的牌面数字之和等于 3，则甲方赢；若摸出的两张牌的牌面数字之 和等于 4，则乙方赢你认为这个游戏对双方是公平的吗?若不是，有利于谁?请你用概率知识（列表或画树状 图）分析说明. 【答案】 （1）见解析； （2） 1 4 ； （3）不公平

35、的，有利于乙方 【分析】 （1）根据频率的意义补全表格； （2）从表中分析频率稳定水平，可得概率； （3）列表求出概率， 再进行比较. 【解析】 （1）补全表格如下： 试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 30 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 0.275 0.225 0.250 0.250 0.245 0.263 0.243 0.250 0.253 0.250 （2）从表中得出，出现方块的频率稳定在0.250附近，故可以估计出现方块的概率为 1 4 . （3）列表如下： 由表可知所有等可能的结果有 9 种，其中甲方赢的结果有 2 种，乙方赢的结果有 3 种. 所以P（甲方赢） 2 9 ，P（乙方赢） 21 93 ，所以P（乙方赢）P（甲方赢） ， 所以这个游戏对双方是不公平的，有利于乙方. 【点睛】考核知识点:概率与游戏的公平性.理解游戏的规则，列表求出所有可能情况是关键.