第二章 一元二次方程 单元测试（含答案解析）2021-2022学年北师大版九年级数学上册

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1、第一章 特殊平行四边形（满分150分，时间120分钟）A卷（共100分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）ABCD2用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）ABCD3方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A12B15C12或15D不能确定4如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则

2、可以列出关于x的方程是（）Ax（262x）=80Bx（242x）=80C（x1）（262x）=80D（x-1）（252x）=805若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）A1或4B-1或-4C-1或4D1或-46方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）A-2或3B3C-2D-3或27对于任意实数，多项式的值是一个（ ）A正数B负数C非负数D不能确定 8已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）ABC且D9已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判断10某校办工厂生产的某种产品，今年产量为20

3、0件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件若设这个百分数为，则可列方程（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11方程的解为_12关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_.13若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_14在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15解下列方程：（1）x8x10 （2）3

4、x（x1）22x 16如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？ 17已知关于的方程（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根 18已知关于x的一元二次方程x2-x+p-1=0有两个实数根x1,x2当(x12-x1-2)(x22-x2-1)=12时，求p的值 19某市为了加快保障性住房建设，2015年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2017年年底，将累计投入10.5亿元资金用于保

5、障性住房建设（1）求到2017年年底，这两年中投入资金的年平均增长率（只需列出方程）（2）设（1）中方程的两根分别为，且的值为12，求的值 20已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）21关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是_ 22已知关于x的一元二次方程x2+（2k

6、+3）x+k20有两个不相等的实数根x1，x2若1，则k的值为_ 23设是一元二次方程的两个根，则_ 24若实数满足，则_ 25设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为_. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分解答过程写在答题卡上）26国家发改委公布的商品房销售明码标价规定，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售（1）

7、求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择：打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？27在矩形ABCD中，AB6 cm，BC12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s问：(1)几秒后PBQ的面积等于8 cm2?(2)是否存在t，使PDQ的面积等于26 cm2? 28如图，在矩形中，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、

8、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？第一章 特殊平行四边形（满分150分，时间120分钟）A卷（共100分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案【解析】解：A、原方程可化为，是一元二次方程，故本项正确；B、不是

9、整式方程，故本项错误；C、当时，是一元一次方程，故本项错误；D、原方程可化为，不是一元二次方程，故本项错误；故选择：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是22用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据用配方法解一元二次方程的方法解答即可【解析】解：移项，得，方程两边同时加上4，得，即故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握配方的方法是解题的关键3方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A12B

10、15C12或15D不能确定【答案】B【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长【解析】解：方程变形得：，解得：，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为66315，故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论4如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（）Ax（262x）=80Bx（242x

11、）=80C（x1）（262x）=80D（x-1）（252x）=80【答案】A【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，然后根据花圃面积为80m2列关于x的一元一次方程即可【解析】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m由题意得：x（26-2x）=80故答案为A【点睛】本题考查了根据题意列一元二次方程，理解题意、设出未知数、表示出相关的量、找到等量关系列方程是解答本题的关键5若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）A1或4B-1或-4C-1或4D1或-4【答案】B【分析】把代入关于x的方程，得到，解关于m的方程即可【解析】解：是关

12、于x的一元二次方程的一个根，解得故选B【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m的方程是解题关键6方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）A-2或3B3C-2D-3或2【答案】C【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题【解析】解：x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，m+6=m2，解得m=3或m=-2，方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等

13、的实数根，=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0解得m=6或m=-2，m=-2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式=b2-4ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=7对于任意实数，多项式的值是一个（ ）A正数B负数C非负数D不能确定【答案】A【分析】配方可得：x2-2x+3=x2-2x+1+2=（x-1）2+22.【解析】x2-2x+3=x2-2

14、x+1+2=（x-1）2+2,因为一个数的平方大于等于零，所以原式2，故选A.【点睛】本题考核知识点：配方的应用. 解题关键点：掌握配方的方法.8已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）ABC且D【答案】C【分析】根据方程有两个实数根列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可【解析】关于x的一元二次方程（a1）x22x10有两个实数根，解得a2且a1故选：C【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2bxc0（a0）的根与b24ac的关系是解答此题的关键9已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判

15、断【答案】C【分析】根据=只要说明这个式子的值的符号问题即可求解，根据三角形的三边关系即可判断.【解析】=a，b，c分别是三角形的三边，a+bc，c+a+b0，c-a-b0，0，则方程没有实数根故选C.【点睛】本题综合考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式.10某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件若设这个百分数为，则可列方程（）ABCD【答案】B【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x【解析】已设这个百

16、分数为x200+200（1+x）+200（1+x）2=1400故选B【点睛】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11方程的解为_【答案】或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解【解析】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,x1=3，x2=-5故答案是:3或-5【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式12关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_.【答案】【解析】分析：根据题意可得=0，进而可得k

17、2-4=0，再解即可解析：由题意得：=k2-4=0，解得：k=2，故答案为2点睛：此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根13若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_【答案】且【分析】根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k的不等式，然后解不等式即可求解【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是且，故答案为：且【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟

18、练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键14在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_【答案】10%【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为7000（1x），12月份的房价为7000（1x）2，然后根据12月份的价格即可列出方程解决问题【解析】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，由题意，得：7000（1x）25670，解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去）故答案为：10%【点睛】本题是一道一元二次方程的应用题，与实际生活结

19、合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15解下列方程：（1）x8x10 （2）3x（x1）22x【答案】（1）；（2），【分析】（1）利用配方法将方程化为，直接开平方即可求解；（2）利用因式分解法将方程化为，即可求解【解析】解：（1）；（2）或，【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键16如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？【答案】1米【分析】设道

20、路宽为x米，根据题意列出一元二次方程即可求出结论【解析】设道路宽为x米，依题意得： 解得（不合题意，舍去）答：道路宽为1米【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键17已知关于的方程（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根【答案】（1）m；（2）x1=0,x2=2.【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足b24ac0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即0，可以解得m，在m的范围内选取一个合适的整数求解就可以【解析】解:(1)=-2（m

21、+1)-41m=8m+4 方程有两个实数根 0，即8m+40，解得，m- （2）选取一个整数0，则原方程为， x-2x=0 解得x1=0,x2=2.【点睛】此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根18已知关于x的一元二次方程x2-x+p-1=0有两个实数根x1,x2当(x12-x1-2)(x22-x2-1)=12时，求p的值【答案】p的值是-4【解析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的解的定义得到x12-x1+p-10，则有x12-x1

22、=-p+1，同理可得x22-x2=-p+1然后把它们整体代入所给等式中得到(-p+1-2)(-p+1-1)=12，解方程求出p，然后根据一元二次方ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac的意义得到0，即(-1)2-41(p-1)0，解不等式即可得到p的取值范围；满足p的取值范围的值即为所求【解析】一元二次方程x2-x+p-1=0有两个实数根x1,x2，x12-x1+p-1=0，x12-x1=-p+1同理可得x22-x2=-p+1(x12-x1-2)(x22-x2-1)=12，(-p+1-2)(-p+1-1)=12，解得p1=-4，p2=3一元二次方程x2-x+p-1=0有两个实数

23、根x1,x2，(-1)2-41(p-1)0，解得p54，p的值是-4【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根与系数的关系结合(x12-x1-2)(x22-x2-1)=12，求出p值；（2）牢记“当0时，方程有两个实数根”.19某市为了加快保障性住房建设，2015年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2017年年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设（1）求到2017年年底，这两年中投入资金的年平均增长率（只需列出方程）（2）设（1）中方程的两根分别为，且的值为12，求的值【答案】（1）；（2）或【分析】（1）设到2017年年

24、底，这两年中投入资金的年平均增长率为，根据题意即可列出一元二次方程；（2）先化简方程，再根据根与系数的关系得到，的值，代入即可求出m .【解析】解：（1）设到2017年年底，这两年中投入资金的年平均增长率为，根据题意得（2）由（1）得，由根与系数的关系得，又，即，解得或【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程及根与系数的关系的运用.20已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；

25、（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【答案】(1) ABC是等腰三角形；(2)ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=1【解析】试题分析：（1）直接将x=1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断ABC的形状；（3）利用ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可试题解析：（1）ABC是等腰三角形；理由：x=1是方程的根，（a+c）（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0

26、，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2，ABC是直角三角形；（3）当ABC是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1考点：一元二次方程的应用 B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）21关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是_【答案】6【分析】把x0代入一元二次方程（m1）x26xm2m0得出m2m0，求出m0，代入方程，解方程即可求出方程的另一个根【解析】把x0代入方程（m1）x26xm2m0得出m2m0，解得：m0或1，方程（m1）x26xm2m0是一元

27、二次方程，m10，解得：m1，m0，代入方程得：x26x0，x（x6）0，x10，x26，即方程的另一个根为6故答案为：6【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义的应用，解题的关键是求出m的值22已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k20有两个不相等的实数根x1，x2若1，则k的值为_【答案】3【分析】利用根与系数的关系结合1可得出关于k的方程，解之可得出k的值，由方程的系数结合根的判别式0可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解【解析】关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k20的两根为x1，x2，x1+x2（2k+3），x1x

28、2k2，1，解得：k11，k23关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k20有两个不相等的实数根，（2k+3）24k20，解得：k，k11舍去k=3.故答案为3【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.23设是一元二次方程的两个根，则_【答案】【解析】【分析】把代入原方程得到，故可进行求解.【解析】把代入原方程得到，-8-8=-16，故填：-16.【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程.24若实数满足，则_【答案】或2【分析】设a,b是的两个解，再根据根与系数的关系进行求解.【解析】当，实数

29、满足，设a,b是的两个解，a+b=-1,ab=-1=-3.当，故答案为：-3或2【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意构造一元二次方程进行求解.25设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为_.【答案】【分析】此题实际上求的值设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t+1）=12，通过解方程求得t的值即可【解析】设t=a2+b2，则由原方程，得t（t+1）=12，整理，得（t+4）（t-3）=0，解得t=3或t=-4（舍去）则a2+b2=3，a，b是一个直角三角形两条直角边的长，这个直角三角形的斜边长为故答案是：【点睛】此题考查

30、了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键二、解答题（本大题共3个小题，共30分解答过程写在答题卡上）26国家发改委公布的商品房销售明码标价规定，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择：打9.8折销售；不打折

31、，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【答案】(1) 每次下调10% (2) 第一种方案更优惠【解析】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得5000（1-x）2=4050，解得x=10%或x=1.9（舍去），答：平均每次下调10%（2）9.8折=98%，100405098%=396900（元）1004050-1001.5122=401400（元），396900401400，所以第一种方案更优惠答：第一种方案更优惠【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能找到等量关系式，并根据等量关系式正确列出方程是解决本题的关键.27在矩形ABCD中，AB6 cm，B

32、C12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s问：(1)几秒后PBQ的面积等于8 cm2?(2)是否存在t，使PDQ的面积等于26 cm2?【答案】(1)2秒或4秒后PBQ的面积等于8 cm2；(2)不存在t，使PDQ的面积等于26 cm2. 【分析】（1）设x秒后PBQ的面积等于8cm2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用PBQ的面积等于8列式求值即可；（2）假设存在t使得PDQ面积为26cm2，根据PDQ的面积等于26cm2列式计算即可【解析】(1)设x秒后PBQ的面积等于8 cm2.AP

33、x，QB2x.PB6x. (6x)2x8， 解得x12，x24，故2秒或4秒后PBQ的面积等于8 cm2.(2)假设存在t使得PDQ的面积为26 cm2， 则726tt(6t)3(122t)26， 整理得，t26t100，36411040， 原方程无解， 不存在t，使PDQ的面积等于26 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，表示出PBQ的的两条直角边长是解决本题的突破点;用到的知识点为:直角三角形的面积=两直角边积的一半.本题也考查了矩形的性质和割补法求图形的面积.28如图，在矩形中，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、

34、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？【答案】（1）经过或、两点之间的距离是；（2）经过秒或秒的面积为 【分析】（1）如图，过点P作PECD于E，设x秒后PQ=10cm，利用勾股定理得出即可（2）分类讨论：当点P在AB上时；当点P在BC边上；当点P在CD边上时【解析】过点作于则根据题意，得设秒后，点和点的距离是，即，；经过或、两点之间的距离是；连接设经过后的面积为当时，则，即，解得；当时，则，解得，（舍去）；时，则，解得（舍去）综上所述，经过秒或秒的面积为【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键