江西省吉安市峡江县2021年中考综合能力竞赛数学试卷（含答案解析）

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1、2021年江西省吉安市峡江县中考数学综合能力竞赛试卷一、单选题(每小题3分，共18分)1（3分）下列结论中不正确的是A最小的正整数为1B最大的负整数为C绝对值最小的有理数为0D倒数等于它本身的数为12（3分）下列代数式符合表中运算关系的是 0.5 3 0.25 3 计算结果 13ABCD3（3分）某班37名同学中只有1位同学身高是若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是，则该班37名同学身高的平均数和中位数（单位：，不可能是A，B，C，D，4（3分）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则满足条件的所有整数的值之和是ABCD5（3分）如图在五边形中，在、上分别找一点、，

2、使得的周长最小时，则的度数为ABCD6（3分）在坐标系中，已知点关于轴、轴的对称点分别为、若坐标轴上的点恰使、均为等腰三角形，则满足条件的点有A4个B5个C8个D9个二、填空题(每小题3分,共18分)7（3分）新冠病毒是一种新的亚属的冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股病毒，其遗传物质是所有病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒其粒子形状并不规则，直径约，平均直径为（纳米）1米纳米，可以表示为米（用科学记数法表示）8（3分）已知关于的一元次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 9（3分）如图，则10（3分）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点，分别在，上，过点作，交的延长线

3、于点，则图中阴影部分的面积等于 11（3分）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形；按照这样的规律，第2021个正方形的面积是 12（3分）等腰的腰边上的高，且，则三、解答题(每小题6分,共30分)13（6分）（1）计算：（2）如图，在正五边形中，与相交于点，若，求14（6分）化简求值：，从0，1，2中选一个你认为合适的值代入求值15（6分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元已知购买一个甲种笔记本比购

4、买一个乙种笔记本多花费5元（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值16（6分）如图，点、是网格上的格点，连接点、得，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，在上找一点，使；（2）在图2中，在内部（不含边界）找一点，使17（6分）随机抛掷图中均匀的正

5、四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）（1）请用列表法或树状图法的方法求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之和为6的概率；（2）设正四面体着地的数字为，转盘指针所指区域内的数字为，求关于的方程有实数根的概率四、解答题(每小题8分，共24分)18（8分）现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛，因甲乙两人的5次测试总成绩相同，所以根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表进行分析第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩90708010060乙成绩70909070请同学们完成下列问题：（1），；（2）请在图中完成表示

6、乙成绩变化情况的折线；（3），请你计算乙的方差；（4）可看出将被选中参加比赛（第1问和第4问答案可直接填写在答题卡的横线上）19（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的一条直角边在轴的正半轴上，点在双曲线上，且，（1）求的值及点的坐标；（2）沿直线平移，当点恰好在双曲线上时，求平移后点的对应点的坐标20（8分）如图是一个小箱子放在桌面上的示意图，这部分可弯曲，在弯曲时形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为，线段，均与圆弧相切，点，分别为切点，小箱子盖面与桌面平行，此时距离桌面，已知的长，的长为（1）如图，求弧的长度（结果保留（2）如图，若小箱子打开后弧所对的圆心角度数为，求小箱子顶端到桌面的距

7、离（结果保留一位小数）（参考数据：五、解答题(每小题9分，共18分)21（9分）已知四边形是菱形，、交于点，点在的延长线上，连接交于，以为直径作，交直线于、两点，交于点（1）如图1，连接，求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点在弧上，过点作交于，交于点，连接，若，在点运动过程中，探究线段的长是否为定值，如果是，则求出这个定值；如果不是，请说明理由22（9分）（1）【问题发现】如图1在中，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接、请猜

8、想线段和的数量关系，并证明你的结论；（3）【结论运用】在（1）（2）的条件下，若的面积为2时，当正方形旋转到、点共线时，直接写出线段的长六、解答题(12分)23（12分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，顶点为点在抛物线上，直线交轴于点（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）联结，求的正切值；（3）点为线段上一点，过点作的垂线交轴于点（位于点右侧），当与相似时，求点的坐标参考答案一、单选题(每小题3分，共18分)1（3分）下列结论中不正确的是A最小的正整数为1B最大的负整数为C绝对值最小的有理数为0D倒数等于它本身的数为1【解答】解：最小的正整数为1，是正确的；最大的负整数为于

9、是正确的；绝对值最小的有理数为0，其它数的绝对值都大于0，因此选项是正确的；倒数等于它本身的数为，因此选项是错误的；故选：2（3分）下列代数式符合表中运算关系的是 0.5 3 0.25 3 计算结果 13ABCD【解答】解：当，时，当，时，故选：3（3分）某班37名同学中只有1位同学身高是若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是，则该班37名同学身高的平均数和中位数（单位：，不可能是A，B，C，D，【解答】解：因为35名同学身高的平均数和中位数都是，且只有1位同学身高是，如果甲乙两同学身高都大于165，中位数可能是166，但平均数大于165；如果甲乙两同学身高都小于165，中位数小于

10、165，平均数小于165；如果甲乙两同学身高一个大于165，一个小于165，则平均数可能是165，但中位数只能是165，故选：4（3分）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则满足条件的所有整数的值之和是ABCD【解答】解：分式方程去分母得：，解得：，由分式方程的解为正数，得到：且，解关于的不等式组得，关于的不等式组无解，且，为整数，为正整数，为，0，2，所有满足条件的整数的值之和是故选：5（3分）如图在五边形中，在、上分别找一点、，使得的周长最小时，则的度数为ABCD【解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与相交于点，与相交于点，则，所以，所以，周长，由轴对称确定

11、最短路线，的长度即为的周长最小值，故选：6（3分）在坐标系中，已知点关于轴、轴的对称点分别为、若坐标轴上的点恰使、均为等腰三角形，则满足条件的点有A4个B5个C8个D9个【解答】解：如图，故坐标轴上的点恰使、均为等腰三角形，则满足条件的点有5个，故选：二、填空题(每小题3分,共18分)7（3分）新冠病毒是一种新的亚属的冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股病毒，其遗传物质是所有病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒其粒子形状并不规则，直径约，平均直径为（纳米）1米纳米，可以表示为米（用科学记数法表示）【解答】解：米纳米，纳米米米故答案为：8（3分）已知关于的一元次方程的解为，则关于的一元一

12、次方程的解为 1【解答】解：可以变形为，关于的一元一次方程的解为，关于的一元一次方程中，解得：故答案为：19（3分）如图，则【解答】解：，同理可得，是等边三角形，故答案为：10（3分）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点，分别在，上，过点作，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积等于 【解答】解：连接，正方形的边长为1，即，阴影部分的面积长方形的面积，故答案为：11（3分）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形；按照这样的规律，第2021个正方形的面积是 【解答】解：正方形的点的坐标为，点的坐标为，又由题意可得

13、，第1个正方形的面积为：，同理可得，第二个正方形面积为：，第个正方形面积为：，第2021个正方形的面积为：故答案为：12（3分）等腰的腰边上的高，且，则或或【解答】解：如图 1 中， 当是锐角三角形，时，在中，如图 2 中， 当是钝角三角形，时，在中，如图 3 中， 当是钝角三角形，时， 设，在中，综上所述，或或故答案为或或三、解答题(每小题6分,共30分)13（6分）（1）计算：（2）如图，在正五边形中，与相交于点，若，求【解答】解：（1）原式（2）在正五边形中，设，或（舍弃），14（6分）化简求值：，从0，1，2中选一个你认为合适的值代入求值【解答】解：原式，当时，原式15（6分）期中考试

14、后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值【解答】解：（1）设购买一

15、个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，依题意，得：，解得：答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元（2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，依题意，得：，解得：，又为正整数，可取的最大值为21设购买两种笔记本总费用为元，则，随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元16（6分）如图，点、是网格上的格点，连接点、得，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，在上找一点，使；（2）在图2中，在内部（不含边界）找一点，使【解答】解：（1）在图1中，点即为所求；（2）在图2中，点即为所

16、求17（6分）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）（1）请用列表法或树状图法的方法求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之和为6的概率；（2）设正四面体着地的数字为，转盘指针所指区域内的数字为，求关于的方程有实数根的概率【解答】解；（1）画树状图得出：总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之和为6的有4种情况，故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之和为6的概率为；（2）方程有实数根的条件为：，满足的结果共有13种：，关于的方程有实数根的

17、概率为四、解答题(每小题8分，共24分)18（8分）现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛，因甲乙两人的5次测试总成绩相同，所以根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表进行分析第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩90708010060乙成绩70909070请同学们完成下列问题：（1）80，；（2）请在图中完成表示乙成绩变化情况的折线；（3），请你计算乙的方差；（4）可看出将被选中参加比赛（第1问和第4问答案可直接填写在答题卡的横线上）【解答】解：（1）甲乙两人的5次测试总成绩相同，解得：，故答案为：80；80；（2）根据图表给出的数据画图如下：（3）（4），乙的成绩稳定，乙将被选中参加比

18、赛故答案为：乙19（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的一条直角边在轴的正半轴上，点在双曲线上，且，（1）求的值及点的坐标；（2）沿直线平移，当点恰好在双曲线上时，求平移后点的对应点的坐标【解答】解：（1），点在双曲线上，是等腰直角三角形，且，；（2）沿直线平移，设与轴交于点，由可得，解方程组得或平移后的点的坐标为，或，20（8分）如图是一个小箱子放在桌面上的示意图，这部分可弯曲，在弯曲时形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为，线段，均与圆弧相切，点，分别为切点，小箱子盖面与桌面平行，此时距离桌面，已知的长，的长为（1）如图，求弧的长度（结果保留（2）如图，若小箱子打开后弧所对的圆心角度数为

19、，求小箱子顶端到桌面的距离（结果保留一位小数）（参考数据：【解答】解：（1）如图，线段，均与圆弧相切，距离桌面，的长为，半径为弧的长度为；（2）如图，过点作于点，作于，得矩形，则，弧的长度为，故顶端到桌面的距离是五、解答题(每小题9分，共18分)21（9分）已知四边形是菱形，、交于点，点在的延长线上，连接交于，以为直径作，交直线于、两点，交于点（1）如图1，连接，求证：四边形是平行四边形；（2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点在弧上，过点作交于，交于点，连接，若，在点运动过程中，探究线段的长是否为定值，如果是，则求出这个定值；如果不是，请说明理由【解答】解：（1

20、）如图1，连接，是的直径，即，四边形是菱形，、即，四边形是平行四边形；（2）如图2，连接，四边形是菱形，四边形是正方形，是的直径，设，则，则；（3）的长是定值，如图3，连接、，过点作，并延长交于点，是的直径，又四边形是正方形，、，四边形是矩形，、，、，由勾股定理可得，22（9分）（1）【问题发现】如图1在中，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接、请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；（3）【结论运用】在（1）（2）的条件下，若的面积为2时，当正方形旋转到、点共线时，直接写出线段的长【

21、解答】解：（1），理由是：在中，根据勾股定理得，又点为的中点，四边形是正方形，即，故答案为：；（2）证明：在中，在正方形中，在中，；（3），分两种情况：当点在线段上时，如图2，由（1）知，在中，根据勾股定理得，由（2）知，当点在线段的延长线上时，如图3，在中，在正方形中，在中，在中，根据勾股定理得，即：当正方形旋转到，三点在同一直线上时，线段的长为或六、解答题(12分)23（12分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，顶点为点在抛物线上，直线交轴于点（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）联结，求的正切值；（3）点为线段上一点，过点作的垂线交轴于点（位于点右侧），当与相似时，求点的坐标【解答】解：（1）抛物线对称轴为，解得，把点坐标代入可得，解得，抛物线表达式为，把代入抛物线解析式可得，设直线解析式为，把、坐标代入可得，解得，直线解析式为，令可得，解得，；（2），是以为斜边的直角三角形，；（3），当与相似时有两种情况，设，则，当时，则，即，解得，；当时，即，解得，；综上可知点的坐标为或