2021年江苏省八年级数学上册第3章《勾股定理》竞赛题精选(含答案解析)
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1、2021-2022 学年江苏省八年级数学上册第学年江苏省八年级数学上册第 3 章勾股定理竞赛题精选章勾股定理竞赛题精选 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 32 分,每小题分,每小题 4 分)分) 1 (4 分) (2015永春县自主招生)已知ABC 的三边长分别为 a,b,c 且 a+b4,ab1,c,则 ABC 的形状为( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定 2 (4 分) (2006宁波校级自主招生)设直角三角形的三边长分别为 a、b、c,若 cbba0,则 ( ) A2 B3 C4 D5 3 (4 分) (2017延平区校级自主招生)如图,在四边形
2、 ABCD 中,B135,C120,AB, AD1+,CD2,则 BC 边的长为( ) A2 B C D 4 (4 分) (2017奉化市自主招生)如图,在ABC 中,D,E 分别是 BC,AC 的中点,若ACB90, BE4,AD7,则 AB 的长为( ) A10 B5 C2 D2 5 (4 分) (2015长沙校级自主招生)在 RtABC 中,ABBC5,P 是ABC 内一点,且 PA,PC 5,则 PB 的值( ) A B C或 D 6 (4 分) (2013船山区校级自主招生)若直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则有( ) Aabh2 B C Da2+
3、b22h2 7 (4 分) (2012桃源县校级自主招生)如图,是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方 形图案,已知大正方形面积为 49,小正方形面积为 4,若用 X、Y 表示直角三角形的两直角边(XY) , 请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( ) AX2+Y249 BXY2 C2XY+449 DX+Y13 8 (4 分) (2007温州校级自主招生)已知直角三角形有一条直角边的长是质数 n,另外两条边长是两个连 续自然数,那么它的周长是( ) An2+1 Bn21 Cn2+n Dn2n 二填空题(共二填空题(共 6 小题,满分小题,满分 30 分,每小题分,每小题
4、 5 分)分) 9 (5 分) (2015 秋深圳校级期中)如图,分别以 RtXYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、 BCYX、DEZY,若直角边 YZ1,XZ2,则六边形 ABCDEF 的面积为 10 (5 分) (2012岳麓区校级自主招生)如图 RtABC 中,AC12,BC5,分别以 AB,AC,BC 为直 径作半圆,则图中阴影部分的面积为 11 (5 分) (2018镜湖区校级自主招生)如图,RtABC 中,ACB90,AC2,BC3,点 M 是直 线 BC 上一动点,且CAM+CBA45,则 BM 的长为 12 (5 分) (2015鼓楼区校级自主招生)已知直角三角形
5、的周长为 14,斜边上的中线长为 3则直角三角 形的面积是 13 (5 分) (2019武昌区自主招生)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图” ,后人称 其为“赵爽弦图” (如图 1) 图 2 由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正 方形 ABCD, 正方形 EFGH, 正方形 MNKT 的面积分别为 S1, S2, S3 若 S1+S2+S321, 则 S2的值是 14 (5 分) (2020浙江自主招生)在等腰直角ABC 中,ABBC5,P 是ABC 内一点,且 PA, PC5,则 PB 三解答题(共三解答题(共 4 小题,满分小题,满分 38 分)分)
6、 15 (8 分)如果,已知:D 为ABC 边 AB 上一点,且 AC,AD2,DB1,ADC60,求BCD 的度数 16 (10 分) (2019和平区校级自主招生)如图,在四边形 ABCD 中,BC,ABC90,BD 平分 ABC,BDCA30,求 AD 的长 17 (10 分) (2012乐平市校级自主招生)如图,在ABC 中,ACBC,ACB90,D、E 是边 AB 上 的两点,AD3,BE4,DCE45,则ABC 的面积是多少? 18 (10 分) (2016和平区校级自主招生)如图,在ABC 中,A90,ABAC6,点 E 为 AC 中点, FEBE 与 BC 边交于点 F,求线段
7、 EF 的长 2021-2022 学年江苏省八年级数学上册第学年江苏省八年级数学上册第 3 章勾股定理竞赛题精选章勾股定理竞赛题精选 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 32 分,每小题分,每小题 4 分)分) 1 (4 分) (2015永春县自主招生)已知ABC 的三边长分别为 a,b,c 且 a+b4,ab1,c,则 ABC 的形状为( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定 【分析】利用完全平方公式可得 a2+b214,再根据勾股定理逆定理可得ABC 的形状为直角三角形 【解答】解:a+b4, (a+b)216, a2+b2+2ab16, ab1, a2
8、+b214, c214, a2+b2c2, ABC 的形状为直角三角形, 故选:C 【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用 关键是掌握勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a2+b2c2,那么这个三角形就是直角三角形 2 (4 分) (2006宁波校级自主招生)设直角三角形的三边长分别为 a、b、c,若 cbba0,则 ( ) A2 B3 C4 D5 【分析】根据已知条件判断 c 是斜边,并且得到 c+a2b,然后根据勾股定理得到 c2a2b2,然后因式 分解可以求出 ca,代入要求的式子可以求出结果了 【解答】解:cbba0 cba,c+a2b 根据勾股定理得,c2
9、a2b2, (c+a) (ca)b2, cab 4 故选:C 【点评】此题主要利用了勾股定理和因式分解解题,题目式子的值不能直接求出,把它的分子分母分别 用 b 表示才能求出 3 (4 分) (2017延平区校级自主招生)如图,在四边形 ABCD 中,B135,C120,AB, AD1+,CD2,则 BC 边的长为( ) A2 B C D 【分析】 作 AEBC 于 E, DFBC 于 F, AHDF 于 H,如图,先计算出ABE45, DCF60, 再利用等腰直角三角形的性质和含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 AEBEAB,CF , DF, 接着利用四边形 AHFE 为矩形得到 AH
10、EF, HEAE, 所以 DH, 在 RtADH 中, 根据勾股定理计算出 AH2+,则 EF2+,然后计算 EFFCBE 即可 【解答】解:作 AEBC 于 E,DFBC 于 F,AHDF 于 H,如图, B135,C120, ABE45,DCF60, 在 RtABE 中,AEBEAB, 在 RtDCF 中,CFCD,DFCF, 易得四边形 AHFE 为矩形, AHEF,HEAE, DH, 在 RtADH 中, AH(2+) 2+, EF2+, BCEFFCBE2+2 故选:A 【点评】本题考查了勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的 平方也考查了含 30
11、度的直角三角形三边的关系解决此题的关键是构建直角三角形 4 (4 分) (2017奉化市自主招生)如图,在ABC 中,D,E 分别是 BC,AC 的中点,若ACB90, BE4,AD7,则 AB 的长为( ) A10 B5 C2 D2 【分析】设 ECx,DCy,则直角BCE 中,x2+4y2BE216,在直角ADC 中,4x2+y2AD249, 解方程组可求得 x、y,在直角ABC 中,AB 【解答】解:设 ECx,DCy,ACB90, 在直角BCE 中,CE2+BC2x2+4y2BE216, 在直角ADC 中,AC2+CD24x2+y2AD249, 解得 x2,y1 在直角ABC 中,AB
12、2 故选:C 【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用,考查了中点的定义,本题中根据直角BCE 和直角ADC 求 DCBC 的长度是解题的关键 5 (4 分) (2015长沙校级自主招生)在 RtABC 中,ABBC5,P 是ABC 内一点,且 PA,PC 5,则 PB 的值( ) A B C或 D 【分析】先依据题意作一三角形,再结合图形进行分析,在等腰直角ABC 中,已知 PA、PC,通过辅 助线求出 AD,DC 及 PD 边的长,进而 PB 可求 【解答】解:如图所示,过点 B 作 BEAC,过点 P 作 PD,PF 分别垂直 AC,BE 在APD 中,PA2PD2+AD25, 在PCD 中
13、,PC2PD2+CD2,且 AD+CD5 解得 AD,CD,PD, 在 RtABC 中,BEAE, 所以在 RtBPF 中,PB2PF2+BF2()2+()210, PB 故选:D 【点评】本题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理的运用会画出简单的图形辅助解题 6 (4 分) (2013船山区校级自主招生)若直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则有( ) Aabh2 B C Da2+b22h2 【分析】根据三角形的面积求法,可将斜边的高 h 用两直角边表示出来 【解答】解:abch h 故选:C 【点评】本题主要考查勾股定理和直角三角形的面积求法 7 (4 分) (
14、2012桃源县校级自主招生)如图,是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方 形图案,已知大正方形面积为 49,小正方形面积为 4,若用 X、Y 表示直角三角形的两直角边(XY) , 请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( ) AX2+Y249 BXY2 C2XY+449 DX+Y13 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可 【解答】解:A 中,根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到,正确; B 中,根据小正方形的边长是 2 即可得到,正确; C 中,根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到,正确; D 中,根据 A,C 联立结合完全平方公式可以求得
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