2022版新高考数学人教版一轮课件:第9章 第3讲 二项式定理
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1、必考部分 第九章第九章 计数原理、概率、计数原理、概率、 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三讲 二项式定理 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 二项式定理 (ab)nC0 na nC1 na n1bCk na nkbkCn nb n(nN ) 这个公式叫做二项式定理, 右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式, 其中的系数 Ck n(k0,1,2, , n)叫做_, 式中的_ 叫做二项展开式的_, 用Tk1表示, 即通项为展开式的第_ 项
2、:Tk1_ 二项式系数 Ck na nkbk 通项 k1 Ck na nkbk 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二 二项展开式形式上的特点 (1)项数为_ (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为 _ (3)字母a按_排列,从第一项开始,次数由n逐项减小1直到 零;字母b按_排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到n n1 n 降幂 升幂 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 Ck nC nk n 2n 2n1 知识点三 二项式系数的性质 (1)0kn 时,Ck n与
3、C nk n 的关系是_ (2)二项式系数先增后减,中间项最大 当 n 为偶数时, 第n 21 项的二项式系数最大; 当 n 为奇数时, 第 n1 2 项和n3 2 项的二项式系数最大 (3)各二项式系数的和:C0 nC 1 nC 2 nC n n_,C 0 nC 2 nC 4 n C1 nC 3 nC 5 n_ 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1二项式定理中,通项公式 Tk1Ck na nkbk 是展开式的第 k1 项, 不是第 k 项 2(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在 Tk1 Ck na nkbk 中,Ck n是该
4、项的二项式系数,该项的系数还与 a,b 有关 (2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关当 n 为偶数 时,中间一项的二项式系数最大;当 n 为奇数时,中间两项的二项式系 数相等,且同时取得最大值 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)Ck na nkbk 是二项展开式的第 k 项 ( ) (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关 ( ) (4)(ab)n的展开式第 k1 项的系数为
5、 Ck na nkbk ( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n ( ) (6)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第 5 项和第 6 项 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 解析 二项式系数之和 2n64, 所以 n6, Tk1Ck 6 x 6k (1 x) kCk 6x 6 2k,当 62k0,即当 k3 时为常数项,T 4C 3 620 题组二 走进教材 2(P31例 2(2)若 x1 x n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的 常数项为 ( ) A10 B20 C30 D120 返回导航 高考一轮总复习 数学
6、(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 3(P41B组T5)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则a0a2a4 的值为 ( ) A9 B8 C7 D6 解析 令x1,则a0a1a2a3a40,令x1,则a0a1 a2a3a416,两式相加得a0a2a48 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三 走向高考 4(2020 新课标) x22 x 6 的展开式中常数项是_(用数字作答) 240 解析 展开式的通项为 Tr1Cr 6(x 2)6r 2 x r2rCr 6x 123r,令 123r 0,解得 r4,故常数项为
7、 24C4 6240 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5(2017 全国卷) 1 1 x2 (1x)6展开式中 x2的系数为 ( ) A15 B20 C30 D35 C 解析 (1x)6展开式的通项 Tr1Cr 6x r,所以 1 1 x2 (1x)6的展开 式中 x2的系数为 1C2 61C 4 630,故选 C 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 二次展开式的通项公式的应用多维探究 例 1 C 角度 1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数 (1)(2
8、018 课标卷)(x22 x) 5 的展开式中 x4的系数为 ( ) A10 B20 C40 D80 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2019 课标,4)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为 ( ) A12 B16 C20 D24 (3)(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为 ( ) A10 B20 C30 D60 A C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)Tr1Cr 5(x 2)5r 2 x rCr 52 rx103r, 当 103r4 时,解得 r2, 则
9、x4的系数为 C2 52 240,选 C (2)(1x)4的二项展开式的通项为 Tk1Ck 4x k(k0,1,2,3,4), 故(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为 C3 42C 1 412故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)(x2xy)5(x2x)y5, 含 y2的项为 T3C2 5(x 2x)3 y2 其中(x2x)3中含 x5的项为 C1 3x 4 xC1 3x 5 所以 x5y2的系数为 C2 5C 1 330故选 C 另解:由乘法法则知 5 个因式中两个选 y 项,两个选 x2项,一个选 x 项乘即可,x5y
10、2的系数为 C2 5C 1 330 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 例 2 A 角度 2 二项展开式中的含参问题 (1)(2021 广东广州阶段测试) ax1 x 6 的展开式中的常数项 为 160,则 a 的值为 ( ) A2 B2 C4 D4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 4 240 (2)(2021 福建三明质检)若(3x2a) 2x1 x 5 的展开式中 x3的系数为 80,则 a_ (3)(2021 河北衡水中学模拟)已知二项式 2x 1 x n 的展开式中第 2 项 与第 3
11、项的二项式系数之比是 25,则 x3的系数为_ 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1) ax1 x 6 的展开式的通项为 Tr1Cr 6(ax) 6r 1 x r( 1)rCr 6a 6rx62r,由题意得C3 6a 3160,解得 a2,故选 A (2) 2x1 x 5 的展开式的通项为 Tr1Cr 5(2x) 5r 1 x r(1)r 25r Cr 5x 5 2r,则 323C2 5a2 4C1 580,解得 a4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)由题意得:C1 nC 2 n
12、25,解得 n6所以 Tr1C r n(2x) nr 1 x r Cr 62 6r(1)rx63 2r, 令 6 3 2r3, 解得: r2 所以 x 3 的系数为 C2 62 62( 1)2240 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求二项展开式中的特定项或其系数,一般是化为通项公式后,令字 母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数 等),解出r,代回通项公式即可 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 7 B 变式训练 1 (1)(角度 1)(2018 浙江,14)二项式 3
13、x 1 2x 8 的展开式的常数项是 _ (2)(角度 2)(2021 福州模拟)设 n 为正整数, x 2 x3 n 的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 ( ) A112 B112 C60 D60 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)(角度 1)(2020 全国) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5 B10 C15 D20 C 解析 (1)Tr1Cr 8(3 x)8 r 1 2x r1 2rC r 8x84r 3 ,由 84r0 得 r2, 故常数项为 T3 1 22C 2 87
14、返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)依题意得, n8, 所以展开式的通项Tr1Cr 8x 8r 2 x3 rCr 8x 84r( 2)r,令 84r0,解得 r2,所以展开式中的常数项为 T3C2 8(2) 2 112 (3)(xy)5的展开式的通项 Tr1Cr 5x 5ryr, xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为 C3 5C 1 515,故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 二项式系数的性质与各项系数的和师生共研 例 3 A (1)(2020 河北衡水中学模
15、拟)已知二项式 2 x1 x n 的展开式 中,二项式系数之和等于 64,则展开式中常数项等于 ( ) A240 B120 C48 D36 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C 8 (2)(2021 河北邯郸模拟)在 x 3 x n 的展开式中, 各项系数和与二项式 系数和之比为 64,则 x3的系数为 ( ) A15 B45 C135 D405 (3)(2021 辽宁省朝阳市质量检测)设(1x2)(2x)4a0a1(x1) a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5a6(x1)6,则 a0a2a4a6 _ 返回导航 高考一轮总复
16、习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)二项式 2 x1 x n 的展开式中, 二项式系数之和等于 2n64,则 n6, 故展开式的通项公式为 Tr1Cr 6 2 6r x63r 2 , 令63r 2 0,求得 r2,常数项为 C2 6 2 4240故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由题意4 n 2n64,n6,Tr1C r 6x 6r 3 x r3rCr 6x 63r 2 ,令 63r 2 3, r2,32C2 6135,选 C (3)由题意,令 x2 得 a0a1a2a3a4a5a60, 令
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