2022版新高考数学人教版一轮课件:第9章 第2讲 排列与组合
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1、必考部分 第九章第九章 计数原理、概率、计数原理、概率、 随机变量及其分布随机变量及其分布 第二讲 排列与组合 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 排列与排列数 (1)排列的定义:从n个_元素中取出m(mn)个元素,按照一 定的_排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列 (2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 _的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 用符号_表示 不同 顺序 所有不同排列 Am
2、n 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 n(n1)(n2)(nm1) n! 1 (3)排列数公式:Am n_ (4)全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一 个全排列, An nn(n1)(n2)21_ 排列数公式写 成阶乘的形式为 Am n n! nm!,这里规定 0!_ 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二 组合与组合数 (1)组合的定义:一般地,从n个_元素中取出m(mn)个元素 _,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 (2)组合数的定义:从n个不同元素中
3、取出m(mn)个元素的 _的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数,用符号_表示 不同 合成一组 所有不同组合 Cm n 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3) 组 合 数 的 计 算 公 式 : C m n Am n Am m n! m!nm! nn1n2nm1 m! ,这里规定 C0 n_ (4)组合数的性质:Cm n_;C m n1_ 注:应用公式化简、求值、解方程、解不等式时,注意 Am n、C m n中的 隐含条件 mn,且 m,nN 1 Cn m n Cm n Cm 1 n 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九
4、章 计数原理、概率、随机变量及其分布 对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的 排列数或组合数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列 ( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 ( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相
5、同 ( ) (4)(n1)!n!n n! ( ) (5)若组合式 Cx nC m n,则 xm 成立 ( ) (6)kCk nnC k1 n1 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二 走进教材 2(P27A组T716)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻 的坐法种数为 ( ) A144 B120 C72 D24 D 解析 “插空法”, 先排 3 个空位, 形成 4 个空隙供 3 人选择就座, 因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3 443224 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
6、 题组三 走向高考 3(2017 全国卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1 项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 ( ) A12种 B18种 C24种 D36种 D 解析 4 项工作分成 3 组,可得:C2 46,安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,可得:6A3 336 种,故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 4(2018 浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数 字,一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 1 260 解析 从 1
7、,3,5,7,9 中任取 2 个数字有 C2 5种方法, 从 2,4,6,0 中任取 2 个数字不含 0 时,有 C2 3种方法, 可以组成 C2 5 C 2 3 A 4 4720 个没有重复数字的四位数; 含有 0 时, 0 不能在千位位置, 其它任意排列, 共有 C1 3 C 1 3 C 2 5 A 3 3540, 故一共可以组成 1 260 个没有重复数字的四位数,故答案为:1 260 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5(2018 新课标)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且 至少有1位女生入选,则不同的选法共有_种(用数字填写
8、答案) 16 解析 解法一:从 2 位女生,4 位男生中选 3 人,且至少有 1 位女 生入选的情况有以下 2 种:2 女 1 男:有 C2 2C 1 44 种选法;1 女 2 男: 有 C1 2C 2 412 种选法,故至少有 1 位女生入选的选法有 41216 种 解法二:从 2 位女生,4 位男生中选 3 人有 C3 620 种选法,其中选 出的 3 人都是男生的选法有 C3 44 种, 所以至少有 1 位女生入选的选法有 20416 种 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 排列问题自主练透 有3名男
9、生、4名女生,在下列不同条件下,不同的排列方 法总数,分别为: (1)选其中5人排成一排;_ (2)排成前后两排,前排3人,后排4人;_ (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;_ (4)全体排成一排,女生必须站在一起;_ 例 1 2 520 5 040 3 600 576 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (5)全体排成一排,男生互不相邻;_ (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人;_ (7)全体排成一排,甲必须排在乙前面;_ (8)全部排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端_ 1 440 720 2 520 3 720 返回导航 高考
10、一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)从 7 个人中选 5 个人来排,是排列, 有 A5 7 765432 520(种) (2)分两步完成,先选 3 人排在前排,有 A3 7种方法,余下 4 人排在后 排,有 A4 4种方法,故共有 A 3 7 A 4 45 040(种)事实上,本小题即为 7 人排 成一排的全排列,无任何限制条件 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)优先法:解法一:(元素分析法)甲为特殊元素先排甲,有 5 种方 法;其余 6 人有 A6 6种方法,故共有 5A 6 63 600
11、种 解法二:(位置分析法)排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列,有 A2 6种方法,中间 5 个位置由余下 5 人进行全排 列,有 A5 5种方法,共有 A 2 6A 5 53 600 种 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体, 与 3 名男生在一起进行全排列, 有 A4 4种方法,再将 4 名女生进行全排列,也有 A 4 4种方法,故共有 A 4 4A 4 4 576 种 (5)(插空法)男生不相邻, 而女生不作要求, 所以应先排女生, 有 A4 4种 方法, 再在女生之间及首尾空出
12、 5 个空位中任选 3 个空位排男生, 有 A3 5种 方法,故共有 A4 4A 3 51 440 种 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体,第一步先排甲、乙两人,有 A2 2种方法;第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙中间,有 A 3 5种;第三 步把这个整体与余下 2 人进行全排列,有 A3 3种方法故共有 A 2 2 A 3 5 A 3 3 720 种 (7)消序法: A7 7 2!2 520 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (8)间接法:A7
13、 72A 6 7A 5 53 720 位置分析法:分甲在右端与不在右端两类 甲在右端的排法有 A6 6(种)排法, 甲不在右端的排法有 55A5 5(种)排法, 共有 A6 625A 5 53 720(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例中7人排一排,(1)甲站中间的站法有_种;(2)甲、 乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有_种;(3)甲、乙相邻且都与 丙不相邻的站法有_种 720 解析 (1)A3 6A 3 3720;或 A 6 6720 (2)A2 2A 1 4A 5 5960; (3)A2 2A 4 4A 2 5960 960
14、960 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求解排列应用问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注 意捆绑元素的内部排列 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 插空法 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不 相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除 法处理 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以 定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 返回导航 高考一轮总
15、复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练1 (1)(2021 广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车,现要调出4辆按一定 的顺序出去执行任务,要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开 出,则共有_种不同的调度方法(用数字填写答案) 72 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2020 广西兴宁、南宁三中期末)2020年3月31日,某地援鄂医护 人员A,B,C,D,E,F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情 任务返回本地,他们受到当地群众与领导的热烈欢迎当地媒体为了宣 传他们的优秀事迹,让这6名医护人员
16、和接见他们的一位领导共7人站一 排进行拍照,则领导和队长站在两端且BC相邻,而BD不相邻的排法种 数为 ( ) A36种 B48种 C56种 D72种 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)C2 4C 2 4A 2 272或 C 2 4 A4 4 2 72 (2)领导和队长站在两端,有 A2 22 种情况, 中间 5 人分 2 种情况讨论: 若 BC 相邻且与 D 相邻,有 A2 2A 3 312 种安排方法, 若 BC 相邻且不与 D 相邻,有 A2 2A 2 2A 2 324 种安排方法, 则中间 5 人有 122436 种安排
17、方法, 则有 23672 种不同的安排方法;故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 组合问题师生共研 (1)(2021 广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任 村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数 为 ( ) A85 B49 C56 D28 例 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召 开,组委会预备在会议期间将A,B,C,D,E,F这六名工作人员分配 到两个不同的地点参与接待
18、工作若要求A,B必须在同一组,且每组至 少2人,则不同的分配方法有 ( ) A15种 B18种 C20种 D22种 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)丙没有入选,可把丙去掉,总人数变为 9 个甲、 乙至少有 1 人入选,可分为两类:一类是甲、乙两人只选一人的选法 有 C1 2 C 2 742(种),另一类是甲、乙都入选的选法有 C 2 2 C 1 77(种),根据分 类加法计数原理知共有 42749(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)先从两个不同的地点选出一地点分配
19、A,B 两人,有 C1 22(种)情 况,再将剩余 4 人分入两地有三种情况, 4 人都去 A,B 外的另一地点,有 1 种情况; 有 3 人去 A,B 外的另一地点,有 C3 44(种)情况; 有 2 人去 A,B 外的另一地点,有 C2 46(种)情况 综上,共有 2(146)22(种),故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(1)中,甲、乙恰有1人入选的选法有_种; 甲、乙都不入选的选法有_种 56 56 解析 C1 2C 2 856 C 3 856 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量
20、及其分布 组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素 取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的 元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重 视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和 间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接 法处理 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练2 (1)(2020 海南省联考)楼道里有9盏灯,为了节约用电,需关掉3盏互 不相邻的灯,为了行走安全,第一盏
21、和最后一盏不关,则关灯方案的种 数为 ( ) A10 B15 C20 D24 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 江苏南通质检)我国进入双航母时代,航母编队的要求是每 艘航母配23艘驱逐舰,12艘核潜艇船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜 艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为 ( ) A30 B60 C90 D120 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)问题等价于将这 3 盏关着的灯插入 4 盏亮着的灯形成的 5 个空档中,所以关灯方案共有 C3 510 种
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