2022版新高考数学人教版一轮课件:第8章 第9讲 第3课时 定点、定值、探索性问题
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1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第九讲 圆锥曲线的综合问题 第三课时 定点、定值、探索性问题 返回导航 考点突破互动探究 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点一 圆锥曲线的定值问题自主练透 例 1 (2018 北京高考)已知抛物线 C:y22px(p0)经过点 P(1,2)过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N (1)求直线 l 的斜率的取值范围; (2)设 O 为原点,QM QO ,QN QO ,求证:1 1 为定值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析
2、(1)因为抛物线y22px过点(1,2), 所以2p4,即p2 故抛物线C的方程为y24x, 由题意知,直线l的斜率存在且不为0 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设直线 l 的方程为 ykx1(k0) 由 y24x, ykx1得 k 2x2(2k4)x10 依题意 (2k4)24k210,解得 k0 或 0k1 又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1,2) 从而 k3 所以直线 l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1) 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知 x1x22k4 k2 ,
3、x1x2 1 k2 直线 PA 的方程为 y2y 12 x11(x1) 令 x0,得点 M 的纵坐标为 yMy 12 x11 2kx 11 x11 2 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 同理得点 N 的纵坐标为 yNkx 21 x21 2 由QM QO ,QN QO 得 1yM,1yN 所以1 1 1 1yM 1 1yN x11 k1x1 x21 k1x2 1 k1 2x1x2x1x2 x1x2 1 k1 2 k2 2k4 k2 1 k2 2 所以1 1 为定值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 求解定值问题常用的方法 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与
4、变量无关 (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定 值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 1 (2021 河南八市重点高中联盟联考)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0) 的左右焦点分别是 F1,F2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线 y 2x3 相切,点 P 在椭圆 C 上,|PF1|2,F1PF260 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l: ykxm 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点, 且 kOA kOBb 2 a2, AOB 的面积是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由 高考一轮总复习 数学(新高
5、考) 第八章 解析几何 解析 (1)依题意有 b 3 21 3,b 23, 由|PF1|2 及椭圆的定义得|PF2|2a2, 由余弦定理得 |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|cosF1PF2|F1F2|2, 即 a23a3c2,又 a2c2b23,a2, 故椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)联立可得 x2 4 y 2 3 1 ykxm , (34k2)x28kmx4m2120, 则 34k2m20, 又 x1x2 8km 34k2,x1x2 4m23 34k2 , y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x
6、1x2)m23m 24k2 34k2 , 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由 kOA kOBb 2 a2,可得 y1 y2 x1 x2 3 4, y1 y23 4x1x2, 3m24k2 34k2 3 4 4m23 34k2 , 2m24k23,满足, 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 |AB| 1k2x1x224x1 x2 1k2 8km 34k2 244m 212 34k2 2 3 1k 2 |m| , SOAB1 2 d |AB| 1 2 |m| 1k2 2 3 1k2 |m| 3为定值 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点二 圆锥曲线
7、中的定点问题师生共研 例 2 (2021 广东广州三校联考)如图,已知椭圆 C: x2 a2y 2 1 的 上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M:x2y26x2y70 相切, 其中 a1 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)求椭圆的方程; (2)不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且APAQ,证 明:动直线l过定点,并且求出该定点坐标 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由题可知,A(0,1),F(c,0), 则直线 AF 的方程为x cy1,即 xcyc0, 因为直线 AF 与圆 M:x2y26x2y70 相切, 该圆的圆心为
8、 M(3,1),r 3, 则 3 3 1c2,c 22,a23, 故椭圆的标准方程为x 2 3 y21 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)解法一:依题得直线 l 的斜率必存在, 设 l:ykxm,设点 P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立 ykxm x2 3 y21,消去 y 并整理得 (3k21)x26kmx3m230, 36k2m24 (3k21) (3m23)0, 即 m23k21, 且 x1x2 6km 3k21,x1x2 3m23 3k21 , 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 AP AQ (x1,y11) (x2,y21)x1x2y1y2
9、(y1y2)1 (k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)2 (k21) 3m23 3k21 k(m1) 6km 3k21 (m1)2 4m 22m2 3k21 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 APAQ,AP AQ 0,即4m 22m2 3k21 0, m1 或 m1 2 当 m1 时,直线 l:ykx1,恒过点(0,1),不满足题意,舍去; 当 m1 2时, 直线 l: ykx 1 2, 恒过点 0,1 2 , 故直线恒过定点 0,1 2 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解法二:因为不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 PQ 两点,且 AP
10、AQ,即直线 AP 与坐标轴不垂直也不平行, 由 A(0,1),可设直线 AP 的方程为 ykx1, 则直线 AQ 的方程为 y1 kx1, 联立 x2 3 y21 ykx1 ,消去 y 并整理得 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (13k2)x26kx0,解得 x0 或 6k 13k2, 因此点 P 的坐标为 6k 13k2, 6k2 13k21 , 即 P 6k 13k2, 13k2 13k2 , 将上式中的 k 换成1 k,得点 Q 6k 3k2, k23 3k2 , 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 所以直线 l 的斜率为 k23 3k2 13k2 13
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