2022版新高考数学人教版一轮课件:第8章 第5讲 椭圆
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1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第五讲 椭圆 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的_的点 的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的_,两焦点间的距离叫 做椭圆的_ 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 焦点 焦距 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 注:若集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c 0,且a、c为常数,则有如下结论: (1)若ac,则集合P为_; (2)若ac
2、,则集合P为_; (3)若ac,则集合P为_ 椭圆 线段F1F2 空集 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 性 质 顶点 A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a) B1(b,0)
3、,B2(b,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 轴 长轴 A1A2的长为_;短轴 B1B2的长为_ 焦距 |F1F2|_ 性 质 离心率 e_(0,1) a、b、c 的关系 _ 2a 2b 2c c a c2a2b2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 1ac 与 ac 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值 2过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|2b 2 a ,称为通径 3若过焦点 F1的弦为 AB,则ABF2的周长为 4a 4e1b 2 a2 5椭圆的
4、焦点在 x 轴上标准方程中 x2项的分母较大,椭圆的焦点 在 y 轴上标准方程中 y2项的分母较大 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 6AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中 点 M(x0,y0),则 (1)弦长 l 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|; (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0 7若 M、N 为椭圆x 2 a2 y2 b21 长轴端点,P 是椭圆上不与 M、N 重合 的点,则 KPM KPNb 2 a2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组一 走
5、出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆 ( ) (2)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆 ( ) (3)方程 mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(必修 2P42T4)椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4,则 m 等于( ) A4 B8 C4 或 8 D12 C 解析 当焦点在x轴上时,10mm
6、20, 10m(m2)4,m4 当焦点在y轴上时,m210m0,m2(10m)4,m8. m4或8 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 A 3(必修 2P68A 组 T3)过点 A(3,2)且与椭圆x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点 的椭圆的方程为 ( ) A x2 15 y2 101 B x2 25 y2 201 C x2 10 y2 151 D x2 20 y2 151 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组三 走向高考 4(2018 课标全国)已知 F1,F2是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上 的一点,若 PF1PF2,且PF2F
7、160 ,则 C 的离心率为 ( ) A1 3 2 B2 3 C 31 2 D 31 D 解析 设|PF2|x,则|PF1| 3x,|F1F2|2x,故 2a|PF1|PF2| (1 3)x,2c|F1F2|2x,于是离心率 ec a 2c 2a 2x 1 3)x 31 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B 5(2019 课标,10)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0),F2(1,0),过 F2的直线与 C 交于 A,B 两点若|AF2|2|F2B|,|AB|BF1|,则 C 的方 程为 ( ) Ax 2 2 y21 Bx 2 3 y 2 2 1 Cx 2 4 y
8、2 3 1 Dx 2 5 y 2 4 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 设|F2B|x(x0), 则|AF2|2x,|AB|3x, |BF1|3x,|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x, 由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x, 所以|AF1|2x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|F2B| |F1F2|cos BF2F1,即 9x2x2224x cosBF2F1, 在 AF1F2中 , 由 余 弦 定 理 可 得 |AF1|2 |AF2|2 |F1F2|
9、2 2|AF2| |F1F2|cosAF2F1,即 4x2 4x2228x cosBF2F1, 由得 x 3 2 ,所以 2a4x2 3,a 3, 所以 b2a2c22 所以椭圆的方程为x 2 3 y 2 2 1故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点一 椭圆的定义及应用自主练透 (1)(2021 泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上 的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 例 1 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)
10、已知F是椭圆5x29y245的左焦点, P是此椭圆上的动点, A(1,1) 是一定点则|PA|PF|的最大值和最小值分别为_ (3)已知 F1,F2是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且F1PF260 若PF1F2的面积为 3 3,则 b_ 6 2,6 2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)如图所示, 由题知|PF1|PF2|2a, 设椭圆方程: x2 a2 y2 b2 1(其中 ab0)连接 MO,由三角形的中位线可得:|F1M|MO|a(a |F1O|),则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆
11、返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)如下图所示,设椭圆右焦点为 F1,则|PF|PF1|6 |PA|PF|PA|PF1|6 由椭圆方程x 2 9 y 2 5 1 知 c 952, F1(2,0),|AF1| 2 利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P、A、F1共线时等号成立) |PA|PF|6 2,|PA|PF|6 2 故|PA|PF|的最大值为 6 2,最小值为 6 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)|PF1|PF2|2a,又F1PF260 , 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2
12、, 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2, 所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2, 所以|PF1|PF2|4 3b 2, 又因为 SPF1F21 2|PF1|PF2|sin 60 1 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3,所 以 b3故填 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 引申本例(2)中,若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”,则|PF|PA|的最 大值为_,|PF|PA|的最大值为_ 解析 设椭圆的右焦点为F1,则|PF1|PA|AF1|2(P在线段 AF1上 时 取 等 号 ) , |PF| |PA| 6 (|PF1| |P
13、A|)4 , |PA| |PF1|AF1|2,(当P在AF1延长线上时取等号),|PF|PA|6|PA| |PF1|8 4 8 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)椭圆定义的应用范围: 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆 解决与焦点有关的距离问题 (2)焦点三角形的应用: 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角 形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|;通过 整体代入可求其面积等 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 1 (1)(2021 大庆模拟)已知点 M( 3,0),椭圆x 2
14、4 y21 与直线 yk(x 3)交于点 A、B,则ABM 的周长为_ (2)(2019 课标,15)设 F1,F2为椭圆 C:x 2 36 y2 201 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形,则 M 的坐标为 _ 8 (3, 15) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)(2021 河北衡水调研)设 F1、F2分别是椭圆 x2 25 y2 161 的左、右焦 点,P 为椭圆上任意一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|PF1|的最小值 为_ 5 解析 (1)直线 yk(x 3)过定点 N( 3,0) 而 M、N 恰为椭圆x 2 4
15、 y21 的两个焦点, 由椭圆定义知ABM 的周长为 4a428 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)因为 F1,F2分别是椭圆 C 的左,右焦点,由 M 点在第一象限, MF1F2是等腰三角形,知|F1M|F1F2|,又由椭圆方程 x2 36 y2 201,知 |F1F2|8,|F1M|F2M|2612, 所以|F1M|F1F2|8,所以|F2M|4 设 M(x0,y0) (x00,y00), 则 x04)2y2 064, x04)2y2 016, 解得 x03,y0 15,即 M(3, 15) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)
16、由题意可知 F2(3,0), 由椭圆定义可知|PF1|2a|PF2| |PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a, 当且仅当 M,P,F2三点共线时取得等号, 又|MF2| 63)240)25,2a10, |PM|PF2|5105,即|PM|PF1|的最小值为5 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点二 求椭圆的标准方程师生共研 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0); (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的 距离为 3; (3)经过点 P(2 3,1),Q(
17、 3,2)两点; (4)与椭圆x 2 4 y 2 3 1 有相同离心率,且经过点(2, 3) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)若焦点在 x 轴上,设方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 椭圆过点 A(3,0), 9 a21,a32a32b, b1方程为x 2 9 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 若焦点在 y 轴上,设方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 椭圆过点 A(3,0), 9 b21,b3 又 2a32b,a9方程为 y2 81 x2 9 1 综上所述,椭圆方程为x 2 9 y21 或 y2 81 x
18、2 9 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)由已知,有 a2c, ac 3,解得 a2 3, c 3. 从而 b2a2c29 所求椭圆方程为 x2 12 y2 9 1 或x 2 9 y2 121 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)设椭圆方程为 mx2ny21(m0,n0,mn), 点 P(2 3,1),Q( 3,2)在椭圆上, 12mn1, 3m4n1,解得 m 1 15,n 1 5 故椭圆方程为 x2 15 y2 5 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (4)若焦点在 x 轴上, 设所求椭圆方程为x
19、 2 4 y 2 3 t(t0), 将点(2, 3 )代入,得 t2 2 4 3) 2 3 2 故所求方程为x 2 8 y 2 6 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 若焦点在 y 轴上,设方程为y 2 4 x 2 3 (0)代入点(2, 3),得 25 12,所求方程为 y2 25 3 x2 25 4 1 综上可知椭圆方程为x 2 8 y 2 6 1 或 y2 25 3 x2 25 4 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形 状时,一定要注意常数2a|F1F2|这一条件 (2)
20、用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤: 作判断:根据条件判断焦点的位置; 设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为mx2ny2 1(m0,n0,m0); 找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组; 求解,得方程 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)椭圆的标准方程的两个应用 方程x 2 a2 y2 b21(ab0)与 x2 a2 y2 b2(0)有相同的离心率 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)共焦点的椭圆系方程为 x2 a2k y2 b2k 1(ab0,kb20),恰当运用椭圆系方程,可使运算简便 返回导航 高考一轮总复习 数学(新
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