2022版新高考数学人教版一轮课件：第6章 第2讲 一元二次不等式及其解法

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1、必考部分 第六章第六章 不等式不等式 第二讲 一元二次不等式及其解法 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 知识点一 一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_零的不等 式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0) (2)计算相应的_. (3)当_时，求出相应的一元二次方程的根 (4)利用二次函数的图象与x轴的_确定一元二次不等式的解 集 大于 判别式 0 交点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 知识点二 三个二次之间的关系 判

2、别式 b24ac 0 0 0)的图象 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 判别式 b24ac 0 0 0)的根 有_实根 x1， x2(x10 (a0)的解集 x|_ x|xR 且_ _ ax2bxc0)的解集 x|_ _ _ 两相异 两相等 没有 xx2或xx1 xx1 R x1x0(a0) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ： a0 且 b2 4ac0(xR) 2 ax2 bx c0(a0) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ： a0 且 b2 4ac0(0(1，af(x)ag(x)f(x)g(x)； 若 0aag(x)f(x)1，logaf(x)logag(x)

3、f(x)g(x)0； 若 0alogag(x)0f(x)g(x) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0. ( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0的两个根是x1和x2. ( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0 的解集为R. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0. ( ) (5)若二次函数yax2bxc

4、的图象开口向下，则不等式ax2bx c0 的解集是 ( ) A ，1 2 B 0，1 2 C(，0) 1 2， D 1 2， B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 3(必修5P80A组T4改编)已知集合Ax|x2x60，则RA等于 ( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|x3 Dx|x2x|x3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 x2x60，(x2)(x3)0， x3 或 x3 或 x0， 令 3x22x20，得 x11 7 3 ，x21 7 3 ， 3x22x20 的解集为 ，1 7 3 1 7 3 ， . ，1 7 3 1 7 3

5、 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 题组三 走向高考 5(2019 天津高考)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范 围是_. 解析 3x2x20(x1)(3x2)0， (x1) x2 3 01x2 3， x 的取值范围是 1，2 3 . 1，2 3 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 考点一 一元二次不等式的解法多维探究 例例 1 角度 1 不含参数的不等式 解下列不等式 (1)2x2x30. 分析 (1)将二次项系数化为正数，变为 2x2x30，求方程 2x2 x30 的根，若无根，则解集为 R，若有根

6、，则按“小于取中间，大 于取两边”写出解集 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)化2x2x30， (x1)(2x3)0，即(x1) x3 2 0，x3 2或 x1， 原不等式的解集为(，1) 3 2， . (2)因为 0 的解集为 R. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 (2)判：计算对应方程的判别式 (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没 有实根 (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 返回导航 高考一轮总复习 数

7、学（新高考） 第六章 不等式 例例 2 角度 2 含参数的不等式 解下列关于 x 的不等式： (1)ax2(a1)x10(aR)； (2)x22ax20(aR)； 分析 (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨 论 a 与 0 的关系， 并注意根的大小关系， 即讨论1 a与 1 的关系， 故需分 a0， a0,0a1 五种情况求解； (2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根 时根的大小关系； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)若 a0，原不等式等价于x10，解得 x1. 若 a0，则原不等式等价于 x1 a (x1)0，解

8、得 x1 a或 x1. 若 a0，原不等式等价于 x1 a (x1)0. 当 a1 时，1 a1， x1 a (x1)0 无解； 当 a1 时，1 a1，解 x1 a (x1)0 得1 ax1； 当 0a1 时，1 a1，解 x1 a (x1)0 得 1x1 a. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 综上所述：当 a0 时，解集为 x x1 a或x1 ；当 a0 时，解集 为x|x1；当 0a1 时，解集为 x 1x1 a ；当 a1 时，解集为； 当 a1 时，解集为 x 1 ax1 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)对于方程 x22a

9、x20，因为 4a28，所以当 0，即 2 a 2时， x22ax20 无实根 又二次函数 yx22ax2 的图象开 口向上，所以原不等式的解集为； 当 0，即 a 2时，x22ax20 有两个相等的实根， 当 a 2时，原不等式的解集为x|x 2， 当 a 2时，原不等式的解集为x|x 2； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 当 0，即 a 2或 a 2时，x22ax20 有两个不相等的实 根，分别为 x1a a22，x2a a22，且 x1x2，所以原不等式的 解集为x|a a22xa a22 综上， 当a 2或a 2时， 解集为x|a a22xa a22； 当 a

10、 2时，解集为x|x 2；当 a 2时，解集为x|x 2；当 2a 2时，解集为. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 含参数的不等式的求解往往需要分类讨论 (1)若二次项系数为常数，若判别式0，可先考虑分解因式，再对 根的大小分类讨论(分点由x1x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公 式，以便写出解集，若0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式 符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由0确定) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨 论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式 (3)

11、解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注 意分母不能为零 (4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大 于1分类求解，注意对数的真数必须为正 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练1 (1)(角度1)(2021 北京市海淀区期末)不等式x22x30的解集为 ( ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x1 (2)(角度2)解不等式x2(a1)xa0(aR) D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)由x22x30得(x3)(x1)0，解得3x1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa， 当a

12、1时，x2(a1)xa0的解集为， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax0 的解集是 x 1 2x 1 3 ，则不等式 x2bxa0 的解集是 ( ) Ax|2x3 Bx|x2 或 x3 C x 1 3x0 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是 ( ) A 23 5 ， B 23 5 ，1 C(1，) D ，23 5 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 分析 (1)利用根与系数的关系求解 (2)令f(x)x2ax2，a280恒成立，又两根之积为负值，所 以只要f(1)0或f(1)0，于是得解；思路二：“正难则反”，求 x2ax20在区间1,5上恒成立的a的

13、取值集合，只需f(5)0，再求其 补集即可；思路三：分离参数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)不等式 ax2bx10 的解集是 x|1 2x 1 3 ， ax2bx10 的解是 x11 2和 x2 1 3，且 a0， 方程 f(x)0，有两个不等实根，又两根之积为负， 方程有一正根和一负根 解法一：不等式 x2ax20 在区间1,5上有解，只要 f(1)0 或 f10. 解得 a1 或23 5 a0 在区间1,5上有解的 a 的取值范围是 23 5 ， . 解法三：x2ax20 在区间1,5上有解a2 xx 在1,5上有解 af(x)min(记 f(x)2

14、 xx，x1,5)，显然 f(x)为减函数，f(x)minf(5) 23 5 ，a23 5 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 引申若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是 _. (，1) 解析 由例 3(2)的解析知， 不等式 x2ax20 在区间1,5上有解， a2 xx，x1,5有解，显然 g(x) 2 xx 在1,5上递减，gmax(x)g(1)1， a1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达 定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如 本例(

15、2)中对应的二次函数图象过点(0，2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练 2 (1)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x1 15，则 a ( ) A5 2 B7 2 C15 4 D15 2 (2)(2021 九江模拟)若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间(1,4)内 有解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(，2) B(2，) C(6，) D(，6) A A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)解法一： 由题意知 x1， x2是方程 x22ax8a20 的两根， 则 x1x22a

16、，x1x28a2.又 x2x115，(x2x1)2(x1x2)24x1x2 4a232a236a2152.a0，a15 6 5 2，故选 A 解法二：由 x22ax8a2(x2a)(x4a)0，不等式的解 集为(2a,4a) 又不等式的解集为(x1，x2)，x12a，x24a.x2x14a( 2a)6a15，a5 2，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)解法一：由函数f(x)x24x2a图象的对称轴为x2.不等式 x24x2a0在区间(1,4)内有解f(4)0，即a0在区间(1,4)内有解等价 于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，

17、g(x)g(4)2， a2.故选A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 考点三 一元二次不等式恒成立问题师生共研 例例 4 已知 f(x)mx2mx1. (1)若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)若对于|m|1，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围 分析 (1)二次项系数含有字母 m，应分 m0 和 m0 讨论求解； (2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含 m 的一次不等式，根 据一次函数的性质求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不

18、等式 解析 (1)要使 mx2mx10 恒成立， 若 m0，显然10； 若 m0，则 m0， m24m0 4m0. 所以 m 的取值范围为(4,0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)要使 f(x)m5 在1,3上恒成立， 只需 mx2mxm0， 所以 m 6 x2x1.令 y 6 x2x1 6 x1 2 23 4 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 因为 t x1 2 23 4在1,3上是增函数， 所以 y 6 x2x1在1,3上是减函数 因此函数的最小值 ymin6 7. 所以 m 的取值范围是 ，6 7 . 返回导航 高考一轮总复习

19、数学（新高考） 第六章 不等式 (3)将不等式 f(x)0 整理成关于 m 的不等式为(x2x)m10. 令 g(m)(x2x)m1，m1,1 则 g10， g10 即 x2x10， x2x10， 解得1 5 2 x0(或0)对于一切 xR 恒成立的条 件是 a0， b24ac0或0. (2)一元二次不等式 ax2bxc0(或0)对于一切 xR 恒成立的条 件是 a0， b24ac0或0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 2在给定某区间上恒成立 (1)当xm，n，f(x)ax2bxc0恒成立，结合图象，只需 f(x)min0即可； (2)当xm，n，f(x)ax2bx

20、c0恒成立，只需f(x)max0即可 3解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地， 知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 4“不等式 f(x)0 有解(或解集不空)的参数 m 的取值集合”是 “f(x)0 的解集为”即 “f(x)0 恒成立” 注意：ax2bxc0 恒成立 ab0 c0 或 a0 b24ac0 ； ax2bxc0 恒成立 ab0 c0 或 a0 b24ac0 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练3 (1)若不等式(a3)x22(a3)x40对一切xR恒成立，则实数

21、a取 值的集合为 ( ) A(，3) B(1,3) C1,3 D(1,3 (2)(2021 山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x24xm对任 意的x(0,1恒成立，则有 ( ) Am3 Bm3 C3m0 Dm4 D A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (3)已知对于任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总 大于0，则x的取值范围是 ( ) Ax|1x3 Bx|x3 Cx|1x2 Dx|x2 B 解析 (1)当 a3 时，40 恒成立； 当 a3 时， a3， 4a3216a30， 解得1a3.所以10， g10 x23x20， x25x60 x3，

22、故选 B 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 一元二次方程根的分布 设一元二次方程 ax2bxc0(a0)，记 f(x)ax2bxc. (1)方程无根 b24ac0，记其根为 x1，x2且 x10 b24ac0， x1x2b a0， x1x2c a0. 或x10 0， af00， b 2a0； x100 x1x2c a0 或 x10 x2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 af(0)0； x1x20， x1x2b a0， 或 x1x20， af00， b 2ax1k 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章

23、不等式 0， afk0， b 2ak， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 x1kx2af(k)0； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 x1x20， afk0， b 2ak. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 mx1n0， afn0； x1mx2n 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 afm0； mx1x20， afn0， m b 2a0. x1mnx2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 afm0， afn0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 mx1nx

24、2p fm fn0， fn fp0. (1)一根在(1,2)内，另一根在(1,0)内应满足 f1f20 f0f10 即 m2m10 2m3m0 ，解得1 2m0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)一根在(1,1)内，另一根不在(1,1)内，应满足 f(1)f(1)0，即 (2m1)(2m3)1 2或 m 3 2，又m10，m1， m 范围 ，3 2 1 2，1 (1，) (3)一根小于 1，另一根大于 2，应满足 m1f10 m1f20 即 m12m10 m1m0 解得：0m1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (4)一根大于1，另一根

25、小于1， 应满足(m1)f(1)0，即(m1)(2m3)1 或 m3 2. (5)两根都在(1,3)内， 应满足 0 1m1 m10 m1f30 ， 解得： 3 2m0 m1f00 ，解得：0m1. (7)两根都小于 1，应满足： 0 m1 m10 ，解得：m1 或 m1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (8)在(1,2)内有解应满足 0 1m1 m10 m1f20 或 f(1)f(2)0 解得1 2m0，经检验 m 1 2及 m0 都不合题意舍去， 1 2m0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练4 (1)(2021 山东实验中学诊断)如果方程x2(m1)xm220的两个 实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是_. (2)若方程x2(k2)xk0的两实根均在区间(1,1)内，则k的取值 范围为_. (2,1) 42 3k1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)记 f(x)x2(m1)xm22， 由题意可知 f(1)m2m20，解得2m1. (2)由题意得， 0， 1k2 2 0， f10. 解得42 3k1 2. 谢谢观看