2022版新高考数学人教版一轮课件:第3章 第6讲 解三角形
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1、必考部分 第三章第三章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第六讲 解三角形 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 知识点一 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 _2R(其中R 是ABC外接圆的半径) a2_ b2_ c2_ b2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C a sin A b sin B c sin C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 定理 正弦定理 余弦定理 常见
2、 变形 a_, b_,c_ sin A_,sin B_, sin C_ abc_ asin Bbsin A,bsin Ccsin B, asin Ccsin A cos A_ cos B_ cos C_ 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C a 2R b 2R c 2R sin Asin Bsin C b2c2a2 2bc a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 定理 正弦定理 余弦定理 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边,求另一角 和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他
3、两角 (1)已知三边,求各角 (2)已知两边和它们的夹角, 求第三边和其他两个角 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 知识点二 在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a bsin A a bsin A bsin A ab ab 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 知识点三 三角形常用面积公式 (1)S1 2a ha(ha 表示 a 边上的高) (2)S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A. (3)S1
4、 2r(abc)(r 为内切圆半径) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 知识点四 实际问题中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线 所成的角中,目标视线 在水平视线上方的叫做 仰角,目标视线在水平 视线下方的叫做俯角 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从某点的指北方向线起 按顺时针方向到目标方 向线之间的水平夹角叫 做方位角方位角 的 范围是 0 Babsin Asin Bcos AB 必有 sin Asin B ( ) (2)在ABC 中,若 b
5、2c2a2,则ABC 为锐角三角形 ( ) (3)在ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c 且 a1, c 3, A 6,则 b1 或 2. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (4)若满足条件 C60 ,AB 3,BCa 的ABC 有两个,则实数 a 的取值范围是( 3,2) ( ) (5)在ABC 中,若 bcos Bacos A,则ABC 是等腰三角形 ( ) (6)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为 0, 2 . ( ) (7)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是 0, 2 . ( ) 返回导航 高考一
6、轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 题组二 走进教材 2(必修 5P10A 组 T8 改编)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c.已知 a 5,c2,cos A2 3,则 b ( ) A. 2 B 3 C2 D3 D 解析 由余弦定理,得 4b222bcos A5,整理得 3b28b3 0,解得 b3 或 b1 3(舍去),故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 3(必修 5P10A 组 T3 改编)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c.已知 C60 ,b 6,c3,则 A ( ) A45 B75
7、C105 D60 B 解析 由题意: b sin B c sin C,即 sin B bsin C c 6 3 2 3 2 2 ,结 合 bc 可得 B45 ,则 A180 BC75 . 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 4(必修 5P18T1 改编)在ABC 中,A60 ,AC4,BC2 3,则 ABC 的面积等于_. 解析 设ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c. 由题意及余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc c 21612 24c 1 2,解得 c2. 所以 S1 2bcsin A 1 242sin 60 2 3. 2 3 返
8、回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 5(必修 5P14例 5 改编)如图,设 A,B 两点在河的两岸,要测量两 点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 m 米, BAC, ACB, 则 A, B 两点间的距离为( ) A.msin sin B msin sin C msin sin D msin sin sin C 解析 ABC(),由正弦定理得 AB sin AC sin ABC AB m sin sin msin sin,故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 题组三 走
9、向高考 6(2020 课标理,7,5 分)在ABC 中,cos C2 3,AC4,BC3, 则 cos B ( ) A.1 9 B1 3 C1 2 D2 3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 解析 由 cos CAC 2BC2AB2 2AC BC 得2 3 169AB2 243 , AB3,cos BBA 2BC2AC2 2BA BC 9916 233 1 9,故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 7(2019 全国卷,5分)在ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c.已知bsin Aacos B0,则B
10、_. 解析 解法一:依题意与正弦定理得 sin Bsin Asin Acos B0,即 sin Bcos B,则 tan B1.又 0B,所以 B3 4 . 解法二:由正弦定理得 bsin Aasin B,又 bsin Aacos B0,所以 asin Bacos B0,即 sin Bcos B,则 tan B1.又 0B0,故 cos B0,B 为钝角如 图,过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E,则 CEbsin BAC,BE acos ABC,故 BECE.又 CEAB,所以CBE 4,ABC 3 4 . 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形
11、8(2019 全国卷,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c.若 b6,a2c,B 3,则ABC 的面积为_. 解析 解法一:因为 a2c,b6,B 3,所以由余弦定 理 b2a2c22accos B,得 62(2c)2c222cccos 3,得 c 2 3,所以 a4 3,所以ABC 的面积 S1 2acsin B 1 24 32 3sin 36 3. 6 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 解法二: 因为 a2c, b6, B 3, 所以由余弦定理 b 2a2c22accos B,得 62(2c)2c222cccos 3,得 c
12、2 3,所以 a4 3,所以 a 2 b2c2,所以 A 2,所以ABC 的面积 S 1 22 366 3. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (1)(2020 东北师范大学附属中学模拟)在ABC 中,a1,A 6,B 4,则 c ( ) A. 6 2 2 B 6 2 2 C 6 2 D 2 2 考点一 利用正、余弦定理解三角形自主练透 例 1 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (2)(2020 河南南阳期中)在ABC 中,a8,b10,A45 ,则此三 角形解的情况是 ( ) A一解
13、B两解 C一解或两解 D无解 (3)(2020 百校联盟第二次联考)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c.若 sin A3sin B,c 5,且 cos C5 6,则 a ( ) A2 2 B3 C3 2 D4 B B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (4)(2019 全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 asin Absin B4csin C,cos A1 4,则 b c等于 ( ) A6 B5 C4 D3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)解法一:
14、 sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos B cos Asin B 2 6 4 , 由正弦定理 a sin A c sin C得 c asin C sin A 1 2 6 4 1 2 6 2 2 ,故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 解法二:由正弦定理 a sin A b sin B,得 b asin B sin A 1sin 4 sin 6 2,则 cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B) 6 2 4 .由余弦定理 可得,c a2b22abcos C1221 2 6 2 4 6 2 2 . 故选 A.
15、 (2)因为 bsin 45 5 280),结合 余弦定理有:cos Ca 2b2c2 2ab 9m 2m25 6m2 5 6,求解关于实数 m 的方 程可得 m1,则 a3m3. (4)由正弦定理:asin Absin B4csin Ca2b24c2a2b24c2. 由余弦定理 cos Ab 2c2a2 2bc 1 4. 将代入,消去 a2得b 2c2b24c2 2bc 1 4 b c6.故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的 问题时,首先必须判明是否有解,(例如在ABC 中,已知 a1
16、,b2, A60 ,则 sin Bb asin A 31,问题就无解),如果有解,是一解,还 是两解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系,也可将角 (三角函数)的关系转化为边的关系 (3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角” (4)已知边多优先考虑余弦定理,角多优先考虑正弦定理. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若sin A sin B a c,(b ca)(bca)3bc,则ABC 的形状为 ( ) A直角
17、三角形 B等腰非等边三角形 C等边三角形 D钝角三角形 考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状师生共研 (1)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 例 2 B C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)解法一:因为 bcos Cccos Basin A, 由正弦定理知 sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A, 得 sin(BC)sin Asin A. 又 sin(BC)sin A,得 sin A1
18、, 即 A 2,因此ABC 是直角三角形 解法二:因为 bcos Cccos Bb a2b2c2 2ab c a2c2b2 2ac 2a 2 2a a, 所以 asin Aa,即 sin A1,故 A 2,因此ABC 是直角三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (2)因为sin A sin B a c,所以 a b a c,所以 bc. 又(bca)(bca)3bc, 所以 b2c2a2bc, 所以 cos Ab 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2. 因为 A(0,),所以 A 3, 所以ABC 是等边三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考
19、) 第三章 三角函数、解三角形 三角形形状的判定方法 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如 a2Rsin A,a2b2c2 2abcos C 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此 时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如 sin Asin BAB; sin(AB)0AB;sin 2Asin 2BAB 或 AB 2等 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如 sin A a 2R ,cos A b2c2a2 2bc 等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断 (3)注意无论是化边还是化角,在化
20、简过程中出现公因式不要轻易约 掉,否则会有漏掉一种形状的可能 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 变式训练1 (1)(2021 长春调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若2bcos C2ccos Ba,且B2C,则ABC的形状是 ( ) A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (2)(2021 开封调研)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),则ABC的形状是( ) A等腰三角形
21、B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)因为 2bcos C2ccos Ba, 所以 2sin Bcos C2sin Ccos B sin Asin(BC),即 sin Bcos C3cos Bsin C,所以 tan B3tan C,又 B2C,所以 2tan C 1tan2C3tan C,得 tan C 3 3 ,C 6,B2C 3,A 2, 故ABC 为直角三角形故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第三章 三角函数、解三角形 (2)解法一:已知等式可化为 a2sin(
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