2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第12讲 第1课时 导数与函数的单调性

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1、必考部分 第第二章章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 第十二讲 导数在研究函数中的应用 第一课时 导数与函数的单调性 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点 函数的单调性 (1)设函数yf(x)在某个区间内_，若f(x)_0，则f(x)为 增函数，若f(x)_0，则f(x)为减函数 (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤： 确定f(x)的_； 求导数f(x)； 令f(x)_0(或f(x)_0)，解出相应的x的范围； 当 _ 时 ， f(x) 在 相 应

2、区 间 上 是 增 函 数 ， 当 _时，f(x)在相应区间上是减函数 可导 0 f(x)0(或f(x)0. ( ) (2)若函数 yf(x)在(a，b)内恒有 f(x)0，则 yf(x)在(a，b)上一定 为增函数 ( ) (3)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有 单调性 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (4)因为 y 1 ln x的导函数为 y 1 xln x2，x0，y0，因此 y 1 ln x的减区间为(0，) ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)

3、有可能 f(x)0，如 f(x)x3，它在(，)上为增 函数，但 f(x)x20. (2)因为 yf(x)若为常数函数，则一定有 f(x)0 满足条件，但不具 备单调性 (3)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则此函数 f(x)在这个区 间内为常数函数，则函数 f(x)在这个区间内没有单调性 (4)y 1 ln x定义域为(0,1)(1，)，因此它的减区间为(0,1)和(1， ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组二 走进教材 2(选修22P26T1改编)函数f(x)x36x2的单调递减区间为( ) A(0,4) B(0,2) C(4，)

4、D(，0) 解析 f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0 xf(3)f() Bf(3)f(2)f() Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2) 解析 f(x)1cos x，当x(0，时，f(x)0，所以f(x)在(0， 上是增函数，所以f()f(3)f(2)故选D. D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 4(选修22P31AT3改编)已知函数yf(x)在定义域(3,6)内可导， 其图象如图，其导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为 _. 解析 f(x)0，即yf(x)递减，故f(x)0，解集为 1,24,6) 1,24,6)

5、返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组三 走向高考 5(2017 浙江，4分)函数yf(x)的导函数yf(x) 的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是( ) D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的 两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除 A，B；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(， x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递 减，排除C，选D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章

6、函数、导数及其应用 6(2016 全国卷，5 分)若函数 f(x)x1 3sin 2xasin x 在(， )上单调递增，则 a 的取值范围是 ( ) A. 1，1 B 1，1 3 C 1 3， 1 3 D 1，1 3 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 函数 f(x)x1 3sin 2xasin x 在(， )上单调递增， 等 价于 f(x)12 3cos 2xacos x 4 3cos 2xacos x5 30 在(， ) 上恒成立设 cos xt，则 g(t)4 3t 2at5 30 在1,1上恒成立，所 以 g14 3a 5 30， g14

7、3a 5 30， 解得1 3a 1 3.故选 C. 注： 文科(sin 2x)(2sin xcos x)2(sin x) cos xsin x (cos x) 2(cos2xsin2x)2cos 2x. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点 函数的单调性 考向1 不含参数的函数的单调性自主练透 (1)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是 ( ) A(0,1) B(1，) C(，1) D(1,1) (2)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是 ( ) A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 例 1 A D

8、返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)函数 f(x)x2 1x的单调递增区间是_； 单调递 减区间是_. (4)已知定义在区间(，)上的函数 f(x)xsin xcos x，则 f(x)的单 调递增区间是_. (，0) (0,1) 解析 (1)f(x)2x2 x 2x1x1 x (x0)， 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 ， 2 和 0， 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex， 令 f(x)0， 解得 x2， 故选 D. 排除法：观察 yx3，ye

9、x，在(3，)上递增，选 D. (3)f(x)的定义域为x|x1， f(x)1 1 1x.令 f(x)0，得 x0. 当 0 x1 时，f(x)0.当 x0. f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0,1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (4)f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令 f(x)xcos x0， 则其在区间(，)上的解集为 ， 2 0， 2 ， 即 f(x)的单调递增区间为 ， 2 和 0， 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 用导数f(x)确定函数f(x)单调区间的三

10、种类型及方法： (1)当不等式f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0)讨论 f(x)的单调性 解析 函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)a(x1)11 x x1ax1 x ， 令 f(x)0，则 x11，x21 a， 若 a1，则 f(x)0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 若 0a1， 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增函数， 当 x 1，1 a 时，f(x)0，f(x)是增函数 若 a1，则 01 a0，f(x)是增函数， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数

11、及其应用 当 x 1 a，1 时，f(x)0，f(x)是增函数， 综上所述，当 a1 时，f(x)在(0，)上是增函数； 当 0a1 时，f(x)在 0，1 a 上是增函数，在 1 a，1 上是减函数，在(1， )上是增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式 以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为0的点和函数的间断点 (3)个别导数为0的点不影响在区间的单调性

12、，如f(x)x3，f(x) 3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练 1 设函数 f(x)x1 xaln x(aR)，讨论 f(x)的单调性 解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 1 x2 a x x2ax1 x2 . 令 g(x)x2ax1，则方程 x2ax10 的判别式 a24. 当|a|2 时，即2a2 时，0，f(x)0，故 f(x)在(0，) 上单调递增 当 a0，g(x)0 的两根都小于 0，在(0，)上恒有 f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增 返回导航 高考一轮总复

13、习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当 a2 时， 0， g(x)0 有两根为 x1a a 24 2 ， x2a a 24 2 ， 当 0 x0； 当 x1xx2时， f(x)x2时， f(x)0， 故 f(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减 综上得，当 a2 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a2 时，f(x)在 0，a a 24 2 ， a a24 2 ，上单调递增，在 a a24 2 ，a a 24 2 上单调递减 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 已知函数 f(x)xsin x，xR，则 f 5 ，f

14、(1)，f 3 的大小关 系为 ( ) Af 3 f(1)f 5 Bf(1)f 3 f 5 Cf 5 f(1)f 3 Df 3 f 5 f(1) 考向3 利用导数解决函数的单调性的应用问题多维探究 角度1 比较大小 例 3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 因为 f(x)xsin x，所以 f(x)(x) sin(x)xsin xf(x)， 所以函数 f(x)是偶函数，所以 f 3 f 3 .又当 x 0， 2 时，f(x)sin x xcos x0， 所以函数 f(x)在 0， 2 上是增函数， 所以 f 5 f(1)f(1)f 5 ，故选 A.

15、 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 解不等式 设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集 是 ( ) A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3) C(，3)(3，) D(，3)(0,3) 例 4 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 f(x)g(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0.f(x)g(x)在( ，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)0，f(x

16、)g(x)在(0，)上也是增函 数f(3)g(3)0， f(3)g(3)0.f(x)g(x)0的解集为(3,0)(3，)故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度3 已知函数的单调性求参数取值范围 若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取 值范围是 ( ) A(，2 B(，1 C2，) D1，) 分析 利用函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增等价于 f(x)0在(1，)恒成立求解或利用区间(1，)是f(x)的增区间 的子集求解 例 5 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 解法一

17、：因为 f(x)在(1，)上单调递增， 所以 f(x)0 在(1，)上恒成立， 因为 f(x)kxln x， 所以 f(x)k1 x0，即 k 1 x. 因为 x1，所以 01 x0)， 当 k0 时，f(x)k1 x0 时，由 f(x)0 知 x1 k，即 1 k， 是 f(x)的增区间. 由题意 可知1 k1，即 k1，故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 引申本例中(1)若f(x)的增区间为(1，)，则k_； (2)若f(x)在(1，)上递减，则k的取值范围是_； (3)若f(x)在(1，)上不单调，则k的取值范围是_； (4) 若 f(x)

18、在 (1 ， ) 上 存 在 减 区 间 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 _； (5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是_. 1 (，0 (0,1) (，1) ，1 2 1，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由解法 2 知1 k1，k1； (2)由题意知 f(x)kx1 x 0 在(1，)上恒成立即 k1 x，又 x1， 01 x1，k0，即 k 的取值范围是(，0； (3)由本例及引申(2)知，f(x)在(1，)上单调，则 k0 或 k1， f(x)在(1，)上不单调，则 0k1.即 k 的取值范围是(0,1)； (4)由题

19、意可知 f(x)kx1 x 0 在(1，)内有解即 k1 x，x(1， )有解，由 01 x1 可知 k1，即 k 的取值范围是(，1)； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (5)x(1,2)，1 2 1 x1， 若 f(x)在(1,2)上单调增， 则 f(x)kx1 x 0 恒成立， 即 k1 x， k1. 若 f(x)在(1,2)上单调减，则 f(x)kx1 x 0 恒成立，即 k1 x，k 1 2. f(x)在(1,2)上单调，则 k 的取值范围是(，1 21，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 已知函数单调性，求

20、参数取值范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集 (2)转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数f(x)单调递减，则f(x)0”来求解 提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且 在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等 号不能省略，否则漏解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练 2 (1)(角度 1)已知函数 f(x)1 2x 2ln x，则有 ( ) Af(2)f(e)f(3) Bf(

21、e)f(2)f(3) Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)f(2) (2)(角度 2)(2021 昆明模拟)已知函数 f(x)xsin xcos xx2，则不等 式 f(ln x)f ln 1 x 0)， 在(0,1)上递减，在(1，)上递增， f(3)f(e)f(2)故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)函数 f(x)xsin xcos xx2的导数为 f(x)sin xxcos xsin x 2xx(2cos x)， 则 x0 时，f(x)0，f(x)单调递增， 且 f(x)(x)sin(x)cos(x)(x)2f(x)， 所以

22、f(x)为偶函数，即有 f(x)f(|x|)， 则不等式 f(ln x)f ln 1 x )2f(1)， 即为 f(ln x)f(1)，即为 f(|ln x|)f(1)， 则|ln x|1，即1ln x1，解得1 ex0)， f(x)x34 x， 函数 f(x)1 2x 23x4ln x 在(t，t1)上不单调， f(x)x34 x在(t，t1)上有变号零点， x 23x4 x 0 在(t，t1)上有解， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 x23x40在(t，t1)上有解， 由x23x40得x1或x4(舍去) 1(t，t1)，t(0,1)， 故实数t的取值范

23、围是(0,1) 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 f(x)为定义在 R 上的可导函数，且 f(x)f(x)，对任意正实 数 a，下列式子成立的是 ( ) Af(a)eaf(0) Cf(a)f0 ea 例 5 B 构造法在导数中的应用 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 令 g(x)fx ex ， g(x)fxe xfxex ex2 fxfx ex 0. g(x)在 R 上为增函数又a0， g(a)g(0)，即fa ea f0 e0 ，即 f(a)eaf(0) 返回导航 高考一轮总复习 数

24、学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2015 课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函 数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值 范围是 ( ) A(，1)(0,1) B(1,0)(1，) C(，1)(1,0) D(0,1)(1，) 例 5 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 令 F(x)fx x ，因为 f(x)为奇函数，所以 F(x)为偶函数，由于 f(x)xfxfx x2 ，当 x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）

25、 第二章 函数、导数及其应用 (1)对于不等式 f(x)g(x)0(或0(或k(或0(或0(或0(或0(或1，则不等式f(x) x0的解集为_. (2)函数f(x)的导函数f(x)，对任意xR，都有f(x)f(x)成立，若 f(ln 2)2，则满足不等式f(x)ex的x的范围是 ( ) Ax1 B0 xln 2 D0 x0，g(x)为增函数 g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由题意，对任意 xR，都有 f(x)f(x)成立， 即 f(x)f(x)0，令 g(x)fx ex ， 则 g(x)fxe xfxex e2x fxfx ex 0， 所以函数 g(x)为单调递增 函数， 又因为不等式 f(x)ex，即 g(x)1，因为 f(ln 2)2，所以 g(ln 2)1， 所以不等式的解集为 xln 2，故选 C. 谢谢观看