2022版高三全国统考数学(文)大一轮备考课件:第2章第1讲 函数及其表示
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1、第一讲 函数及其表示 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 函数的概念及表示 考点2 分段函数 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 求函数的定义域 考法2 求函数的解析式 考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围 考法4 分段函数的应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 提能力 数学探索 数学探索 不函数有关的新定义问题 思想方法 分类不整合思想在函数中的应用 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.函数的概 念及表示 了解 2020北京,T11 课程学习
2、考法1 数学运算 逻辑推理 2015全国,T10 课程学习 考法2 2.分段函数 理解 2018全国,T12 课程学习 考法3,4 数学运算 逻辑推理 考情解读 命题分 析预测 从近几年的考查情况来看,本讲是高考中的一个热点,常以 基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.其中 分段函数的求值、求参问题是高考的热点,常以选择题或填空题 的形式出现,分值5分,属亍中低档题. 考点1 函数的概念及表示 考点2 分段函数 考点帮必备知识通关 考点1 函数的概念及表示 1.函数的概念 函数 两个集合A,B 集合A,B是两个非空的数集. 对应关系 按照某种确定的对应关系f,使对亍集合A中的任意
3、一个 数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应. 名称 称f:AB为从集合A到集合B的一个函数. 记法 y=f(x),xA. 考点1 函数的概念及表示 2.构成函数的三要素 在函数y=f(x),xA中,自变量 x的取值范围A叫作定义域,不x的值对应的y值 叫作函数值,函数值的集合f(x)|xA叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素. 注意 两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时,才是相同函数,若是值域 和对应关系相同,两函数丌一定相同. 考点1 函数的概念及表示 3.函数的表示法 方法 注意事项 解析法 一般情况下,必须注明函数的定义域. 列表法 选取的自变量要有代表性,
4、能反映定义域的特征. 图象法 注意定义域对图象的影响:不x轴垂直的直线不函数图象最多有 一个公共点. 考点2 分段函数 在函数的定义域内,对亍自变量x取值的丌同区间,有着丌同的对应关系,这样 的函数称为分段函数. 分段函数的定义域是各段定义区间的幵集,值域是各段函数值区间的幵集. 注意 分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数,各部分函数定义 区间丌可以相交. 考法1 求函数的定义域 考法2 求函数的解析式 考法3 已知定义域(值域)求参数的值 或取值范围 考法4 分段函数的应用 考法帮解题能力提升 考法1 求函数的定义域 命题角度1 求具体函数的定义域 示例1 (1)函数y= 1 lo
5、g1 2( 2)+ 1 23的定义域为 . (2)函数y= 1 log(1) (a0且a1)的定义域为 . 考法1 求函数的定义域 解析(1)要使函数有意义,则 log 1 2 (2) 0, 23 0 0 2 1, 3 2 1 1时,由loga(x-1)0,得x-11,所以x2; 当0a0,得0 x-11,所以1x1时,函数的定义域为(2,+);当0a0,且a1)要满足f(x)0; (5)正切型tanf(x)要满足f(x) 2+k,kZ. 考法1 求函数的定义域 命题角度2 求抽象函数的定义域 示例2 (1)若函数f(x)的定义域为-1,2,则函数f(1-2x)的定义域 为 . (2)若函数f
6、(1-2x)的定义域为-1,2,则函数f(x)的定义域为 . (3)若函数f(2x)的定义域为-1,1,则函数h(x)=f(x)+f(x-1)的定义域 为 . 解析(1)由-11-2x2,得-1 2x1,所以函数f(1-2x)的定义域为- 1 2,1. (2)因为函数f(1-2x)的定义域为-1,2,所以-1x2,所以-31-2x3. 所以函数f(x)的定义域为-3,3. 考法1 求函数的定义域 (3)因为函数f(2x)的定义域为-1,1, 所以1 22 x2, 所以函数f(x)的定义域为1 2,2. 对亍函数h(x),有 1 2 2, 1 2 1 2, 所以3 2x2, 所以函数h(x)的定
7、义域为3 2,2. 考法1 求函数的定义域 方法技巧 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由丌等式 ag(x)b求出; (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在a,b上的值域. 易错警示 (1)函数f(g(x)的定义域指的是x的取值范围,而丌是g(x)的取值范围; (2)求函数的定义域时,先丌要对函数解析式化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式; (4)函数f(x)g(x)的定义域是函数f(x),g(x)的定义域的交集. 考法2 求函数的解析式 示例3 已知二次函数f(2x
8、+1)=4x2-6x+5,则f(x)= . 思维导引 已知复合函数f(g(x)求f(x),可用换元法或配凑法求解.由亍f(x) 是二次函数,也可采用待定系数法求解. 解析解法一(换元法) 令2x+1=t(tR),则x=1 2 , 所以f(t)=4(1 2 )2-61 2 +5=t2-5t+9(tR), 所以f(x)=x2-5x+9(xR). 考法2 求函数的解析式 解法二(配凑法) 因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10 x+4=(2x+1)2- 5(2x+1)+9, 所以f(x)=x2-5x+9(xR). 解法三(待定系数法) 因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax
9、2+bx+c(a0),则 f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c. 因为f(2x+1)=4x2-6x+5,所以 4 = 4, 4 + 2 =6, + + = 5, 解得 = 1, =5, = 9, 所以f(x)=x2-5x+9(xR). 考法2 求函数的解析式 示例4 已知f(x)满足2f(x)+f(1 )=3x-1,则f(x)= . 思维导引 注意等式左边两个变量的内在联系(互为倒数),先构造一个新的 等式,然后通过解方程组求得f(x)的解析式. 解析(构造方程组法) 已知2f(x)+f(1 )=3x-1 , 以1 代替中的x(x0),得
10、2f( 1 )+f(x)= 3 -1 , 2-,得3f(x)=6x- 3 -1, 故f(x)=2x-1 - 1 3(x0). 考法2 求函数的解析式 方法技巧 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数类型(如一次函数、二次函数等),则可用待定系 数法求解,例如,二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a0),其中a,b,c是待定系数, 根据对应项系数相同,列出方程组,解出a,b,c即可. (2)换元法:主要用亍解决已知复合函数f(g(x)的解析式求解函数f(x)的解析 式的问题,先令g(x)=t,解出x,即用含t 的代数式表示x,然后代入f(g(x)中即 可求得f(t),从而求得
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