2021年人教版高中数学必修第一册课件:第5章5.4.2《第2课时单调性与最值》(含答案)
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1、第五章 三角函数 5.45.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5.4.25.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第第2 2课时课时 单调性与最值单调性与最值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握ysin x,ycos x的最大值与最小值,并 会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点) 2.掌握ysin x,ycos x的单调性,并能利用单 调性比较大小(重点) 3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单 调区间(重点、易混点) 1.通过单调性与最值 的计算,提升数学运 算素养. 2.结合函数图象,培 养直观想
2、象素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 解析式 ysin x ycos x 图象 值域 _ _ 1,1 1,1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 单调性 在 22k, 2 2k,kZ上单 调递增, 在 22k, 3 2 2k,kZ上单 调递减 在2k,2k, kZ上单调递增, 在2k,2k,kZ 上单调递减 最值 x 22k,kZ时,ymax1;x 22k,kZ时,ymin1 x2k,kZ时,ymax 1;x2k,kZ时, ymin1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 思考:ysin x和y
3、cos x在区间(m,n)(其中0mn2)上都是减 函数,你能确定m的最小值、n的最大值吗? 提示:由正弦函数和余弦函数的单调性可知m 2,n. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 1函数ycos x在区间 2, 2 上是( ) A增函数 B减函数 C先减后增函数 D先增后减函数 C 因为ycos x在区间 2, 2 上先增后减,所以ycos x在区间 2, 2 上先减后增 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 2函数ysin x 4x 5 6 的值 域为_ 1 2,1 因为 4x 5 6 ,所以1 2 sin x1,即所求的值域为 1 2,1 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9
4、 3函数y2sin x取得最大值 时x的取值集合为_ x x2k 2,kZ 当sin x 1时,ymax2(1)3, 此时x2k 2,kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 4若cos xm1有意义,则m 的取值范围是_ 0,2 因为1cos x1, 要使 cos xm1 有意义,须有1m 11,所以 0m2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 【例 1】 (1)函数 ycos x 在区间,a上为增函数,则 a 的取值范 围是_ (2)已知函数 f(x) 2sin 42x 1,求函数 f(x)
5、的单调递增区间 思路点拨 (1)确定 a 的范围ycos x 在区间,a上为增函数y cos x 在区间,0上是增函数,在区间0,上是减函数a 的范围 (2)确定增区间令 u 42xy 2sin u 的单调递增区间 正弦函数、余弦函数的单调性 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 (1)(,0 (1)因为ycos x在,0上是增函数,在0,上是 减函数,所以只有a0时满足条件,故a(,0 (2)解 令u 42x,函数y 2sin u的单调递增区间为 22k, 22k ,kZ,由 22k 42x 22k,kZ, 得3 8 kx 8k,kZ. 所以函数f(x) 2sin 42x 1的单调递增区
6、间是 3 8 k, 8k ,kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1求形如yAsin(x)b或形如yAcos(x)b(其中A0, 0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单 调区间,通过解不等式求得 2具体求解时注意两点:要把x看作一个整体,若0,0时,将“x ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单 调区间;当A0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反 的单调区间 提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1(1)函数ysin 3x 6 ,x 3, 3 的单调递减区间为_ (2)已知
7、函数ycos 32x ,则它的单调减区间为_ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (1) 3, 2 9 , 9, 3 (2) k 6,k 2 3 (kZ) (1)由 2 2k3x 6 3 2 2k(kZ), 得 9 2k 3 x4 9 2k 3 (kZ) 又x 3, 3 , 所以函数ysin 3x 6 , 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 x 3, 3 的单调递减区间为 3, 2 9 , 9, 3. (2)ycos 32x cos 2x 3 , 由2k2x 32k,kZ, 得k 6xk 2 3 ,kZ,单调递减区间是 k 6,k 2 3 (kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
8、航 18 【例2】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小 (1)sin 18 与sin 10 ; (2)sin 196 与cos 156 ; (3)cos 23 5 与cos 17 4 . 思路点拨 用诱导公式化简 利用函数的单调 性由自变量的大 小推出对应函数 值的大小 利用三角函数的单调性比较大小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 解 (1) 2 10 18 2, sin 18 sin 10 . (2)sin 196 sin(180 16 )sin 16 , cos 156 cos(180 24 )cos 24 sin 66 , 0 16 66 90 , sin 16 sin
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