2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十七） 共线定理的推广

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1、微专题微专题(十七十七) 共线定理的推广共线定理的推广 共线定理：已知PA ，PB为平面内两个不共线的向量，设PCxPAyPB，则 A，B，C 三 点共线的充要条件为 xy1. 推广形式： 如右图所示， 直线 DEAB， C 为直线 DE 上任一点， 设PC xPAyPB(x， yR) 当直线 DE 不过点 P 时，直线 PC 与直线 AB 的交点记为 F，因为点 F 在直线 AB 上，所 以由三点共线结论可知，若PF PAPB(，R)，则 1.由PAB 与PED 相似，知 必存在一个常数 mR，使得PC mPF，则PCmPFmPAmPB. 又PC xPAyPB(x，yR)， 所以 xymmm

2、. 以上过程可逆 因此得到结论：PC xPAyPB， 则 xym(定值)，反之亦成立 例 1 如图， 在正六边形 ABCDEF中， P是CDE内(包括边界)的动点， 设AP ABAF (，R)，则 的取值范围是_ 解析：当 P 在CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线，过 D 点的平行线是最远的，所以 AN AM， AD AM3,4 答案：3,4 例 2 如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC mOA nOB ，则 mn 的取值范围是_ 解析： 由点 D 是圆 O 外的一点， 可设BD BA (1)， 则OD OB B

3、D OB BA OA (1)OB .因为 C、 O、 D 三点共线， 令OD OC (1) 所以OC OA 1 OB (1， 1) 因为OC mOA nOB ，所以 m ， n1 ，所以 mn 1 1 (1,0) 答案：(1,0) 变式练 如图，在扇形 OAB 中， AOB 3，C 为弧 AB 上的动点，若OC xOA yOB ，则 x3y 的取值范围是_ 微专题微专题(十七十七) 变式练 解析： OC xOA 3y(OB 3 )，如图作OB 1 3OB ，则考虑以向量OA ， OB 为基底，显然， 当 C 在 A 点时经过 m1 的平行线，当 C 在 B 点时经过 m3 的平行线，这两条线分别是最 近与最远的平行线，所以 x3y 的取值范围是1,3 答案：1,3