2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(二十一) 数列与其函数的交汇
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1、微专题微专题(二十一二十一) 数列与其函数的交汇数列与其函数的交汇 例 2021 大庆模拟设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x1)2f(x),且 x0,1)时,f(x) sin x.当 x0,)时,将函数 f(x)的极大值点从小到大依次记为 a1,a2,a3,an, 并记相应的极大值为 b1,b2,b3,bn,则数列anbn的前 9 项和为_ 解析:函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x1)2f(x),则 f(x)2f(x1), 且当 x0,1)时,f(x)sin x, 则当 xn1,n)(nN*),x(n1)0,1), f(x)2f(x1)22f(x2)2n 1fx(n1)2n1
2、sinx(n1), f(x)2n 1cosx(n1), 当 xn1,n)(nN*)时,x(n1)0,1),则x(n1)0,), 令 f(x)0,可得 x(n1) 2,解得 xn 1 2, 当 n1x0,当 n 1 2xn 时,f(x)0. 所以,函数 yf(x)在 xn1 2处取得极大值,即 bnf n1 2 2n 1, 又 ann1 2,anbnn 1 22 n1, 因此,数列anbn的前 9 项的和 S9 1 29 1 2 9 2 12 9 12 1 103 2 . 答案:1 103 2 名师点评 1本题把数列问题与函数的极值点相交汇,借用导数的工具性求出极值点,进而求得结 果,考查考生的
3、逻辑推理、数学运算等核心素养 2破解数列与函数相交汇问题的关键:一是会利用导数法求函数的极值点;二是会利用 等差数列的单调性,若公差大于 0,则该数列单调递增,若公差小于 0,则该数列单调递减, 若公差等于 0,则该数列是常数列,不具有单调性;三是会利用公式法求和,记清等差数列与 等比数列的前 n 项和公式,不要搞混 变式练 已知数列an的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(nN*)在函数 yx210 x 的图象上, 等差数列bn满足 bnbn1an(nN*),其前 n 项和为 Tn,则下列结论正确的是( ) ASn2Tn Bb40 CT7b7 DT5T6 微专题微专题(二十一二十一) 变式练 解析:因为点(n,Sn)(nN*)在函数 yx210 x 的图象上,所以,Snn210n,所以 an 2n11,又 bnbn1an(nN*),数列bn为等差数列,设公差为 d,所以 2b1d9,2b1 3d7,解得 b15,d1,所以 bnn6,所以 b60,所以 T5T6,故选 D. 答案:D
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