2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十九） 非线性回归直线方程的求解

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1、微专题微专题(二十九二十九) 非线性回归直线方程的求解非线性回归直线方程的求解 回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的，还是非线 性的，分为线性回归分析和非线性回归分析通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇 到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 例 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对 年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i 1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 x y w i1 8 (xi x )2 i1 8 (w

2、iw )2 i1 8 (xi x ) (y i y ) i1 8 (wiw ) (y i y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi xi，w 1 8 i1 8 wi. (1)根据散点图判断，yabx 与 ycd x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题： 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 x 为

3、何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线v u 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为 i1 n ui u v i v i1 n ui u 2 ， v u . 解析：(1)由散点图可以判断，ycd x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程 类型 (2)令 w x， 先建立 y 关于 w 的线性回归方程， 由于d i1 8 wiw y i y i1 8 wiw 2 108.8 1.6 68， c ydw563686.8100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y 100.668w， 因此 y 关于 x 的回归方程为y

4、 100.668 x. (3)由(2)知，当 x49 时， 年销售量 y 的预报值y 100.668 49576.6， 年利润 z 的预报值z 576.60.24966.32. 根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 z 0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12. 所以当 x13.6 2 6.8，即 x46.24 时，z 取得最大值 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大 名师点评 非线性回归方程的求法 (1)根据原始数据(x，y)作出散点图 (2)根据散点图选择恰当的拟合函数 (3)作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程 (4)在(3)的基础上通过相应

5、变换，即可得非线性回归方程 变式练 二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单 位：万元/辆)进行整理，得到如下数据： 使用年数 2 3 4 5 6 7 售价 y 20 12 8 6.4 4.4 3 zln y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 下面是 z 关于 x 的折线图： (1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 z 与 x 的关系，请用相关系数加以说明； (2)求 y 关于 x 的回归方程并预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9 年时售价约为多少？ (b 、a小数点后保留两位有效数字) 参考公式：回归方程y b xa 中斜率

6、和截距的最小二乘估计公式分别为：b i1 n xi x y i y i1 n xi x 2 i1 n xiyin x y i1 n x2in x 2 ； a yb x ，r i1 n xi x y i y i1 n xi x 2 i1 n yi y 2 参考数据： i1 6 xiyi187.4， i1 6 xizi47.64， i1 6 x 2 i139， i1 6 xi x 2 4.18， i1 6 yi y 213.96， i1 6 zi z 21.53，ln 1.460.38，ln 0.711 80.34. 微专题微专题(二十九二十九) 变式练 解析：(1)由题意，计算 x 1 6(23

7、4567)4.5， z 1 6(32.482.081.861.481.10)2. 且 i1 6 xizi47.64, i1 6 xi x 24.18, i1 6 zi z 21.53， r i1 n xi x z i z i1 n xi x 2 i1 n zi z 2 47.6464.52 4.181.53 6.36 6.395 40.99. z 与 x 的相关系数大约为0.99，说明 z 与 x 的线性相关程度很高 (2)利用最小二乘法估计公式计算 b i1 n xizin x z i1 n x2in x 2 47.6464.52 13964.52 6.36 17.50.36. a zb x 20.364.53.62. z 与 x 的线性回归方程是z 0.36x3.62. 又 zln y， y 关于 x 的回归方程是y e0.36x3.62， 令 x9，解得y e0.3693.621.46， 即预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9 年时售价约 1.46 万元