2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:9.6 双曲线
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1、第六节第六节 双曲线双曲线 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1双曲线的定义 (1)平面内与两个定点 F1、F2(|F1F2|2c0)的距离_为非零常数 2a(2a0,c0. ()当_时,M 点的轨迹是双曲线; ()当_时,M 点的轨迹是两条射线; ()当_时,M 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0,b0) y2 a2 x2 b21 (a0,b0) 图形 性 质 范围 _ yR _ xR 对称性 对称轴:_ 对称中心:_ 对称轴:_ 对称中心:_ 顶点 顶点坐标:A1_, A2_ 顶点坐标:A1_, A2_ 渐近线 _ _ 离心率
2、e_,e(1,)其中 c_ 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| 21_;线段 B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2| 22_;a 叫做双曲 线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 关系 c2 23_(ca0,cb0) 3.双曲线中的 4 个常用结论 (1)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直 (2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系:当焦点在 x 轴上时,渐近线斜率为 b a,当 焦点在 y 轴上时,渐近线斜率为 a b. (3)渐近线与离心率 x2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线的斜率为 b a e 21
3、. (4)若 P 为双曲线上一点,F 为其对应焦点,则|PF|ca. 二、必明 4 个易误点 1双曲线的定义中易忽视 2a|F1F2|则轨迹不存在 2双曲线的标准方程中对 a,b 的要求只是 a0,b0,易误认为与椭圆标准方程中 a,b 的要求相同 若 ab0,则双曲线的离心率 e(1, 2); 若 ab0,则双曲线的离心率 e 2; 若 0a 2. 3注意区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a2b2c2, 而在双曲线中 c2a2b2. 4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在 x 轴上,渐近线斜率为 b a, 当焦点在 y 轴上,渐近线斜率为 a
4、 b. 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线( ) (2)方程x 2 m y2 n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) (3)双曲线方程x 2 m2 y2 n2(m0,n0,0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20,即 x m y n0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( ) (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0, b0)与 x2 b2 y2 a21(a0, b0)的离心率分别是 e1, e2, 则
5、1 e21 1 e22 1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 二、教材改编 2若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离 心率为( ) A. 5 B5 C. 2 D2 3经过点 A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 三、易错易混 4P 是双曲线x 2 16 y2 811 上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且|PF1|9,则|PF2| _. 5坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 3,则双 曲线的离心率为_ 四、走进高考 6 2020 江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中, 若双
6、曲线x 2 a2 y2 51(a0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x,则该双曲线的离心率是_ 考点一 双曲线的定义及其标准方程 互动讲练型 考向一:双曲线的定义及应用 例 1 (1)2021 河南非凡联盟联考已知双曲线 C:x 2 a2 y2 91(a0)的左、右焦点分别为 F1,F2,一条渐近线与直线 4x3y0 垂直,点 M 在 C 上,且|MF2|6,则|MF1|( ) A2 或 14 B2 C14 D2 或 10 (2)2020 全国卷设双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心 率为 5.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F
7、2的面积为 4,则 a( ) A1 B2 C4 D8 悟 技法 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程; (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方 的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系 注意 在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双曲 线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支. 考向二:双曲线的方程 例 2 2020 天津卷设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0,b0),过抛物线 y 24x 的焦点 和点(0,b)的直线为 l.若 C
8、 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方 程为( ) A.x 2 4 y2 41 Bx 2y 2 41 C.x 2 4y 21 Dx2y21 悟 技法 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数 a,b,c 的方程并求 出 a, b, c 的值 与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时, 可设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b2(0) (2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值,由定点位置确定 c 的值. 变式练(着眼于举一反三) 1 已知F1, F2为双曲线C: x2y22的左
9、、 右焦点, 点P在C上, |PF1|2|PF2|, 则cosF1PF2 _. 22021 太原市高三年级模拟试题已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线方程 为y 3 x , 若 其 右 顶 点 到 这 条 渐 近 线 的 距 离 为3 , 则 双 曲 线 的 方 程 为 _ 考点二 双曲线的几何性质分层深化型 考向一:双曲线的离心率 例 3 2020 全国卷已知 F 为双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点,A 为 C 的右 顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为_ 考向二:双曲线的渐近线 例
10、 4 2021 合肥市高三教学质量检测已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点 为点 F,点 B 是虚轴的一个端点,点 P 为双曲线 C 左支上的一个动点,若BPF 周长的最小 值等于实轴长的 4 倍,则双曲线 C 的渐近线方程为_ 悟 技法 1.求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求 a,b,c 的值,由c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2直接求 e. (2)列出含有 a,b,c 的齐次方程(或不等式),借助于 b2c2a2消去 b,然后转化成关于 e 的 方程(或不等式)求解 2求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的渐
11、近线的方法是令 x2 a2 y2 b20,即得两渐近线方程 x a y b0. 同类练(着眼于触类旁通) 32021 河南南阳质检若双曲线y 2 a2 x2 91(a0)的一条渐近线与直线 y 1 3x 垂直,则此双 曲线的实轴长为( ) A2 B4 C18 D36 42021 广州市高三年级调研检测已知 F 为双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点, 过 F 作 C 的渐近线的垂线 FD,垂足为 D,且满足|FD|1 2|OF|(O 为坐标原点),则双曲线的离 心率为( ) A.2 3 3 B2 C3 D. 10 3 变式练(着眼于举一反三) 52021 洛阳市尖子生联
12、考已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线上一点, 且|PF1|2|PF2|, 若 sinF1PF2 15 4 , 则该双曲线的离心率等于( ) A. 6 B2 C. 6或 2 D. 31 或 6 62021 惠州市高三调研考试双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的离心率为 2,则该双曲线 的渐近线与圆(x2)2y23 的公共点的个数为( ) A1 B2 C4 D0 拓展练(着眼于迁移应用) 72021 合肥市高三教学质量检测已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点 分别为 F1, F2, 圆 F2
13、与双曲线 C 的渐近线相切, M 是圆 F2与双曲线 C 的一个交点 若F1M F2M 0,则双曲线 C 的离心率等于( ) A. 5 B2 C. 3 D. 2 82021 湖南省长沙市高三调研试题已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左焦点为 F,过原点的直线 l 与双曲线左、右两支分别交于点 P,Q,且满足|QF|PF|8,虚轴的上端 点 B 在圆 x2(y3)21 内,则该双曲线离心率的取值范围为( ) A. 51 2 ,2 B. 31 2 ,2 C. 5 2 , 2 D( 2, 3) 考点三 直线与双曲线的位置关系 互动讲练型 例 5 2021 长沙四校联考设 A,
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