2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.7 解三角形应用举例

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1、第七节第七节 解三角形应用举例解三角形应用举例 【知识重温】【知识重温】 一、必记 5 个知识点 1仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 _时叫仰角，目标视线在水平视线_时叫俯角(如图所示) 2方位角 一 般 指 正 北 方 向 线 顺 时 针 到 目 标 方 向 线 的 水 平 角 ， 如 方 位 角 45， 是 指 _，即东北方向 3方向角 相对于某一正方向的角(如图) (1)北偏东 ：指从正北方向顺时针旋转 到达目标方向 (2)东北方向：指北偏东 45 或东偏北 45 . (3)其他方向角类似 4坡角 坡面与_的夹角(如图所示) 5坡比 坡

2、面的铅直高度与水平宽度之比，即 ih ltan (i 为坡比， 为坡角) 二、必明 1 个易误点 易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角， 而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， 2 .( ) (2)若点 P 在点 Q 的北偏东 44 ，则点 Q 在点 P 的东偏北 46 .( ) (3)方位角大小的范围是0，)，方向角大小的范围是 0， 2 .( ) 二、教材改编 2必修 5 P15练习 T1改编从 A 处望

3、B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为( ) A B C90 D180 3必修 5 P11例 1 改编如图所示， 设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，ACB45 ，CAB105 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( ) A50 2 m B50 3 m C25 2 m D.25 2 2 m 三、易错易混 4一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继 续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60 ，另一灯塔在船的南偏西 75 ，则这艘船的速 度是每小时( )

4、A5 海里 B5 3海里 C10 海里 D10 3海里 5若点 A 在点 C 的北偏东 30 ，点 B 在点 C 的南偏东 60 ，且 ACBC，则点 A 在点 B 的_方向上 考点一 测量距离问题自主练透型 1. 如图所示，A，B 两点在一条河的两岸，测量者在 A 的同侧，且 B 点不可到达，为了测出 AB 的距离，在 A 所在的岸边选定一点 C，可以测出 AC 的距离 m，再借助仪器，测出ACB ，CAB，在ABC 中，运用正弦定理就可求出 AB.若测出 AC60 m，BAC75 ， BCA45 ，则 A，B 两点间的距离为_m. 2如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法

5、为：先选定适当的位置 C， 用经纬仪测出角 ，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离即 AB a2b22abcos . 若测得 CA400 m，CB600 m，ACB60 ，则 A，B 两点的距离为_ m. 悟 技法 测量问题中距离问题的解法 (1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题 (2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解. 考点二 测量高度问题互动讲练型 例 1 2021 开封市高三模拟考试国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为 15 的观礼 台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一

6、排 测得旗杆顶端的仰角分别为 60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为 24.5 米，则旗杆的高度约 为 ( ) A17 米 B22 米 C30 米 D35 米 悟 技法 求解高度问题应注意的 3 个问题 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在 水平面上所成的角)是关键 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个 空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错 (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 变式练(着眼于举一反三) 1如图，一辆汽车在一条水平的公路上向

7、正西行驶，在 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30 的方向上， 行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75 的方向上， 仰角为 30 ， 则此山的高度 CD_m. 考点三 测量角度问题互动讲练型 例 2 2021 武汉市武昌区调研如图一艘海轮从A处出发， 以每小时24海里的速度沿南偏东40 的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，以 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔时，其方向 是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔时，其方向是北偏东 65 ，那么 B，C 两点间的距离是( ) A6 2海里 B6 3海里 C8 2海里 D8 3海里 悟 技法 求解角度问题应

8、注意 (1)明确方位角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 变式练(着眼于举一反三) 2在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45 方向，相距 12 n mile 的水面上， 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75 方向前进， 若红方侦察艇 以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截 住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 考点四 正(余)弦定理在平面几何中的

9、应用 互动讲练型 例 3 2020 江苏卷在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a3，c 2， B45 . (1)求 sin C 的值； (2)在边 BC 上取一点 D，使得 cosADC4 5，求 tanDAC 的值 悟 技法 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解 (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 变式练(着眼于举一反三) 32021 武昌区高三年级调研考试在ABC 中，已知 AB5 6 2 ，AC7，D 是 BC 边上 的一点，AD5，DC3. (1)求 B

10、； (2)求ABC 的面积 第七节第七节 解三角形应用举例解三角形应用举例 【知识重温】【知识重温】 上方 下方 北偏东 45 水平面 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) 2解析：由已知及仰角、俯角的概念画出草图，如图，则 . 答案：B 3.解析：由正弦定理得 AB sinACB AC sinCBA，又由题意得CBA30 ，所以 AB ACsinACB sinCBA 50 2 2 1 2 50 2(m) 答案：A 4解析：如图所示，依题意有BAC60 ，BAD75 ，所以CADCDA15 ， 从而 CDCA10(海里)， 在 RtABC 中，得 AB5(海里)， 于是这艘

11、船的速度是 5 0.510(海里/时) 答案：C 5. 解析：如图所示，ACB90 ， 又 ACBC， CBA45 ， 而 30 ， 90 45 30 15 . 点 A 在点 B 的北偏西 15 . 答案：北偏西 15 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：ABC180 75 45 60 ， 所以由正弦定理得， AB sin C AC sin B， ABAC sin C sin B 60sin 45 sin 60 20 6(m) 即 A，B 两点间的距离为 20 6 m. 答案：20 6 2解析：在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22AC BCcosACB， AB24002600

12、22400600cos 60 280 000. AB200 7(m) 即 A，B 两点间的距离为 200 7 m. 答案：200 7 考点二 例 1 解析： 如图所示， 依题意知AEC45 ， ACE180 60 15 105 ， EAC 180 45 105 30 ， 由正弦定理 CE sinEAC AC sinAEC， 可得 AC 24.5 sin 30 sin 45 49 2 2 (米)， 在 RtABC 中，ABAC sinACB49 2 2 sin 60 49 2 2 3 2 49 6 4 30(米) 答案：C 变式练 1解析：由题意，在ABC 中，BAC30 ， ABC180 75

13、 105 ，故ACB45 . 又 AB600 m，故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30 ， 解得 BC300 2(m) 在 RtBCD 中，CDBC tan 30 300 2 3 3 100 6(m) 答案：100 6 考点三 例 2 解析：过点 C 向正南方向作一条射线 CD，如图所示 由题意可知，BAC70 40 30 ，ACD110 ， 所以ACB110 65 45 . AB240.512(海里) 在ABC 中，由正弦定理得 AB sin 45 BC sin 30 ，即12 2 2 BC 1 2 ，所以 BC6 2海里 故选 A. 答案：A 变式练 2解析：如图，设红

14、方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇， 则 AC14x，BC10 x，ABC120 . 根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120 ， 解得 x2.故 AC28，BC20. 根据正弦定理得 BC sin AC sin 120 ， 解得 sin 20sin 120 28 5 3 14 . 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 3 14 . 考点四 例 3 解析：(1)在ABC 中，因为 a3，c 2，B45 ， 由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b29223 2cos 45 5， 所以 b 5. 在ABC 中，由正弦定理 b

15、 sin B c sin C， 得 5 sin 45 2 sin C， 所以 sin C 5 5 . (2)在ADC 中，因为 cosADC4 5，所以ADC 为钝角， 而ADCCCAD180 ，所以 C 为锐角 故 cos C 1sin2C2 5 5 ，则 tan Csin C cos C 1 2. 因为 cosADC4 5，所以 sinADC 1cos 2ADC3 5， tanADCsinADC cosADC 3 4. 从而 tanDACtan(180 ADCC)tan(ADCC) tanADCtan C 1tanADCtan C 3 4 1 2 1 3 4 1 2 2 11. 变式练 3解析：(1)如图，在ADC 中，由余弦定理，得 cosADCAD 2DC2AC2 2 AD DC 1 2， 所以ADC120 ，从而ADB60 . 在ABD 中，由正弦定理 AB sinADB AD sin B，得 sin B 2 2 ，所以 B45 . (2)由(1)知BAD75 ，且 sin 75 2 6 4 . 所以 SABD1 2AB ADsinBAD 25 33 8 ， SADC1 2DA DCsinADC 15 3 4 ， 所以 SABCSABDSADC55 375 8 .