2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.5.2 简单的三角恒等变换

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1、第第 2 课时课时 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简自主练透型 1化简：sin 22cos 2 sin 4 _. 2化简： 1sin cos sin 2cos 2 22cos (01)的两根分别为 tan ， tan ， 且 ， 2， 2 ，则 _. 考点三 三角恒等变换的综合应用互动讲练型 例 4 2019 浙江卷设函数 f(x)sin x，xR. (1)已知 0,2)，函数 f(x)是偶函数，求 的值； (2)求函数 y f x 12 2 f x 4 2的值域 悟 技法 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化

2、成yAsin(x)t或yAcos(x )t 的形式 (2)利用公式 T2 (0)求周期 (3)根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另 外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值 (4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的 单调区间. 变式练(着眼于举一反三) 42021 河南郑州质检已知函数 f(x)4tan x sin 2x cos x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性 第第 2 课时课时 简单的三角恒等变换简单的

3、三角恒等变换 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：原式2sin cos 2cos 2 2 2 sin cos 2 2cos . 答案：2 2cos 2解析：原式 2sin 2cos 22cos 2 2 sin 2cos 2 4cos2 2 cos 2 sin2 2cos 2 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 . 0，0 20，原式cos . 考点二 例 1 解析：cos 6 3 3 ，cos 2 3 1 3. 0， 6 60， 6 6 2，0 2 3 ， 32 3， 又 cos 2 3 1 30，2 2， . 4， 2 且 cos 22 5 5 ， 又sin() 10 10

4、 ， ，3 2 ， 2， 5 4 ，cos()3 10 10 ， cos()cos()2 cos()cos 2sin()sin 2 3 10 10 2 5 5 10 10 5 5 2 2 ， 又 5 4 ，2 ，所以 7 4 ，故选 A. 答案：A 变式练 1解析：通解 2cos 2 cos 4 3sin 2， 2sin 22 cos 4 2 2sin 4 3sin 2， 2 2sin 4 3cos 2 2 ， 2 3sin2 4 2 2sin 4 30， 得 sin 4 6 6 ， sin 2cos 22 2sin 2 4 1 2 3. 故选 C. 优解 2cos 2 cos 4 3sin

5、2， 2cos2sin2 2 2 cos sin 3sin 2， 2(cos sin ) 3sin 2， 3sin224sin 240，得 sin 22 3. 故选 C. 答案：C 2 解析： 由cos (1 3tan 10 )1可得cos 3sin 10 cos 10 cos 10 1， 所以cos 2sin 40 cos 10 1，所以 cos cos 10 2sin 40 sin 80 2sin 40 2sin 40 cos 40 2sin 40 cos 40 ，又 为锐角，所以 40 ，选 B. 答案：B 3解析：由已知得 tan tan 3a，tan tan 3a1，tan()1.又

6、 ， 2， 2 ， tan tan 3a0， tan 0， tan 0， ， 2，0 ， (，0)，3 4 . 答案：3 4 考点三 例4 解析： (1)因为f(x)sin(x)是偶函数， 所以， 对任意实数x都有sin(x)sin( x)， 即 sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ， 故 2sin xcos 0， 所以 cos 0. 又 0,2)，因此 2或 3 2 . (2)y f x 12 2 f x 4 2 sin 2 x 12 sin2 x 4 1cos 2x 6 2 1cos 2x 2 2 11 2 3 2 cos 2x3 2sin 2x 1 3

7、 2 cos 2x 3 . 因此，函数的值域是 1 3 2 ，1 3 2 . 变式练 4解析：(1)f(x)的定义域为 x x 2k，kZ ， f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x 2sin 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)令 z2x 3，函数 y2sin z 的单调递增区间是 22k， 22k ，kZ. 由 22k2x 3 22k， 得 12kx 5 12k，kZ. 设 A 4， 4 ， B x 12kx 5 12k，kZ ， 易知 AB 12， 4 . 所以，当 x 4， 4 时，f(x)在区间 12， 4 上单调递增，在区间 4， 12 上单调递 减