2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：3.2.1 利用导数研究函数的单调性

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1、第第 1 课时课时 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 考点一 不含参数的单调性自主练透型 1函数 f(x)x22ln x 的单调递减区间是( ) A(0,1) B(1，) C(，1) D(1,1) 2函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是( ) A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 32021 宁夏银川模拟若幂函数 f(x)的图象过点 2 2 ，1 2 ，则函数 g(x)exf(x)的单调递减 区间为_ 4已知定义在区间(，)上的函数 f(x)xsin xcos x，则 f(x)的单调递增区间是 _ 悟悟 技法技法 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函

2、数不等式可解时，解不等式 f(x)0 或 f(x)0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值 范围 考向二：在区间上单调求参数范围 例 3 在例 2第(3)问中，若改为 g(x)在(2，1)内为减函数，如何解？ 考向三：在区间上不单调求参数范围 例 4 在例 2第(3)问中，若 g(x)在(2，1)上不单调，求 a 的取值范围？ 悟 技法 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集 (2)转化为不等式的恒成立

3、问题来求解：即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减， 则 f(x)0” 提醒 f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一 非空子区间上 f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. 变式练(着眼于举一反三) 2在例 2第(3)问中，若 g(x)的单调递减区间为(2，1)，求 a 的值 3已知函数 f(x)ln x，g(x)1 2ax 22x(a0) (1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围 第第 1 课时课时 利

4、用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：f(x)2x2 x 2x1x1 x (x0)，当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 答案：A 2解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令 f(x)0，解得 x2，故选 D. 答案：D 3解析：设幂函数 f(x)x，因为图象过点 2 2 ，1 2 ，所以1 2 2 2 ，即 2，所以 f(x) x2，故 g(x)exx2，则 g(x)exx22exxex(x22x)，令 g(x)0，得2x0(x(，)， 解得x 2或 0 x 2， 故函数 f(x)的单调递增区间是 ， 2 和

5、0， 2 . 答案： ， 2 和 0， 2 考点二 例 1 解析：f(x)3x2k. 当 k0 时，f(x)x3，故 f(x)在(，)单调递增 当 k0，故 f(x)在(，)单调递增 当 k0 时，令 f(x)0，得 x 3k 3 .当 x ， 3k 3 时，f(x)0； 当 x 3k 3 ， 3k 3 时， f(x)0.故 f(x)在 ， 3k 3 ， 3k 3 ， 单调递增，在 3k 3 ， 3k 3 单调递减 变式练 1解析：f(x)6x22ax2x(3xa) 令 f(x)0，得 x0 或 xa 3. 若 a0， 则当 x(， 0) a 3， 时， f(x)0； 当 x 0，a 3 时，

6、 f(x)0.故 f(x)在( ，0)， a 3， 单调递增，在 0，a 3 单调递减； 若 a0，则 f(x)在(，)单调递增； 若 a0；当 x a 3，0 时，f(x)0)， 当 x(，0)时，f(x)0； 当 x(0，a)时，f(x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a) (3)g(x)x2ax2， 依题意，存在 x(2，1)， 使不等式 g(x)x2ax20 成立， 即 x(2，1)时，a x2 x max2 2， 当且仅当 x2 x即 x 2时等号成立 所以满足要求的 a 的取值范围是(，2 2) 例 3 解析：解法一：g(x)x2ax

7、2，且 g(x)在(2，1)内为减函数， g(x)0，即 x2ax20 在(2，1)内恒成立， g20， g10， 即 42a20， 1a20， 解得 a3， 即实数 a 的取值范围为(，3 解法二：g(x)x2ax2， 由题意可得 g(x)0 在(2，1)上恒成立， 即 ax2 x在(2，1)上恒成立， 又 yx2 x，x(2，1)的值域为(3，2 2， a3，实数 a 的取值范围是(，3 例 4 解析： 由例 3知 g(x)在(2， 1)上为减函数， a 的范围是(， 3， 若 g(x)在( 2，1)上为增函数，可知 ax2 x在(2，1)上恒成立，又 yx 2 x的值域为(3，2 2，

8、a 的取值范围是2 2，)， 函数 g(x)在(2，1)上单调时，a 的取值范围是(，32 2，)， 故 g(x)在(2，1)上不单调，实数 a 的取值范围是(3，2 2) 变式练 2解析：g(x)的单调减区间为(2，1)， x12，x21 是 g(x)0 的两个根， (2)(1)a，即 a3. 3解析：(1)h(x)ln x1 2ax 22x，x(0，)， 所以 h(x)1 xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间， 所以当 x(0，)时，1 xax2 1 x2 2 x有解， 设 G(x) 1 x2 2 x， 所以只要 aG(x)min即可 而 G(x) 1 x1 21，所以 G(x) min1. 所以 a1，即 a 的取值范围是(1，) (2)由 h(x)在1,4上单调递减得， 当 x1,4时，h(x)1 xax20 恒成立， 即 a 1 x2 2 x恒成立 所以 aG(x)max，而 G(x) 1 x1 21， 因为 x1,4，所以1 x 1 4，1 ， 所以 G(x)max 7 16(此时 x4)， 所以 a 7 16，又因为 a0 所以 a 的取值范围是 7 16，0 (0，)