2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:专题提能 透视数列高考热点探求应对策略
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1、 透视数列高考热点,探求应对策略 授课提示:对应学生用书第 116 页 数列是一种特殊的函数,其考查的重点是数列的通项、数列的前 n 项和、参数的取值范围的 探求、数列不等式的证明等,研究的数列主要是等比数列与等差数列数列的最值、周期性、 单调性的探究,以及递推数列的相关综合题目,也是历年高考考查的热点 (一)数列单调性及应用 1与等差数列的单调性有关的问题 例 1 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足:a11,an0,a2n14Sn4n1(nN) , 若不等式 4n28n3(5m)2n an对任意的 nN恒成立,则整数 m 的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 解析 当 n2 时,
2、 a2 n14Sn4n1, a2n4Sn14(n1)1, 两式相减得 a2n1a2n4an4,即 a2n1a2n4an4(an2)2,又 an0,所以 an1an2 (n2) 对 a2n14Sn4n1,令 n1,可得 a224a1419,所以 a23,则 a2a12, 所以数列an是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,故 an2n1 因为 4n28n3(2n1) (2n3) ,nN,2n10,所以不等式 4n28n3(5m) 2n an等价于 5m2n3 2n 记 bn2n3 2n ,则bn 1 bn 2n1 2n 1 2n3 2n 2n1 4n6,当 n3 时, bn1 bn 1,又 b1
3、1 2,b2 1 4,b3 3 8,所以(bn)maxb3 3 8故 5m 3 8,得 m 37 8 ,所以整数 m 的最大 值为 4 答案 B 将 an的表达式代入不等式 4n28n3(5m) 2n an,约去公因式,从而简化了运算在求 解 bn2n3 2n 的最大值时,通过作商与“1”比较大小判断数列的单调性,从而求得最大值 2与等比数列的单调性有关的问题 例 2 已知数列an满足:a11,an1 an an2(nN ) ,若 bn1(n) 1 an1 ,b1 ,且数列bn是递增数列,则实数 的取值范围是( ) A (2,) B (3,) C (,2) D (,3) 解析 由 an1 an
4、 an2知, 1 an1 2 an1,即 1 an112 1 an1 ,所以数列 1 an1 是首项为 1 a1 12,公比为 2 的等比数列,所以 1 an12 n,所以 b n1(n) 2 n,因为数列b n是递增 数列,所以 bn1bn(n)2n(n1)2n 1(n1)2n10 对一切正整数 n 恒 成立,所以 n1,因为 nN,所以 2 答案 C 判断数列的单调性的方法 函数法:构造函数,通过判断所构造函数的单调性,即可得出相应数列的单调性 定义法:利用单调函数的定义判断数列的单调性 作差法:对于数列中任意相邻的两项 an1,an,通过作差 an1an,判断其与 0 的大小,即可 判断
5、数列的单调性 作商法:数列的各项非零且同号(同正或同负) ,对于数列中任意相邻的两项 an1,an,通过 作商an 1 an ,判断其与 1 的大小,即可判断数列的单调性 题组突破 1已知数列an的首项为 a1,bn是公比为2 3的等比数列,且 bn an2 an1(nN ) ,若不等式 anan1对任意的 nN恒成立,则 a1的取值范围是( ) A (2,2) B (2,0) C (0,2) D (2,) 解析: bnan2 an1 (nN) , anbn2 bn1, an 1anb n12 bn11 bn2 bn1 bn1bn (1bn1)(1bn) 1 3bn 12 3bn (1bn)
6、0,解得 bn3 2或 0bn1若 bn 3 2,则 b1 2 3 n1 3 2对任意的 nN 恒成立,显然不可能;若 0bn1,则 0b1 2 3 n1 1 对任意的 nN恒成立,只需 0b1 1,即 0a12 a111,解得 a12 答案:D 2已知在等差数列an中,a1120,公差 d4,若 Snan(n2) ,其中 Sn为该数列的前 n 项和,则 n 的最小值为( ) A60 B62 C70 D72 解析: 由题意得 an1204 (n1) 1244n, Sn120nn(n1) 2 (4) 122n2n2 由 Snan,得 122n2n21244n,即 n263n620,解得 n62
7、或 n1(舍去) 所以 n 的 最小值为 62 答案:B 3 (2021 贵阳高三监测)在数列an中,a1a2 2 a3 3 an n 2n1(nN) ,且 a11,若 存在 nN使得 ann(n1) 成立,即实数 的最小值为_ 解析:依题意得,数列 an n 的前 n 项和为 2n1,当 n2 时,an n (2n1)(2n 11) 2n 1,且a1 1 211121 1,因此an n2 n1(nN ) , an n(n1) 2n 1 n1记 bn 2n 1 n1,则 bn 0,bn 1 bn 2(n1) n2 (n2)n n2 n2 n21,bn 1bn,数列bn是递增数列,数列bn 的最
8、小项是 b11 2依题意得,存在 nN使得 an n(n1)bn 成立,即有 b11 2, 的 最小值是1 2 答案:1 2 (二)数列中的新情境问题 例 3 已知an是各项均为正数的等比数列,且 a1a23,a3a22,等差数列bn的前 n 项和为 Sn,且 b35,S416 (1)求数列an,bn的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系中,有点 P1(a1,0) ,P2(a2,0) ,Pn(an,0) ,Pn1(an 1,0) ,Q1(a1,b1) ,Q2(a2,b2) ,Qn(an,bn) ,若记PnQnPn1的面积为 cn,求数列 cn的前 n 项和 Tn 解析 (1)设数列an的公
9、比为 q, 因为 a1a23,a3a22,所以 a1a1q3, a1q2a1q2, 得 3q25q20,又 q0, 所以 q2,a11,则 an2n 1 设数列bn的公差为 d, 因为 b35,S416,所以 b12d5, 4b16d16, 解得 b11, d2, 则 bn2n1 (2)由(1)得 PnPn1an1an2n2n 12n1, PnQnbn2n1, 故 cnSPnQnPn12 n1(2n1) 2 (2n1)2n 2, 则 Tnc1c2c3cn 1 211325(2n1)2 n2, 2Tn112345(2n1)2n 1, 由得,Tn1 22(122 n2)(2n1) 2n11 2 2
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