2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:专题提能 立体几何中的高考热点求解策略
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1、 立体几何中的高考热点求解策略 授课提示:对应学生用书第 162 页 (一)空间几何体中的动态问题 1“动态”中研究“特定静态”问题 例 1 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中,点 P 是体对角线 AC1上的动点(点 P 与 A,C1不重合) ,则下面结论中错误的是( ) A存在点 P,使得平面 A1DP平面 B1CD1 B存在点 P,使得 AC1平面 A1DP C S1, S2分别是A1DP 在平面 A1B1C1D1, 平面 BB1C1C 上的正投影图形的面积, 对任意点 P, S1S2 D对任意点 P,A1DP 的面积都不等于 2 6 解析 连接 A1B, BD
2、(图略) 对于 A 选项, 当点 P 为平面 A1BD 与直线 AC1的交点时成立 因 为 BDB1D1,BD 平面 B1CD1,B1D1平面 B1CD1,所以 BD平面 B1CD1同理 A1B平面 B1CD1,又 BDA1BB,BD平面 A1DP,A1B平面 A1DP,所以平面 A1DP平面 B1CD1 对于 B 选项,当点 P 为平面 A1BD 与直线 AC1的交点时成立连接 AD1,则 A1DAD1,又 C1D1平面 ADD1A1,A1D平面 ADD1A1,所以 A1DC1D1,又 C1D1AD1D1,所以 A1D 平面 AC1D1,所以 AC1A1D同理 AC1A1B,又 A1DA1B
3、A1,A1D平面 A1DP,A1B 平面 A1DP,所以 AC1平面 A1DP 对于选项 C,在点 P 从 AC1的中点向点 A 运动的过程中,S1从1 4减小且逐渐趋向于 0,S2从 0 增大且逐渐趋向于1 2,在此过程中,必有某个点 P 使得 S1S2 对于选项 D,易知A1APDAP,所以 DPA1P,即三角形 A1PD 是等腰三角形,所以当 P 到 A1D 中点的距离最小时,三角形 A1DP 的面积最小,设 E 为 A1D 的中点,连接 PE,又 P 在 AC1上,A1D 和 AC1异面,所以当 PE 是两异面直线的公垂线段时,P 到 A1D 中点的距离最短, 此时 PE 6 6 ,而
4、 A1D 2,所以A1DP 的面积的最小值为 Smin1 2 6 6 2 3 6 ,所以对 任意点 P,A1DP 的面积都不等于 2 6 答案 C 本题通过 P 在体对角线 AC1上的“动”考查了面面平行、线面垂直、投影图形的面积等问题, 实现了一题多考 2“动态”中研究“轨迹”问题 例 2 (2021 蚌埠模拟)如图所示,正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2,E,F 分别为 AA1, AB 的中点,M 点是正方形 ABB1A1内的动点,若 C1M平面 CD1EF,则 M 点的轨迹长度为 _ 解析 如图所示,取 A1B1的中点 H,B1B 的中点 G,连接 GH,C1H,C1G,E
5、G,HF,可得 四边形 EGC1D1是平行四边形,所以 C1GD1E同理可得 C1HCF 因为 C1HC1GC1,所以平面 C1GH平面 CD1EF 由 M 点是正方形 ABB1A1内的动点可知,若 C1M平面 CD1EF,则点 M 在线段 GH 上,所以 M 点的轨迹长度 GH 1212 2 答案 2 本题通过对点的轨迹的探索,考查了线面平行,实现了解析几何问题与立体几何的交汇解 决此类问题的方法一般是将空间问题平面化,同时要结合常见曲线的定义,探索轨迹类型 对点训练 (2021 北京朝阳区模拟)在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中,E,F 分别为线段 CD 和 A1B1上
6、的动点,且满足 CEA1F,则四边形 D1FBE(如图中阴影部分所示)在该正方体有公 共顶点的三个面上的正投影的面积之和( ) A有最小值3 2 B有最大值5 2 C为定值 3 D为定值 2 解析:分别在后、上、左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可 依题意,设四边形 D1FBE 的四个顶点在后面、上面、左面的投影点分别为 D,F,B,E, 则四边形 D1FBE 在上面、后面、左面的投影分别如上图 所以在后面的投影的面积为 S后111, 在上面的投影面积 S上 DE1DE1DE, 在左面的投影面积 S左 BE1CE1CE, 所以四边形 D1FBE 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该
7、正方体有公共顶点的三个面 上的正投影的面积之和 SS后S上S左1DECE1CD2 答案:D (二)空间几何体中的最值(范围问题) 1目标函数法求最值 例 3 在四面体 ABCD 中, 若 ADDBACCB1, 则四面体 ABCD 体积的最大值是 ( ) A2 3 27 B1 3 C2 3 9 D 3 3 解析 如图,取 AB 的中点 E,连接 CE,DE, 设 AB2x(0 x1) ,则 CEDE 1x2, 所以当平面 ABC平面 ABD 时,四面体 ABCD 的体积最大, 此时,四面体 ABCD 的体积 V1 3 1 22x 1x 2 1x21 3x 1 3x 3 所以 V1 3x 2令 V
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