2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:专题提能 破解解析几何中重、难点策略
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1、 破解解析几何中重、难点策略 授课提示:对应学生用书第 200 页 (一)图形对称性问题 近几年高考和模考中的圆锥曲线综合题中,出现了不少关于轴对称、中心对称、平行、垂直、 中垂线、弦的中点、特殊几何图形或特殊几何图形内接于圆锥曲线等问题,用解析几何呈现 出来的形式往往是角相等或互补、斜率相等或互为相反数、过定点或为定值等,这种题型能 有效考查考生的直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养 例 1 (2021 安庆模考)经过点 3,1 2 的椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右顶点为 A,上顶 点为 B,且直线 AB 的斜率为1 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 设不垂直
2、于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P, Q, O 为坐标原点, 点 N (4, 0) 若 P,Q,N 三点不共线,且ONPONQ证明:动直线 l 经过定点 解析 (1)因为 A(a,0) ,B(0,b) ,所以b0 0a 1 2,即 a2b 因为点 3,1 2 在椭圆上,所以 3 a2 1 4b21,即 3 4b2 1 4b21,解得 b 21,a24 故椭圆 C 的标准方程是x 2 4y 21 (2)证明:设直线 l 的方程为 ykxm(k0) ,与 C 的方程联立得 ykxm, x2 4y 21,消去 y 得, (14k2)x28kmx4m240,(8km) 24(14k2
3、) (4m24)16(4k2m21)0 设 P(x1,kx1m) ,Q(x2,kx2m) ,则 x1x2 8km 14k2,x1x2 4m24 14k2 kPNkQNkx1m x14 kx2m x24 2kx1x2(4km)(x1x2)8m (x14)(x24) 由ONPONQ 知,kPNkQN0, 所以 2kx1x2(4km) (x1x2)8m2k 4m24 14k2 (4km)8km 14k28m 8km28k 14k2 32k2m8km2 14k2 8m0,得 mk,满足 0 故动直线 l 的方程为 ykxk,过定点(1,0) 本题中,由 kPNkQN0 构建方程找到 m,k 的关系是解
4、题的关键设直线 l 的方程和点 P,Q 的坐标,将直线方程与椭圆方程联立消元,利用根与系数的关系建立方程与不等式是解题的 难点 例 2 已知动圆过定点 M(0,4) ,且截 x 轴所得的弦 AB 的长为 8 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)过轨迹 C 上一个定点 P(m,n) (m0)引它的两条弦 PS,PT,直线 PS,PT 的斜率存 在且倾斜角互为补角证明:直线 ST 的斜率为定值 解析 (1)设动圆圆心 C 的坐标为(x,y) ,则(x0)2(y4)242y2, 整理得 x28y 故所求动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x28y (2)证明:设 S(x1,y1) ,T(x2,y2
5、) ,则有 x218y1,x228y2,m28n 因为直线 PS,PT 的斜率存在且倾斜角互为补角,所以 kPSkPT0, 即y1n x1m y2n x2m 1 8x 2 11 8m 2 x1m 1 8x 2 21 8m 2 x2m x1m 8 x2m 8 0, 所以 x1x22m 故直线 ST 的斜率 ky1y2 x1x2 1 8x 2 11 8x 2 2 x1x2 x1x2 8 m 4,为定值 本题中,将倾斜角互为补角这一条件转化为 kPSkPT0,建立方程得到 x1,x2,m 之间的关系 是解题的关键 对点训练 已知定圆 A: (x 3)2y216,动圆 M 过点 B( 3,0) ,且和
6、圆 A 相切 (1)求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程; (2)直线 l:ykxm(k0)与轨迹 E 交于 C,D 两点,点 P(0,1) ,且|PC|PD|,求 实数 m 的取值范围 解析: (1)圆 A 的圆心为( 3,0) ,半径 r14 设动圆 M 的半径为 r2,依题意有 r2|MB| 由|AB|2 32 3 所以动点 M 的轨迹 E 是以 A,B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,其方程为x 2 4y 21 (2)设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,联立 l 与 E 的方程得 x 2 4y 21, ykxm, 消去 y 得(14k2)x2 8kmx4m240, 由 64k2m2
7、16(m21) (14k2)0 得 14k2m2, 则 x1x2 8km 14k2, y1y2k(x1x2)2m 2m 14k2,弦 CD 的中点 N 4km 14k2, m 14k2 易知 PNCD,所以直线 PN 的方程是 y1 kx1 因为点 N 4km 14k2, m 14k2 在此直线上, 所以 m 14k2 1 k 4km 14k2 1, 整理得 3m14k2,代入 14k2m2,得 m23m0,解得 0m1,m1 3 故实数 m 的取值范围是 1 3,3 (二)解析几何减少运算量的常见技巧 技巧 1 巧用几何性质减少运算量 例 3 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: x2 a
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