2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:专题提能 概率统计中的数学建模与数据分析
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1、 概率统计中的数学建模与数据分析 授课提示:对应学生用书第 251 页 概率统计中的创新性问题是高考的命题重点,不仅注重模块知识内的综合,也注重模块知识 间的综合,更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查命题的重点有: (1)考查数学建模核心素养,以实际生活中的环保、民生、科技等为背景,考查函数、数列 等模型的建立,其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点 (2)考查数据分析核心素养,常考查对数据的搜集与归类,并利用不同的特征值对研究对象 做出理性的判断 (一)概率与数列交汇问题 例 1 (2021 湖北武汉质量监测)武汉又称江城,是湖北省省会,它不仅有着深厚的历史积 淀与丰富的民
2、俗文化,更有着众多名胜古迹与旅游景点,黄鹤楼与东湖便是其中的两个为 合理配置旅游资源,现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记 1 分, 若继续游玩东湖记 2 分,每位游客选择是否参观东湖的概率均为1 2,游客之间选择意愿相互独 立 (1)从游客中随机抽取 3 人,记这 3 人的总得分为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望; (2) ()若从游客中随机抽取 m(mN)人,记这 m 人的总分恰为 m 分的概率为 Am,求 数列Am的前 10 项和; ()在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的人的累计得分恰为 n 分的概 率为 Bn,探讨 Bn与 Bn1(n2)之
3、间的关系,并求数列Bn的通项公式 解析 (1)X 的所有可能取值为 3,4,5,6 P(X3) 1 2 3 1 8,P(X4)C 2 3 1 2 3 3 8,P(X5)C 2 3 1 2 3 3 8,P(X6) 1 2 3 1 8 所以 X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以 EX31 84 3 85 3 86 1 8 9 2 (2) ()总分恰为 m 分的概率 Am 1 2 m , 所以数列Am是首项为1 2,公比为 1 2的等比数列 其前 10 项和 S10 1 2 1 1 210 11 2 1 023 1 024 ()因为已调查过的人的累计得分恰为
4、n 分的概率为 Bn,得不到 n 分的情况只有先得(n 1)分,再得 2 分,概率为1 2Bn1(n2) 所以 1Bn1 2Bn1(n2) ,即 Bn 1 2Bn11(n2) , 所以 Bn2 3 1 2 Bn12 3 (n2) , 所以 Bn2 3 B12 3 1 2 n1 ,易知 B11 2, 所以 Bn2 3 1 6 1 2 n1 2 3 1 3 1 2 n 2 3 (1)n 32n 破解此题的关键:一是认真审题,判断随机变量的所有可能取值,并注意相互独立事件的概 率与互斥事件的概率的区别,求出随机变量取各个值时的概率,从而列出随机变量的分布列; 二是将概率的参数表达式与数列的递推式相结
5、合,可得数列的通项公式,此种解法新颖独特 (二)函数与期望相交汇应用 例 2 (2021 重庆一中模拟)某蛋糕店制作并销售一款蛋糕,制作一个蛋糕成本 3 元,且以 8 元的价格出售, 若当天卖不完, 剩下的无偿捐献给饲料加工厂 根据以往 100 天的资料统计, 得到如下需求量表 该蛋糕店一天制作了这款蛋糕 X (XN) 个, 以 x (单位: 个, 100 x150, xN)表示当天的市场需求量,T(单位:元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润 需求量 /个 100,110) 110,120) 120,130) 130,140) 140,150 天数 15 25 30 20 10 (1)当 x13
6、5 时,若 X130 时该蛋糕店获得的利润为 T1,X140 时该蛋糕店获得的利润 为 T2,试比较 T1和 T2的大小 (2)当 X130 时,根据上表,从利润 T 不少于 570 元的天数中,按需求量用分层抽样的方 法抽取 6 天 ()求此时利润 T 关于市场需求量 x 的函数解析式,并求这 6 天中利润为 650 元的天数; ()再从这 6 天中抽取 3 天做进一步分析,设这 3 天中利润为 650 元的天数为 ,求随机变 量 的分布列及数学期望 解析 (1)当 X130 时,T1130(83)650(元) ; 当 X140 时,T2135535660(元) 所以 T2T1 (2) ()
7、当 X130 时, 利润 T 8x390,100 x130, 650,130 x150, 令 T570,得 120 x150, 所以利润 T 不少于 570 元的共有 60 天,其中有 30 天的利润为 650 元 故按需求量用分层抽样的方法抽取的 6 天中利润为 650 元的天数为 61 23 ()由题意可知 0,1,2,3, P(0)C 3 3 C36 1 20,P(1) C23C13 C36 9 20,P(2) C13C23 C36 9 20,P(3) C33 C36 1 20 故 的分布列为 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 所以 E0 1 201 9 202
8、 9 203 1 20 3 2 破解此题的关键: 一是要注意分类讨论、明确分类标准 二是注意数据分析与处理 (三)概率与统计的开放性问题 例 3 (2021 郑州一测) 水污染情况与工业废水排放密切相关, 某工厂污水处理程序如下 原 始污水必须先经过 A 系统处理,处理后的污水(A 级水)达到环保标准(简称达标)的概率为 p(0p1) ,A 级水经化验后,若确认达标便可直接排放,若不达标则必须通过 B 系统处理 后再排放该厂现有 4 个标准水量的 A 级水池,需要分别取样、化验已知多个污水样本化 验时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验混合样本中只要有样本不达 标,则混合样本的化
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