2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:9.8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
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1、第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的高考来看,离散型随机变量的均 值与方差、正态分布的应用是命题的热点, 一般为解答题,难度中档偏上 通过离散型随机变量的均值与方差、正态分 布,主要考查数据分析与数学运算及数学建 模核心素养 授课提示:对应学生用书第 228 页 知识点一 均值与方差 1均值 (1)一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 EXx1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望, 它反映了离散型随 机变量取值的平均水平 (2)若 YaXb,其中 a,b
2、为常数,则 Y 也是随机变量,且 E(aXb)aEXb (3)若 X 服从两点分布,则 EXp; 若 XB(n,p) ,则 EXnp 2方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则(xiEX)2描述了 xi(i1,2,n)相对于均值 EX 的偏离程度而 DX n i1 (xiEX) 2p i为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度,称 DX 为随 机变量 X 的方差,并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差 (2)D(aXb)a2DX (3)若 X 服从两点分布,则 DXp(1p) (4)若
3、XB(n,p) ,则 DXnp(1p) 温馨提醒 二级结论 1若 x1,x2相互独立,则 E(x1 x2)Ex1 Ex2 2均值与方差的关系:DXEX2E2X 3超几何分布的均值:若 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,则 EXnM N 必明易错 1理解均值 EX 易失误,均值 EX 是一个实数,由 X 的分布列唯一确定,即 X 作为随机变量 是可变的,而 EX 是不变的,它描述 X 值的取值平均状态 2注意 E(aXb)aEXb,D(aXb)a2DX 易错 1已知随机变量 X 的取值为 0,1,2,若 P(X0)1 5,EX1,则 DX( ) A2 5 B4 5 C2 3 D4 3 解
4、析:设 P(X1)p,则 P(X2)1p1 5 4 5p 由 EX1,得 01 51p2 4 5p 1,得 p 3 5,则 DX(01) 21 5(11) 23 5 (21)21 5 2 5 答案:A 2已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 设 Y2X3,则 EY_ 解析:EX1 2 1 6 1 3, EYE(2X3)2EX32 33 7 3 答案:7 3 3在一次招聘中,主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,并独立完成所 抽取的 3 道题乙能正确完成每道题的概率为2 3,且每道题完成与否互不影响记乙能答对的 题数为 Y,则 Y 的数学期望为_
5、 解析:由题意知 Y 的可能取值为 0,1,2,3,且 YB 3,2 3 ,则 EY32 32 答案:2 知识点二 正态分布 (1)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线 x 对称; 曲线在 x 处达到峰值 1 2; 曲线与 x 轴之间的面积为 1; 当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x 轴平移; 当 一定时,曲线的形状由 确定, 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散 (2)正态分布的三个常用数据 P(X)0682 6; P(2X2)0954 4; P(32)0023,则 P(2
6、2)( ) A0954 B0977 C0488 D0477 解析:P(22)12P(2)1002320954 答案:A 2已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32) ,从中随机取一件,其 长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量 服从正态分布 N(,2) ,则 P()6826%,P(2 2)9544%) A456% B1359% C2718% D3174% 解析:由已知 0,3,所以 P(36)1 2P(66)P(32c1) P (X2c1)P(Xc3) , 所以 2c1c332,所以 c4 3 答案:4 3 授课提示:对应学生用书第 229 页 题型
7、一 离散型随机变量的均值与方差 例 (2021 重庆模拟)某企业对新扩建的厂区进行绿化,移栽了银杏、垂柳两种大树各 2 株假定银杏移栽的成活率为3 4,垂柳移栽的成活率为 2 3,且各株大树是否成活互不影响 (1)求两种大树各成活 1 株的概率; (2)设 为两种大树成活的株数之和,求随机变量 的分布列及数学期望 解析 (1)记“银杏大树成活 1 株”为事件 A,“垂柳大树成活 1 株”为事件 B,则“两种 大树各成活 1 株”为事件 AB 由题可知 P(A)C123 4 1 4 3 8, P(B)C122 3 1 3 4 9, 由于事件 A 与 B 相互独立, 所以 P(AB)P(A) P(
8、B)1 6 (2)由题意知 的所有可能取值为 0,1,2,3,4 P(0) 1 4 2 1 3 2 1 144; P(1)C123 4 1 4 1 3 2 C122 3 1 3 1 4 2 5 72; P(2)1 6 3 4 2 1 3 2 1 4 2 2 3 2 37 144; P(3)C123 4 1 4 2 3 2 C122 3 1 3 3 4 2 5 12; P(4) 3 4 2 2 3 2 1 4 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 144 5 72 37 144 5 12 1 4 E1 5 722 37 1443 5 124 1 4 17 6 1求离散型随机变量的均值与方
9、差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布 列,正确运用均值、方差公式进行计算 2注意 E(aXb)aEXb,D(aXb)a2DX 的应用 对点训练 (2021 西安八中模拟)为了预防春季流感,市防疫部门提供了编号为 1,2,3,4 的四种疫苗供 市民选择注射,每个人均能从中任选一个编号的疫苗接种,现有甲,乙,丙三人接种疫苗 (1)求三人注射的疫苗编号互不相同的概率; (2)设三人中选择的疫苗编号最大数为 X,求 X 的分布列及数学期望 解析:(1)由题意可知,总的基本事件为 4364, 三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为 A3424, 所以所求的概率为 P24 64 3 8;
10、 (2)由题意知随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4; 计算 P(X1)C 3 3 43 1 64, P(X2)C 3 3C 2 3C 1 3 43 7 64, P(X3)C 3 32 C 2 32 2 C1 3 43 19 64, P(X4)C 3 33 C 2 33 2 C1 3 43 37 64, 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 64 7 64 19 64 37 64 数学期望为 EX1 1 642 7 643 19 644 37 64 55 16 题型二 正态分布 例 (2021 合肥市高三二检)为了解 A 市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机构组 织了一次
11、检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布 直方图 (1) 根据频率分布直方图,试估计该市参加此次检测考试的理科学生的数学平均成绩 0; (精 确到个位) (2)研究发现,本次检测考试的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 N(,2) ,其中 0, 193 按以往的统计数据,理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占 46%,据此估计在本 次检测考试中达到升一本的理科数学成绩是多少分?(精确到个位) 已知 A 市高三理科学生约有 10 000 名,某理科学生在此次检测考试中数学成绩为 107 分, 则该学生在全市的排名大约是多少? 错误错误! ! 解析 (1)由题意
12、估计该市此次检测考试中理科学生的数学平均成绩 065005 75008850129501510502411501812501135005 1450031032103(分) (2)记在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩为 x1分, 根据题意,P(xx1)1 x10 1 x1103 19.3 046, 即 x1103 19.3 054 由 (0705 4)054 得,x1103 19.3 0705 4x11166117, 所以在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩约为 117 分 P(x107)1 107103 19.3 1(0207 3)10583 20416 8, 所以 10 00004
13、16 84 168, 所以理科数学成绩为 107 分的该学生在全市的排名大约是第 4 168 名 正态分布下的概率计算常见的两类问题 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直 线 x 对称,及曲线与 x 轴之间的面积为 1 (2)利用 3 原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的 , 进行对比联 系,确定它们属于(,) , (2,2) , (3,3)中的哪一个 题组突破 1 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, 1) , 且 P (X4) 0 158 7, 则 P (2X4) ( ) A0682 6 B0341 3 C0460 3
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